А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 18
Текст из файла (страница 18)
9.8). В качестве окрестности ut0 (фигурирующей в определении из п. 10.1)годится любая связная окрестность точки t0 в I такая, что γ(ut0 ) ⊂ Ut0 ; существование такой окрестности вытекает из непрерывности функции θ(t).Если же путь γ : I → C таков, что γ(t0 ) = 0 для некоторого t0 ∈ I, то длялюбого продолжения {Ft | t ∈ I} вдоль γ мы должны иметьft′0 (z) → ∞ приz → γ(t0 ) = 0(равенство f ′ (z) = 2f1(z) остается верным для всех ft по теореме единственности), что доказывает невозможность продолжения вдоль γ.Полная аналитическая функция на C \ {0}, задаваемая совокупностью продолжений начального√ элемента (U0 , f0 ) вдоль всевозможных путей в C \ {0},обозначается через z. Она двузначна в том смысле, что для любого z ∈ C\{0}имеется два ее канонических элемента с центром в z.√Замечание.
Пример построенной ПАФ z показывает, что в теореме опродолжении вдоль гомотопных путей из п. 10.5 условие продолжимости вдольвсех путей γs существенно. Действительно, семейство окружностейγs = {z ∈ C | |z − s| = 1 − s} ,06s61,задает гомотопию кривых γ0 и γ1 с общими началом и концом a = b = 1, норезультаты продолжения (U0 , f0 ) вдоль окружности γ0 и “стянутого в точку”пути γ1 — разные: при продолжении вдоль γ0 мы получаем, по сказанномувыше, элемент (U0 , −f0 ), а при продолжении вдоль γ1 – элемент (U0 , f0 ). Причина несовпадения в том, что путь γ1/2 проходит через 0, так что продолжениевдоль него невозможно.11.3. Пример: полная аналитическая функция ln z.
В исходном каноническом элементе (U0 , f0 ) этой функции U0 есть круг U0 = {|z − 1| < 1}радиуса 1 с центром в точке z = 1, а ряд Тейлора f0 задается формулой∞X(−1)n−1f0 (z) =(z − 1)n = ln |z| + i arg z ,nn=1где − π < arg z < π ,(см. п. 9.5). Этот элемент можно продолжать вдоль любого пути γ ⊂ C \ {0} сначалом в точке z = 1 любым из двух следующих способов:1) по формулеZ zdζln z =ζ1(где интеграл берется вдоль пути γ, ведущего из 1 в точку z); или2) по формулеln z = ln |z| + i arg z(аналогично п. 11.2). В итоге получаем ПАФ ln z на C \ {0}, имеющую бесконечное (счетное) число различных элементов в каждой точке C \ {0}.9211.4. Действия над полными аналитическими функциями.
ПустьF , G – две полных аналитических функции в области D ⊂ C и F = (U, f ), G =(V, g) – произвольные канонические элементы этих функций с центром в точкеa ∈ D. Тогда канонические элементы с центром в a, отвечающие функциямf ′ , f + g, f g, f /g (в последнем случае предполагается, что все элементы Gотличны от 0 во всех точках z ∈ D), допускают аналитическое продолжениевдоль любых путей в D. Совокупность результатов этих продолжений (по всемвозможным выборам F и G) обозначается соответственно через F ′ , F + G, F G,F /G. Подчеркнем, что построенные множества канонических элементов необязательно задают одну единственную ПАФ; вполне может случиться так, чтокаждое из множеств канонических элементов F ′ , F +G, F G, F /G распадается нанесколько (возможно, даже счетное число) различных полных аналитическихфункций.√√ Поясним это на примере.√ Сокупность продолжений суммы ПАФz + z состоит из двух ПАФ 2 z и 0, а суммы ln z + ln z – из счетногочисла различных ПАФ.
