А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Мотивируя обозначение γ f dz, мы можем представить интеграл (1) в виде предела интегральных сумм, отнесенных к пути γ. А именно,рассмотрим произвольное разбиениеα = t 0 < t1 < · · · < tn = βотрезка I = [α, β] и перенесем его на образ γ(I), полагаяz0 := a = γ(α) , z1 := γ(t1 ) , . .
. , zn−1 := γ(tn−1 ) , zn := b = γ(β) .Выберем произвольным образом точкиζj := γ(τj ) ,гдеtj−1 < τj < tj27приj = 1, . . . , n .ТогдаZf dz = limδ→0γnXf (ζj )∆zj ,j=1где ∆zj := zj − zj−1 , а δ := maxj=1,...,n |∆zj |. (Заметим, что, согласно определе.нию кусочно-гладкого пути, γ(t) 6= 0 для всех точек t ∈ I, кроме конечного числа; поэтому условие δ → 0 эквивалентно тому, что maxj=1,...,n |tj − tj−1 | → 0).RЗамечание 2. Можно также понимать γ f dz как криволинейный интегралот комплекснозначной дифференциальной формы.
А именно, для f = u + iv и.dz = γ(t) dt = dx + i dy, имеемZf dz =γZγ(u dx − v dy) + iZ(u dy + v dx) ,γгде в правой части стоят криволинейные интегралы от вещественных дифференциальных форм.Замечание 3. Данное выше определение интеграла сохраняет смысл и дляспрямляемого пути, т.е. пути γ : I → C, задаваемого функцией γ(t) такой, что..производная γ(t) существует почти всюду на I и функция |γ(t)| интегрируемапо Лебегу на I. При этом от функции f достаточно требовать лишь, чтобыкомпозиция f ◦ γ была интегрируема по Лебегу на I.Разберем два примера вычисления интегралов вдоль пути, которые будутпостоянно встречаться в дальнейшем.Пример 1.
Напомним, что в п. 1.3 мы формально ввели экспоненциальнуюфункцию комплексного переменного, полагаяex+iy := ex (cos y + i sin y) для любых x, y ∈ R .Из этого определения немедленно следует, что:(1) ez+2πi = ez для всех z ∈ C ;(2) для каждого α ∈ R производная функции eiαt по параметру t ∈ R равнаiαeiαt .Запишем окружность радиуса r с центром в точке a ∈ C в параметрическомвидеz = γ(t) = a + reit , 0 6 t 6 2π ,и вычислим интеграл вдоль γ от функцииf (z) = (z − a)nИмеем.γ(t) = ireit ,откудаZγnдля всех целых n .f (γ(t)) = r n eint ,(z − a) dz = irn+128Z02πei(n+1)t dt .Применяя к полученному интегралу формулу Ньютона–Лейбница (которая,очевидно, сохраняет силу для комплекснозначных функций вещественного переменного), получим при n 6= −1Z2πei(n+1)t dt =0e2πi(n+1) − 1,i(n + 1)что равно нулю в силу периодичности функции ez с периодом 2πi (свойство (1)).При n = −1 непосредственное вычисление дает:Z2πi(n+1)tedt =0Z2πdt = 2π .0Следовательно,Znγ(z − a) dz =02πiприприn ∈ Z \ {−1} ,n = −1 .Пример 2.
Пусть γ : I → C — произвольный кусочно-гладкий путь. Вычислим интеграл вдоль γ от функции f (z) = z n для n = 0, 1, 2, . . . . Пользуясьопять формулой Ньютона–Лейбница для комплекснозначных функций вещественного переменного, имеемZnz dz =γZβ.γ n (t)γ(t) dt =αZβd n+1 γ n+1 (β) − γ n+1 (α)bn+1 − an+1γ(t) dt ==.n+1n+1α dtRТаким образом, интеграл γ z n dz зависит лишь от начала a и конца b путиγ. В частности, интеграл по замкнутому контуру равен нулю.Следующие задачи показывают, что при n = −1 это уже не так.1=n+1Задачи.(1) Для каждого b ∈ C положим L(b) := {c ∈ C | ec = b}.
