А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 12
Текст из файла (страница 12)
6.1, этот ряд сходится равномерно по ζ ∈ γt .Интегрируя его почленно по γt , получаемZ∞X1f (ζ) dζnI1 =cn (z − a) , где cn :=,(3)n+12πi(ζ−a)γtn=060т.е. интеграл I1 совпадает с правильной частью ряда Лорана. Отметим, чтопервая часть доказательства проводится также, как доказательство теоремы6.2 о разложении голоморфной функции в степенной ряд.Обратимся теперь к интегралу I2 . Для ζ ∈ γs имеем |ζ − a| < |z − a|, так что111==·ζ −z(ζ − a) − (z − a)z−a1ζ−az−a−1== −∞X(ζ − a)m.m+1(z−a)m=0Умножая этот ряд на f (ζ) и интегрируя почленно по γs , получаем, чтоI2 =∞Xm=0bm (z − a)−(m+1) ,где коэффициентbmZ1=−2πiγs(ζ − a)m f (ζ) dζсовпадает с −c−(m+1) . Таким образом, интеграл I2 равен взятой со знакомминус главной части ряда Лорана.
Складывая это выражение для I2 с выражением для I1 , даваемым формулой (3), получим, в силу (2), требуемуюформулу (1).7.2. Сходимость рядов по целым степеням z − a.Теорема. Для произвольного набора {cn | n ∈ Z} комплексных чисел положимno−1R := lim |cn |1/n,r := lim |c−n |1/n .n→∞n→∞Тогда ряд Лорана∞Xf (z) :=n=−∞cn (z − a)nсходится абсолютно и равномерно на компактах в кольце {r < |z − a| < R},причем его сумма f (z) голоморфна в этом кольце и удовлетворяет соотношениюZ1f (ζ) dζ= cn для всех n ∈ Z и r < ρ < R .(1)2πi |ζ−a|=ρ (ζ − a)n+1Если |z − a| < r, то главная часть ряда Лорана−1Xn=−∞cn (z − a)nрасходится.
Если же |z − a| > R, то расходится его правильная часть∞Xn=0cn (z − a)n .61Отметим, что из равенства (1) вытекает свойство единственности коэффициентов Лорана.Доказательство. Утверждения о сходимости и расходимости следуют изформулы Коши–Адамара (п. 6.5), примененной к степенным рядамf1 (z) :=∞Xn=0иf2 (z) :=−1Xn=−∞ncn (z − a) =∞Xcn (z − a)nc−m Z m ,гдеm=1Z := 1/(z − a) .Голоморфность f (z) в кольце r < |z − a| < R вытекает из того, что функцияf1 (z) голоморфна при |z − a| < R в силу п. 6.6, а функция f2 (z) голоморфна при|Z| < r −1 , т.е. при |z − a| > r.Чтобы доказать формулу (1), надо умножить равенствоf (ζ) :=∞Xn=−∞cn (ζ − a)nна (ζ − a)−(m+1) и проинтегрировать почленно по окружности |ζ − a| = ρ (этозаконно в силу равномерной сходимости ряда).
Согласно примеру 1 из п. 4.1,интегралы от всех членов ряда с n 6= m равны нулю, а интеграл от члена сn = m равен 2πi, что и дает (1).Задачи.(1) Пусть рядf (z) =−1Xn=−∞cn (z − a)nсходится при |z −a| > 1. Доопределим f (z) в точке z = ∞, полагая f (∞) = 0.Покажите, что функция f (z) голоморфна в точке z = ∞.(2) Пусть u ⋐ U — открытые круги с общим центром. Покажите, что всякаяфункция f (z), голоморфная в кольце V = U \ u, представляется как суммафункций, голоморфных внутри и снаружи кольца, т.е. для всех z ∈ Vf (z) = f1 (z) + f2 (z) ,где f1 ∈ O(U ), f2 ∈ O(C \ u).[ Указание. Следуйте доказательству теоремы 7.1].(3) Покажите, что f1 , f2 определяются по f однозначно с точностью до аддитивнойконстанты, т.е. с точностью до замены f1 (z), f2 (z) на f1 (z) + C , f2 (z) − C ,где C ∈ C – некоторая константа.[ Указание. Используйте теорему Лиувилля 6.4].(4) Верны ли результаты задач (2), (3) для неконцентрического кольца (т.е.