Напротив, производная ПАФ (ln z)′ = 1/z определяетединственную (и притом однозначную) ПАФ.Чтобы определить композицию G ◦ F , допустим, что F есть ПАФ в областиD ⊂ Cz и значения всех ветвей F лежат в области D1 ⊂ Cw , на которой заданаПАФ G. Возьмем произвольные канонические элементы F = (U, f ), G = (V, g)наших функций с центрами в точках a ∈ D и f (a) соответственно. Тогдаканонический элемент с центром a, отвечающий функции g ◦ f , продолжаетсявдоль любых путей в D. Совокупность всех таких продолжений обозначаетсячерез G ◦ F и снова может состоять из однойПАФ. Например,√ или нескольких√ 22композиция √ПАФ√ G(w) = w и F (z) = z равна ( z) = z (что, кстати, несовпадает с z z = ±z).Подведем итог: операции над ПАФ ( такие, как сложение и вычитание,произведение и деление, композиция, дифференцирование и интегрирование,сужение, взятие обратной функции ) определяются “поэлементно” и могутприводить не к одной, а к нескольким ПАФ.Многозначные аналитические функции возникают, в частности, как функции, обратные к голоморфным.
Рассмотрим, в частности, операции ”извлечения корня” и ”взятия логарифма” от голоморфной функции.Предложение. Пусть D ⊂ C – односвязная область, функция f голоморфна в D и f (D) ⊂ C \ {0}. Тогда найдутся функции g и h, голоморфные вобласти D, такие чтоf = g2f = ehD.pДоказательство. Рассмотрим композициюf (z), имеющую смысл согласно п. 11.4. По теореме о монодромии, она распадается над D на однозначные ветви. Если g(z) – любая из этих ветвей, то g ∈ O(D) ииg2 = fввD.Аналогичное рассмотрение композиции ln f (z) дает голоморфную в D функциюh, для которойf = eh в D .93Задача.
Завершите следующее доказательство приведенного предложения, не использующее теории аналитического продолжения. Пусть h1 (z) есть первообразная функции f ′ (z)/f (z) в D (существующая в силу односвязности D). Тогдаeh1 (z) = Cf (z) в Dдля некоторой ненулевой комплексной константы C . Пользуясь этим, легко построитьфункцию h(z) такую, что g(z) = eh(z)/2 .11.5.
Изолированные особые точки полной аналитической функции.Определение. Точка a ∈ C называется изолированной особой точкой ПАФF , заданной в окрестности a, если найдется проколотая окрестность этойточки видаV = {z ∈ C | 0 < |z − a| < ε}при a ∈ C иV = {z ∈ C | |z| > ε−1 }при a = ∞ такая, что F допускает ограничение на V .В соответствии с определением в начале п. 11.1, это означает, что найдется канонический элемент F1 = (U1 , f1 ) функции F c U1 ⊂ V , допускающийаналитическое продолжение вдоль любых путей γ ⊂ D1 .Лемма 1.
Пусть V есть проколотая окрестность точки a. Тогда длявсякого замкнутого пути γ : I → V с γ(0) = γ(1) = z0 ∈ V найдется единственное n ∈ Z такое, что γ ∼ γ0n , т.е. путь γ гомотопен пути γ0n , где γ0обозначает окружностьγ0 (t) = a + (z0 − a)e2πit ,06t61 ,радиуса |z0 − a| с центром в точке a.Здесь и далее запись α ∼ β будет означать, что пути α, β гомотопны внутриV с фиксированными началом и концом, а α ∪ β обозначает путь, полученныйкомпозицией путей α и β; в этом же смысле понимается степень γ0n .Доказательство. 1) Существование n.
Пусть ϕ0 ∈ R обозначает arg(z0 −a) в полярном представленииz0 − a = |z0 − a|eiϕ0 .Выбирая arg(γ(t) − a) непрерывно зависящим от t ∈ I(:= [0, 1]), запишем путьγ(t) в видеγ(t) = a + |γ(t) − a|eiϕ(t) при t ∈ Iдля некоторой непрерывной функции ϕ : I → R с ϕ(0) = ϕ0 . Из γ(0) = γ(1)следует, что ϕ(1) − ϕ(0) = 2πn для некоторого n ∈ Z.
Тогда формулаΓ(s, t) = a + |z0 − a|s |γ(t) − a|1−s ei{(ϕ0 +2πnt)s+ϕ(t)(1−s)}94определяет непрерывное отображение Γ : I × I → V , задающее гомотопиюγ ∼ γ0n . (Иначе говоря, мы деформируем графики функций ln |γ(t) − a| иarg(γ(t) − a) над отрезком [0, 1] соответственно в графики функций ln |γ0n (t) − a|и arg(γ0n (t) − a)).2) Единственность n. Если γ ∼ γ0n1 ∼ γ0n2 , то путь δ = γ0n1 −n2 гомотопен постоянномуι(t) ≡ z0 внутри V .