Покажите, чтоL(0) = ∅, а для произвольного b = reiθ с r > 0 и θ ∈ R это множествосовпадает с L(b) = {log r + iθ + 2πin | n ∈ Z}.(2) Фиксируем b ∈ C \ {0}. Покажите, что для любого c ∈R L(b) существует путьγ : [0, 1] → C \ {0} с началом 1 и концом b такой, что γ dz= c.z4.2. Свойства интеграла вдоль пути. Перечисляемые ниже свойстваинтеграла очевидны и приводятся нами без доказательства (исключение составляет лишь последнее свойство 5◦ ).1◦ .
Линейность. Если функции f , g непрерывны вдоль кусочно-гладкогопути γ и a, b ∈ C, тоZZZ(af + bg) dz = a f dz + b g dz .γγ29γ2◦ . Аддитивность. Пустьγ1 : [α, β1 ] → C ,γ2 : [β1 , β] → C– кусочно-гладкие пути с γ1 (β1 ) = γ2 (β1 ). Определим кусочно-гладкий путьγ = γ1 ∪ γ2 : [α, β] → C ,полагаяγ(t) =γ1 (t) приα 6 t 6 β1 ,γ2 (t) приβ1 6 t 6 β .Если функция f непрерывна вдоль γ = γ1 ∪ γ2 , тоZf dz =γ1 ∪γ2Zf dz +γ1Zf dz .γ2Замечание 4. Определение интеграла из п. 4.1 можно распространить на“несвязные” кусочно-гладкие пути γ = γ1 ∪ · · · ∪ γn , состоящие из несколькихсвязных кусочно-гладких компонент γ1 , .
. . , γn . А именно, интеграл по подобному пути γ определяется как сумма интегралов по γ1 , . . . , γn . При таком определении интеграл будет аддитивен по отношению к объединениям γ = γ1 ∪ γ2любых кусочно-гладких путей γ1 , γ2 .3◦ . Независимость от параметризации. Пусть γ : [α, β] → C естькусочно-гладкий путь, полученный из кусочно-гладкого пути γ1 : [α1 , β1 ] → Cзаменой параметра, т.е.γ = γ1 ◦ τ ,где τ : [α, β] → [α1 , β1 ] – непрерывно дифференцируемая строго возрастающаяфункция, осуществляющая гомеоморфизм [α, β] на [α1 , β1 ]. Если функцияf : γ([α, β]) → C непрерывна вдоль γ, то она непрерывна вдоль γ1 иZf dz =γ1Zf dz .γЗамечание 5.
Напомним (см. п. 1.4), что кусочно-гладкая кривая — этокласс эквивалентности кусочно-гладких путей относительно замен параметраτ указанного выше вида. Свойство 3◦ позволяет говорить об интеграле вдольпути как об интеграле вдоль кривой, т.е. не уточняя параметризации кривой.4◦ . Зависимость от ориентации. Пусть кусочно-гладкий путьγ − : [α, β] → Cполучается из кусочно-гладкого пути γ : [α, β] → C сменой ориентации, т.е.γ − (t) = γ(α + β − t) при30α6t6β .Если функция f : γ([α, β]) → C непрерывна вдоль γ, то она непрерывна вдольγ− иZZf dz =f dz .γ−γ◦5 . Оценка интеграла. Пусть функция f непрерывна вдоль кусочногладкого пути γ : [α, β] → C.
Тогда справедлива оценкаZZ| f (z) dz| 6|f (z)| |dz| ,γгдеZγZ|f (z)| |dz| :=γβ.|f (γ(t))||γ(t)| dtαесть криволинейный интеграл первого рода от функции |f | вдоль пути γ. Вчастности, если|f (z)| 6 M при всех z ∈ γ([α, β]) ,то|Zγf (z) dz| 6 M · |γ| ,где |γ| – длина пути γ.RДоказательство. Положим J :=J = |J|eiϕ , ϕ ∈ R. Тогда−iϕ|J| = eZJ=γβf (z) dz и запишем J в полярной форме.e−iϕ f (γ(t))γ(t) dt .αВзяв вещественную часть, получим|J| =Zβ−iϕRe{e.f (γ(t))γ(t)} dt 6αZβ−iϕα|e.f (γ(t))γ(t)| dt =Zβα.|f (γ(t))||γ(t)| dt ,т.е. справедлива оценка|Zf (z) dz| 6γZγ|f (z)| |dz| .Второе утверждение немедленно вытекает из этой оценки, поскольку|γ| =Zβα.|γ(t)| dt .Задача.