безпредположения о том, что центры кругов u, U совпадают)?627.3. Неравенства Коши для коэффициентов Лорана.Предложение. Пусть функцияf (z) =∞Xn=−∞cn (z − a)nголоморфна в кольце {r < |z − a| < R}. Тогда для всех n ∈ Z и всех ρ ∈ (r, R)справедливы неравенства|cn | 6M (ρ),ρnM (ρ) := max |f (ζ)| .где|ζ−a|=ρДоказательство. Повторяет доказательство неравенств Коши из п. 6.3.Задачи.P∞n(1) Предполагая, что функция f (z) =n=−∞ cn (z − a) голоморфна в кольце{r < |z − a| < R}, докажите тождество∞Xn=−∞2 2n|cn | ρ1=2πZ2π0|f (a + ρeiθ )|2 dθдля r < ρ < R. Выведите отсюда следующее усиление неравенств Коши 7.3∞Xn=−∞|cn |2 ρ2n 6 M (ρ)2 .[ Указание.
См. задачи (2), (3) из п. 5.5].(2) Покажите, что если хотя бы одно из неравенств Коши 7.3 для функции f (z)обращается в равенство, то она равна C(z − a)n для некоторых C ∈ C, n ∈ Z.7.4. Замечание о рядах Лорана и Фурье. Каждый сходящийся рядЛорана можно рассматривать как ряд Фурье. Если, например, функция f голоморфна в кольце {1−ε < |z| < 1+ε} для некоторого ε > 0, то n-й коэффициентЛорана cn функции f можно записать в виде1cn =2πiZ|ζ|=1f (ζ)ζ−(n+1)1dζ =2πZ2πf (eit )e−int dt .0Иначе говоря, он совпадает с n-м коэффициентом Фурье функции ϕ(t) = f (eit )на отрезке 0 6 t 6 2π. В частности, в силу теоремы из п.
7.2 отсюда вытекает,что ряд Фурье функции f (eit ) сходится к ней равномерно на отрезке 0 6 t 6 2π.Задачи.(1) Пользуясь теоремой Вейерштрасса 6.14, покажите, что ряд Фурье функции f (eit )сходится к ней равномерно на отрезке [0, 2π] вместе со всеми производными.(2) Проверьте, что тождество в задаче (1) из п. 7.3 есть не что иное, как равенствоПарсеваля для коэффициентов Фурье функции f (ρeit ) на отрезке 0 6 t 6 2π.63Заметим, однако, что обратный переход от ряда Фурье к ряду Лорана возможен не всегда, точнее, не всякий ряд Фурье является рядом Лорана некоторойфункции. Более подробно, для каждой функции ϕ ∈ L1 (0, 2π) можно определить ее коэффициенты Фурье по формулеZ1cn =2π2πϕ(t)e−int dt .0Если функция ϕ является достаточно гладкой (например, класса C 2 (0, 2π)),причем как сама ϕ, так и ее производные ϕ′ и ϕ′′ принимают одинаковые значения в точках 0 и 2π, то ряд Фурье этой функции∞Xcn eintn=−∞сходится к ϕ абсолютно и равномерно на [0, 2π].
Однако для сходимости рядаЛорана∞Xcn z nn=−∞в каком-либо кольце {1 − ε < |z| < 1 + ε}, ε > 0, необходимо, чтобы функция ϕбыла вещественно аналитической (это вытекает из теоремы 7.2 и результатовлекции 6).7.5. Изолированные особые точки. Определение.Определение. Точка a ∈ C называется изолированной особой точкой (однозначного характера) для функции f (z), если f голоморфна в некоторой проколотой окрестности V = {0 < |z − a| < ε}, ε > 0, точки a.
