А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Еслифункция f ∈ O(|z − a| < r) является в круге {|z − a| < r} суммой степенногоряда:∞Xf (z) =bn (z − a)n ,n=0то этот ряд совпадает с рядом Тейлора функции f .Доказательство. Согласно теореме, круг U := {|z − a| < r} содержится вкруге сходимости ряда∞Xbn (z − a)n ,n=050тем самым, этот ряд сходится равномерно на компактах в U . Поэтому прикаждом фиксированном k = 0, 1, 2, . .
. и произвольном ρ ∈ (0, r) ряд∞X1f (z)nb(z−a)=n(z − a)k+1 n=0(z − a)k+1сходится равномерно на окружности {|z − a| = ρ}. Проинтегрировав его почленно по {|z − a| = ρ}, получим равенство2πibk = 2πick ,где ck есть k-й коэффициент Тейлора функции f .Примеры.1◦ . Ряды∞ Xz nn=1n,∞Xzn ,n=1∞X(nz)nn=1имеют радиусы сходимости соответственно R = ∞, 1, 0 и круги сходимости UR (0) = C, {|z| < 1}, ∅.◦2 . Ряды∞∞∞XXXznznzn ,,nn2n=1n=1n=1имеют один и тот же круг сходимости (а именно, единичный круг), номножества точек сходимости у них различны.
А именно, первый рядрасходится во всех точках единичной окружности (так как его общийчлен не стремится к нулю), второй ряд расходится в точке z = 1 (гармонический ряд), но сходится в точке z = −1 (ряд Лейбница), а третийряд сходится всюду на единичной окружности (и даже равномерно назамкнутом единичном круге), как следует из оценки nz 6 1 при |z| 6 1 . n2 n2Задачи.(1) Покажите, что ряд∞Xznnn=1сходится во всех точках единичной окружности, кроме точки z = 1.(2) Покажите, что ряд∞Xznnln nn=1сходится равномерно на замкнутом единичном круге вместе со всеми рядами,полученными из него почленным дифференцированием.51(3) Пусть рядf (z) =∞Xn=0cn (z − a)nсходится при |z −a| < R.
Докажите, что при всех r ∈ [0, R) интегральное среднее от квадрата модуля f (z) по окружности радиуса r равно сумме квадратовмодулей членов ряда на этой окружности:12πZ02πiθ2|f (a + re )| dθ =∞Xn=0|cn |2 r 2n .[ Указание. Запишите |f (z)|2 в виде2|f (z)| = f (z)f (z) = (∞Xk=0kck (z − a) )(∞Xl=0lcl z − a ) ,подставьте z − a = reiθ , перемножьте ряды и проинтегрируйте почленно поθ ∈ [0, 2π]. Интегралы от членов ряда с k 6= l будут равны нулю].(4) Покажите, что в условиях предыдущей задачи справедливо неравенство∞Xn=0|cn |2 r 2n 6 M (r)2 ,гдеM (r) := max |f (z)| .|z−a|=r(5) Покажите, что если хотя бы одно из неравенств Коши 6.3 обращается в равенM (r)ство (т.е. если существуют n ∈ N и r ∈ [0, R) такие, что |cn | = rn ), тоf (z) = C(z − a)n для некоторой константы C ∈ C.
Покажите, что сразу дванеравенства Коши могут обращаться в равенство только для f (z) ≡ 0.6.6. Голоморфность суммы степенного ряда.Теорема. Сумма любого степенного рядаf (z) =∞Xn=0bn (z − a)nголоморфна в его круге сходимости. При этом производная f ′ (z) являетсясуммой степенного ряда, полученного почленным дифференцированием рядадля f (z).Доказательство. Обозначим радиус сходимости ряда, задающего f , черезR и будем считать, что R > 0 (иначе круг сходимости UR (a) пуст и доказыватьнечего).
Рассмотрим рядg(z) =∞Xn=0nbn (z − a)n−1 ,52полученный почленным дифференцированием ряда для f (z). Его радиус сходимости тоже равен R, так какlim n1/n = 1 .n→∞Следовательно, по теореме из п. 6.5 этот ряд сходится в круге UR (a), причемсходимость равномерна на компактах из UR (a). Тем самым, функция g удовлетворяет обоим условиям теоремы о существовании первообразной (предложение 2 из п. 4.4), а именно:(1) функция g непрерывна в UR (a);(2) для каждого треугольника ∆ ⋐ UR (a)ZZ∞Xg(z) dz =nbn(z − a)n−1 dz = 0∂∆∂∆n=0(ряд можноинтегрировать в силу свойства 1 из п. 6.1, а раR почленноn−1венство ∂∆ (z − a)dz = 0 следует из теоремы Коши, см. следствие1 из п. 5.3).По теореме о существовании первообразной, функцияZ zf0 (z) =g(ζ) dζa(где интеграл берется по отрезку от a до z) голоморфна в U и удовлетворяетусловию f0′ = g в U .
Почленное интегрирование ряда для g(ζ) по [a, z] даетf0 (z) = f (z) − b0 .Следовательно, функция f голоморфна в U и f ′ = g, что и требовалось доказать.Задача. Найдите радиус сходимости ряда Тейлора функцииf (z) =z 2 sin(1/z)z2 + 1с центром в точке z = 1.6.7. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций.Теорема.