Пользуясь примером 1 из п. 4.1, укажите гладкий путь γ : I → C инепрерывную вдоль γ (и даже голоморфнуюRв окрестностиRγ(I)) функцию f : γ(I) → C,для которых не справедливо неравенство | γ f (z) dz| 6 γ |f (z)| dz .314.3. Лемма Гурса. В примере 2 из п. 4.1 мы отмечали, что интеграл отфункции f (z) = z n с натуральным n по любому замкнутому контуру равеннулю. Указанное утверждение представляет собой один из частных случаевинтегральной теоремы Коши, занимающей центральное место в первой частиданного курса. На протяжении этой части мы приведем несколько вариантовуказанной теоремы, постепенно уточняя и обобщая ее формулировку. Первыйвариант, получающийся применением формулы Стокса, можно дать уже сейчас.Допустим, что C 1 -гладкая функция f голоморфна в области D и G ⋐ D –компактная подобласть в D, граница которой описывается замкнутым кусочногладким путем γ : I → D с γ(I) = ∂G.
Тогда, применяя формулу Стокса ккомплекснозначной дифференциальной форме α = f dz, получимZZZZα=dα =d(f dz) =df ∧ dz =∂GGGGZZ=(fz dz + fz̄ dz̄) ∧ dz =fz̄ dz̄ ∧ dz = 0 .GGПоследний интеграл равен нулю ввиду уравнения Коши–Римана, выполняющегося для голоморфных функций.Приведенное рассуждение имеет один существенный недостаток — чтобыприменение формулы Стокса было законным, нужно предполагать (как это ибыло сделано выше), что f ∈ C 1 (D). Мы увидим далее, что это условие является совершенно излишним — теорема Коши верна и без него.
В данномпараграфе мы сделаем первый шаг в направлении этой общей теоремы Коши(не включающей дополнительных предположений о гладкости подынтегральной функции f ), а именно докажем ее в случае, когда подобласть G являетсятреугольником. Указанный вариант теоремы Коши принято называть леммойГурса.Лемма Гурса. Если функция f голоморфна в области D, то ее интегралпо границе любого треугольника ∆ ⋐ D равен нулю:Zf dz = 0 .∂∆Доказательство.
Допустим, напротив, что найдется треугольник ∆0 ⋐ Dтакой, чтоZf dz = M > 0 .(1)∂∆0Разобьем треугольник ∆0 средними линиями на четыре треугольника. Тогдаинтеграл от f по ∂∆0 будет равен сумме интегралов от f по границам этихчетырех треугольников (свойство 2◦ из п. 4.2). Из оценки (1) вытекает, чтохотя бы один из четырех полученных интегралов по модулю будет больше илиравен M4 . Обозначим соответствующий треугольник через ∆1 , так чтоZ Mf dz >.4∂∆132Треугольник ∆1 снова разобьем средними линиями на четыре меньших треугольника и выберем из них треугольник ∆2 такой, чтоZ M>fdz.42∂∆2Продолжая это построение, получим на n-ом шаге треугольник ∆n со свойствомZ M>fdz(2) 4n , n = 0, 1, 2, . .
. .∂∆nТреугольники ∆0 ⊃ ∆1 ⊃ · · · ⊃ ∆n ⊃ . . . образуют вложенную систему компактов в D и потому их пересечение содержит некоторую точку z0 ∈ D.Воспользуемся теперь условием C-дифференцируемости f в точке z0 . Согласно этому условию, для всякого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что в окрестности U точки z0 видаU = Uδ (z0 ) := {z ∈ C | |z − z0 | < δ}функция f представляется в видеf (z) = f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 ) + α(z)(z − z0 ) ,(3)где |α(z)| < ε для всех z ∈ U .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