Следовательно, по теореме Коши,R путиdz2πi(n1 − n2 ) = δ z−a= 0, т.е. n1 = n2 .Замечание. Отображение γ 7→ n, определяемое леммой 1, задает изоморфизм групп π1 (V, z0 ) ∼= Z.Лемма 2. Пусть a – изолированная особая точка ПАФ F и F |V – ее ограничение на проколотую окрестность V этой точки.
Если результат продолжения некоторого канонического элемента F0 ∈ F |V (с центром в точкеz0 ∈ V ) вдоль γ0 снова совпадает с F0 , то F |V есть однозначная голоморфнаяфункция, т.е. однозначная ветвь F в V .Доказательство. По лемме 1 любые два пути γ1 , γ2 ⊂ V с началом z0 иконцом z удовлетворяют условиюγ2 ∼ γ1 γ0nдля некоторого n ∈ Z. Поэтому, ввиду условия леммы, результат продолженияF0 вдоль любого пути γ ⊂ V с γ(0) = z0 зависит только от конечной точкипути γ(1) = z и не зависит от выбора самого пути γ ⊂ V , ведущего в этуточку.
Отсюда следует однозначность ограничения F |V .11.6. Классификация изолированных особых точек. Пусть ограничение ПАФ F на проколотую окрестность V точки a порождается каноническимэлементом F0 ∈ F |V с центром в точке z0 ∈ V . Для n ∈ Z обозначим через Fnрезультат продолжения F0 вдоль пути γ0n , введенного в формулировке леммы1.Определение.(1) Если F1 = F0 (т.е. результат продолжения F0 вдоль γ0 совпадаетснова с F0 ), то по лемме 2 ограничение F |V есть однозначная функция f , голоморфная в V .
В этом случае a называется изолированнойособой точкой однозначного характера для F |V .(2) Если F1 6= F0 , то a называется точкой ветвления для F . При этом,если Fn = F0 для некоторого n > 2, то a называется точкой ветвленияконечного порядка; при этом порядок ветвления равен по определениючислуmin{n > 2 | Fn = F0 } .В противном случае, a называется логарифмической точкой ветвлениядля F .Отметим, что дальнейшая классификация особых точек однозначного характера для ПАФ F (т.е.
подразделение их на устранимые особые точки, полюсыи существенно особые точки) cводится к классификации изолированных особыхточек для голоморфной функции F |V = f .95Лемма 3. Данное выше определение не зависит от выбора каноническогоэлемента F0 ∈ F |V .Доказательство. Рассмотрим другой канонический элемент Fe0 ПАФ F |Vс центром в точке ze0 ∈ V . Пусть γe0 – замкнутый путь видаz0 − a)e2πit ,γ0 (t) = a + (e06t61,из леммы 1, являющийся образующей группы π1 (V, ze0 ). Обозначим, как и выше, через Fen , n ∈ Z, результат продолжения Fe0 вдоль пути γe0n .Пусть λ ⊂ V есть путь с началом ze0 и концом z0 такой, что продолжение Fe0вдоль λ совпадает с F0 .
Тогда по лемме 1λ ∼ γ0m λ0для некоторого m ∈ Z, где путь λ0 идет сначала в положительном направлениипо γe0 до пересечения с лучом из a в z0 , а затем по этому лучу до z0 ; см. рис.).Непосредственно проверяется, чтоγe0 ∼ λ−10 γ0 λ0 .Отсюда последовательно выводим, что:(1) γe0 ∼ λ−1 γ0 λ ;(2) γe0n ∼ λ−1 γ0n λ для всех n ∈ Z ;(3) результат продолжения элемента Fen вдоль λ совпадает с Fn для всехn ∈ Z (по теореме о продолжении вдоль гомотопных путей) .Тем самым, условия Fn = F0 и Fen = Fe0 эквивалентны.Замечание. Если F есть ПАФ в некоторой области D ⊃ V , которая имеетразные ограничения на V (см. п. 11.1), то каждое из них может иметь своюособенность в точке a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
