А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Элементы F = (U, f ) и G = (V, g) являются непосредственным аналитическим продолжением (сокращенно: НАП) друг друга, еслиU ∩ V 6= ∅иf =gнаU ∩V .Элемент G называется аналитическим продолжением элемента F по цепочкеF0 = F, F1 , . . . , FN−1 , FN = G, еслиn = 0, 1, . . . , N − 1 .Пусть даны две цепочки элементов F0 , F1 , . .
. , FN и Fe0 , Fe1 , . . . , FeNe , осуществляющих аналитическое продолжение одного и того же элемента F := F0 = Fe0 ,e := Fe e имеют общий центр. Спрашипричем конечные элементы G := FN и GNвается, следует ли отсюда, чтоe?G=GFn+1есть НАПFnприОтрицательный ответ на этот вопрос вытекает из следующей задачи (в котоe = 1, Fe1 = Fe0 = F0 ).рой можно взять N83Задача. Рассмотрим аналитическое продолжение элемента F0 = (U0 , f0 ), гдеU0 = {|z − 1| < 1},p√arg zf0 (z) = z = |z|ei 2, −π/2 < arg z < π/2 ,задаваемое элементами F0 , F1 , F2 , F3 , где Fn = (Un , fn ) для n = 1, 2, 3 однозначнозадаются условиемUn = {|z − e2πi3 n| < 1} .Доказать, что U3 = U0 , но f3 = −f0 6= f0 .[ Указание. Все fn задаются той же формулой, что и f0 , разница лишь в границахизменения arg z].Отметим одно очевидное, но важное свойство канонических элементов, оправдывающее введение этого понятия. Если канонические элементы F = (U, f ) иG = (V, g) являются НАП друг друга и имеют общий центр, то они равны:F = G.10.3.
Свойства непосредственного аналитического продолжения.Отметим два очевидных, но важных свойства непосредственного аналитического продолжения элементов, которые постоянно используются ниже.(А) (свойство Вейерштрасса). Если G = (V, g) есть НАП элементаF = (U, f ) и центр b круга V лежит в U , то ряд Тейлора для g получаетсяпереразложением ряда Тейлора для f в точке b, т.е.∞Xf (n) (b)g(z) =(z − b)nn!n=0для всех z ∈ V . Обратно, взяв произвольную точку b ∈ U , зададим g(z) этойформулой и определим V как круг сходимости этого ряда; тогда (V, g) естьНАП (U, f ).(В) (свойство треугольника). Пусть элемент F1 = (U1 , f1 ) есть НАПэлемента F0 = (U0 , f0 ), а элемент F2 = (U2 , f2 ) есть НАП F1 .
ЕслиU0 ∩ U1 ∩ U2 6= ∅ ,то F2 есть НАП F0 .Последнее свойство выражает “частичную транзитивность” отношенияНАП; настоящей транзитивностью это отношение обладать не может в силузадачи из предыдущего параграфа.Доказательство. Утверждение (А) следует из теоремы о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора.
Для доказательства утверждения (В) заметим, что на непустом открытом подмножестве U0 ∩U1 ∩U2 множества U0 ∩U2справедливо равенство f2 ≡ f1 ≡ f0 . По теореме единственности отсюда следует, чтоf2 ≡ f0 всюду на U0 ∩ U2 ,тем самым, F2 есть НАП F0 .8410.4. Продолжение канонических элементов вдоль пути. Непрерывным аналогом аналитического продолжения по цепочке является понятие аналитического продолжения вдоль пути, которое мы сформулируем и будем использовать только для канонических элементов.Определение.
Семейство канонических элементов Ft = (Ut , ft ), t ∈ I =[0, 1], называется аналитическим продолжением канонического элемента F0вдоль пути γ : I → C, если:(1) центр at элемента Ft совпадает с γ(t), а его радиус R(t) строго положителен для всех t ∈ I;(2) для любого t0 ∈ I найдется связная окрестность ut0 ⊂ I точки t0такая, что для всех t ∈ ut0 имеемγ(t) ∈ Ut0иFtесть НАПFt0 .Как мы увидим в п. 10.5, процесс аналитического продолжения вдоль путисводится к последовательному переразложению начального элемента F0 вдольγ, так что следующий результат о единственности интуитивно очевиден.Предложение. Если {Ft | t ∈ I} и {Fet | t ∈ I} – два аналитических продолжения канонического элемента F0 = Fe0 вдоль пути γ, тоF1 = Fe1 .Доказательство.
Введем множествоE := {t ∈ I | Ft = Fet } .Оно(1) непусто, так как 0 ∈ E;(2) открыто, поскольку из t0 ∈ E следует, чтоet0 ⊂ Eut0 ∩ uв силу свойства (А) из п. 10.3;(3) замкнуто; действительно, если t0 ∈ I – предельная точка для множестваE, то в пересечении ut0 ∩ uet0 найдется точка t1 ∈ E; тогда каноническиеeэлементы Ft0 и Ft0 являются НАП элемента Ft1 = Fet1 и имеют общийцентр γ(t0 ), поэтому они совпадают (см. замечание в конце п.10.2).По теореме об открыто-замкнутом подмножестве получаем отсюда, что E = I,откуда следует утверждение предложения.Лемма. Пусть R(t) есть радиус элемента Ft из семейства каноническихэлементов {Ft | t ∈ I}, осуществляющих аналитическое продолжение элемента F0 вдоль пути γ : I → C.