Функция f , голоморфная в произвольной области D ⊂ C, имеетв D производные всех порядков, которые также голоморфны в D. При этомряд Тейлора n-й производной f (n) (z) с центром в произвольной точке a ∈ Dполучается n-кратным дифференцированием ряда Тейлора для f (z) с центромв a.Доказательство. Рассмотрим круг сходимости UR (a) ряда Тейлора дляf (z) с центром в точке a. По предыдущей теореме, f ′ (z) представляется вкруге UR (a) степенным рядом, полученным почленным дифференцированиемряда Тейлора для f (z). Значит, функция f ′ голоморфна в круге UR (a) (снова по предыдущей теореме), а представляющий ее ряд есть ряд Тейлора этойфункции с центром в a (по теореме единственности из п. 6.5).
Повторяя данное рассуждение для f ′ , получим аналогичное утверждение для f ′′ и т.д. Всилу произвольности точки a ∈ D функция f имеет производные всех порядковвсюду в D.53Задача. Проследив еще раз все рассуждения от п. 5.4 до этого места, покажите, чтодля доказательства бесконечной дифференцируемости голоморфных функций достаточнознать лишь частный случай теоремы Коши из п. 5.2 для неконцентрического кольцаD = U2 \ U1 , где U1 ⋐ U2 – открытые круги. Дайте полное прямое доказательствоэтого частного случая и выведите из него общий случай теоремы Коши для многосвязнойобласти, пользуясь формулой Стокса в соответствии с замечанием 2 из п.
5.4.6.8. Коэффициенты ряда Тейлора.Теорема. Пусть функцияf (z) =∞Xn=0cn (z − a)nголоморфна в круге UR (a) = {|z − a| < R}. Тогда ее коэффициенты Тейлорав точке a вычисляются по формулеcn =f (n) (a)n!приn = 0, 1, 2, . . . .Доказательство. Пользуясь теоремой из п. 6.7, продифференцируем n разряд для f (z) и положим z = a.6.9. Интегральная формула Коши для производных.Теорема. Пусть D ⊂ C – область с простой границей и функция f голоморфна в D. Тогда для всех n = 0, 1, 2, . . . и всех z ∈ DZn!f (ζ)dζ(n).f (z) =2πi ∂D (ζ − z)n+1Доказательство. Выберем r > 0 так, чтобы Ur (z) ⋐ D. Приравняем другдругу два выражения для n-го коэффициента cn ряда Тейлора функции f сцентром в произвольной точке z ∈ D. Тогда по формуле из п.
6.8 и определениюкоэффициентов Тейлора из п. 6.2 получим, чтоZf (n) (z)1f (ζ)dζ=.n!2πi ∂Ur (z) (ζ − z)n+1По теореме Коши для многосвязной области (см. п. 5.4) интеграл по ∂Ur (z)в этой формуле можно заменить интегралом по ∂D, что и дает требуемоеутверждение.6.10. Теорема Морера.Теорема Морера. Если функция f непрерывна в области D и интегралот f по границе любого треугольника ∆ ⋐ D равен нулю, то f голоморфнав D.Доказательство. Достаточно доказать голоморфность f в произвольномкруге U ⋐ D. Но по теореме о существовании первообразной (предложение 2из п.
4.4) f имеет в U первообразную F . Поскольку производная голоморфнойфункции F сама голоморфна (см. п. 6.7), получаем отсюда голоморфность fв U.546.11. Три эквивалентных определения голоморфной функции.Теорема. Каждое из следующих условий эквивалентно голоморфностифункции f в точке a ∈ C:(1) функция f является C-дифференцируемой в некоторой окрестностиU точки a;(2) функция f аналитична в точке a, т.е. разлагается в степенной ряд сцентром в точке a, сходящийся в некоторой окрестности U точки a;(3) функция f непрерывна в некоторой окрестности U точки a и интеграл от f по границе любого треугольника ∆ ⋐ U равен нулю.Доказательство.(1) ⇒ (2): теорема о разложении в ряд Тейлора (п.
6.2).(2) ⇒ (1): теорема о голоморфности суммы степенного ряда (п. 6.6).(1) ⇒ (3): интегральная теорема Коши в любой из форм пп. 5.3, 5.4; достаточнодаже леммы Гурса (п. 4.3).(3) ⇒ (1): теорема Морера (п. 6.10).6.12. Разложение голоморфной функции в окрестности нуля.Теорема. Пусть функция f голоморфна в точке a ∈ C и f (a) = 0, ноf не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки a. Тогда внекоторой окрестности U точки a функция f представляется в видеf (z) = (z − a)n g(z) ,где n – некоторое натуральное число, функция g голоморфна в окрестностиU и отлична от нуля всюду в U .Доказательство. Функция f представляется своим рядом Тейлораf (z) =∞Xk=1ck (z − a)kв его круге сходимости UR (a) (отметим, что c0 = f (a) = 0 по условию). Положимn := min{m > 1 | cm 6= 0}(это определение корректно, т.к.
если cm = 0 для всех m > 1, то f (z) ≡ 0 вUR (a) вопреки условию). Тогда рядg(z) :=∞Xl=0cn+l (z − a)lимеет тот же круг сходимости, что и ряд для f , иf (z) = (z − a)n g(z) приz ∈ UR (a) .Поскольку функция g непрерывна в UR (a) и g(a) = cn 6= 0, то найдется окрестность U ⊂ UR (a) точки a, в которой g(z) 6= 0 при z ∈ U .55Определение. Числоn = min{m > 1 | cm 6= 0} = min{m > 1 | f (m)(a) 6= 0}из доказанной теоремы называется порядком нуля голоморфной функции fв точке a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