Изолированнаяособая точка a функции f называется:(1) устранимой, если существует (конечный) пределlim f (z) ∈ C ;z→a(2) полюсом, если существуетlim f (z) = ∞ ;z→a(3) существенно особой точкой во всех остальных ситуациях, т.е. когдане существует (ни конечного, ни бесконечного) предела f (z) приz → a.Примеры. Точка a = 0 является:(1) устранимой особой точкой для функцииf (z) =sin z;z64(2) полюсом для функции1;z(3) существенно особой точкой для функцииf (z) =f (z) = e1/z(действительно, при z = x → 0 предел справа равен +∞, предел слеваравен 0, а при z = iy → 0 функция e−i/y = cos(1/y) − i sin(1/y) вообщене имеет предела);(4) неизолированной особой точкой для функцииf (z) = ctg(1/z) ,имеющей полюсы в точках zn = (πn)−1 .7.6. Описание устранимых особых точек.Теорема. Для функции f , голоморфной в проколотой окрестности V ={0 < |z − a| < ε} точки a, следующие утверждения эквивалентны:(1) z = a — устранимая особая точка ;(2) f (z) ограничена в некоторой проколотой окрестности V ′ ={0 < |z − a| < ε′ }, ε′ > 0, точки a ;(3) коэффициенты Лорана cn функции f в проколотой окрестности V ={0 < |z − a| < ε} удовлетворяют условиюcn = 0приn < 0;(4) можно доопределить функцию f (z) при z = a таким образом, чтобыполученная функция f стала голоморфной в полной окрестности U ={|z − a| < ε} точки a.Доказательство.
(1) ⇒ (2). Очевидно.(2) ⇒ (3). Если|f (z)| 6 M0 < |z − a| < ε′ ,прито по неравенствам Коши 7.3 имеем|c−k | 6 M ρkпри всех k = 1, 2, . . .и всехρ ∈ (0, ε′ ) .Устремляя ρ → 0, получаем, что c−k = 0 при каждом k = 1, 2, . . . .(3) ⇒ (4). По условию имеемf (z) =∞Xn=0cn (z − a)nпри0 < |z − a| < ε .Если положить f (a) = c0 , то это равенство будет верно и при |z − a| < ε. Потеореме из п. 6.6 функция f голоморфна в окрестности {|z − a| < ε}.(4) ⇒ (1). Очевидно.65Задача. Пусть f ∈ O({0 < |z − a| < ε}) и функция |z − a|1/2 |f (z)| ограниченана {0 < |z − a| < ε}. Покажите, что a – устранимая особая точка для f (z).7.7.
Описание полюсов.Теорема. Точка a является полюсом функции f , голоморфной в проколотой окрестности V = {0 < |z − a| < ε} этой точки, тогда и только тогда,когда главная часть лорановского разложения f в окрестности V содержитлишь конечное (но ненулевое) число отличных от нуля членов. Иначе говоря,лорановское разложение f в окрестности V имеет видf (z) =∞Xn=−Ncn (z − a)nдля некоторого N ∈ N, причем c−N 6= 0.Доказательство.=⇒ . По определению полюса limz→a f (z) = ∞, так что f (z) 6= 0 при 0 <|z − a| < ε′ .
Следовательно, функцияg(z) :=1f (z)голоморфна в проколотой окрестности V ′ = {0 < |z − a| < ε′ }. При этом поусловиюlim g(z) = 0 .z→aПо теореме из п. 7.6 функция g будет голоморфна в полной окрестности U ′ ={|z − a| < ε′ } точки a, если доопределить ее в этой точке, полагая g(a) = 0.Обозначим через N порядок нуля g(z) при z = a (см. п. 6.12). Тогда при0 < |z − a| < ε′ будем иметьg(z) = (z − a)N h(z) ,где функция h голоморфна в окрестности U ′ = {|z − a| < ε′ } и h(z) 6= 0 при0 < |z − a| < ε′′ . Функция 1/h голоморфна в круге U ′′ = {|z − a| < ε′′ } и,следовательно, по теореме из п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