Тогда либо R(t) = ∞ для всех t ∈ I, либоR : I → R есть непрерывная функция.Доказательство. 1◦ . Пусть R(t0 ) = ∞ для некоторого t0 ∈ I. Тогда всилу свойства (A) из п.10.3 и теоремы о разложении в ряд Тейлора получаем,чтоR(t) = ∞ для всех t ∈ ut0 .85Далее, как и в доказательстве предыдущего предложения, вводим множество{t ∈ I | R(t) = ∞} и показываем, что оно непусто, открыто и замкнуто (деталиоставляем читателю).2◦ .
Пусть R(t0 ) < ∞. Тогда при t ∈ ut0 пересечение∂Ut ∩ ∂Ut0будет непусто (иначе замыкание одного из кругов Ut , Ut0 лежало бы в другомкруге, что противоречит свойству (А) из п.10.3). Выберем точку a ∈ ∂Ut ∩∂Ut0 . Тогда в треугольнике с вершинами в точках γ(t), a, γ(t0 ) выполняетсянеравенство|R(t) − R(t0 )| 6 |γ(t) − γ(t0 )| .В силу непрерывности функции γ(t) отсюда следует непрерывность функцииR(t).10.5. Эквивалентность аналитического продолжения по цепочке ивдоль пути. Теперь мы покажем, что понятия аналитического продолжениявдоль пути и по цепочке эквивалентны друг другу.
Более точно, справедливоследующееПредложение. (1) Пусть семейство канонических элементов {Ft | t ∈ I}осуществляет аналитическое продолжение элемента F0 вдоль пути γ. Тогданайдется набор точек 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 такой, что элемент F1совпадает с аналитическим продолжением F0 по цепочкеF0 = Ft0 , Ft1 , . . . , Ftn = F1 .(2) Обратно, пусть канонический элемент G является аналитическимпродолжением канонического элемента F по некоторой цепочке канонических элементовF = F0 , F1 , .
. . , Fn = G .Обозначим через γ : I → C (параметризованную) ломаную, последовательносоединяющую центры элементов F0 , F1 , . . . , Fn . Тогда найдется семействоканонических элементов Ft , t ∈ I, осуществляющих аналитическое продолжение элемента F0 вдоль пути γ, такое чтоFt=1 = Fn .Доказательство. (1). Согласно лемме из п. 10.4 существует ε > 0 такое,что R(t) > ε для всех t ∈ I. В силу равномерной непрерывности функции γ(t),найдется δ > 0 такое, что|s − t| < δ =⇒ |γ(s) − γ(t)| < ε .Выберем из покрытия отрезка I = [0, 1] интерваламиIt := ut ∩ (t − δ/2, t + δ/2)86конечное подпокрытие It1 , .
. . , Itn−1 , где t1 < t2 < · · · < tn−1 , и положим t0 = 0,tn = 1. Тогда|γ(tj ) − γ(tj−1 )| < ε при j = 1, . . . , n(по определению δ) и элемент Ftj есть НАП элемента Ftj−1 (по определению utдля t = tj−1 , tj ).(2). Пусть элемент G является аналитическим продолжением элемента Fпо цепочке канонических элементов Fk = (Uk , fk ), k = 0, 1, . . . , n. Семействоканонических элементов Ft = (Ut , ft ), t ∈ I, осуществляющих аналитическоепродолжение F0 вдоль ломаной γ, о котором идет речь в формулировке (2),строится следующим образом.
Для t ∈ I обозначим через k = k(t) числоk = min {l ∈ {0, 1, . . . , n} | γ(t) ∈ Ul } .Тогда канонический элемент Ft = (Ut , ft ) с центром в точке γ(t) целиком определяется заданием ряда Тейлора ft . Последний же получается переразложением ряда Тейлора fk (z) в точке γ(t). Построенное таким образом семейство{Ft | t ∈ I} осуществляет аналитическое продолжение F0 вдоль пути γ так, чтоFt=1 = G .Для проверки этого надо лишь задать окрестности ut0 (см. определение вп. 10.1). Возьмем за ut0 любую связную окрестность t0 в I такую, что γ(ut0 ) ⊂Uk(t0 ) .
Тогда для всех t ∈ ut0 элемент Ft есть НАП Ft0 в силу свойства (А) изп. 10.3.10.6. Теорема о продолжении вдоль гомотопных путей.Теорема. Пусть γ0 , γ1 – два пути с общими концамиγ0 (0) = γ1 (0) = a ,γ0 (1) = γ1 (1) = b ,гомотопные друг другу. Пусть Γ : I × I → C – непрерывное отображение,задающее эту гомотопию, т.е.Γ(s, 0) = a ,Γ(s, 1) = bдля всехs∈I ,и путиγs : I → C ,γs (t) := Γ(s, t) ,осуществляют деформацию пути γ0 в путь γ1 .
Предположим, что канонический элемент F = (U, f ) с центром в точке a допускает аналитическоепродолжение {Fst | t ∈ I} вдоль каждого пути γs , s ∈ I. Тогда результатыпродолжения F вдоль γ0 и γ1 совпадают:F0,1 = F1,1 .Доказательство. Фиксируем s0 ∈ I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
