А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Согласно лемме из п. 10.4, существует ε > 0 такое, что радиус R(s0 , t) элемента Fs0 ,t удовлетворяет неравенствуR(s0 , t) > ε для всех87t∈I .Пользуясь равномерной непрерывностью функции Γ, выберем окрестность v =vs0 ⊂ I точки s0 так, чтобы при s ∈ v выполнялось неравенствоmax |Γ(s0 , t) − Γ(s, t)| < ε/4 .t∈IПокажем, что:(i) для всех s ∈ v результат аналитического продолжения F вдоль γsсовпадает с результатом аналитического продолжения F вдоль γs0 .Чтобы доказать это, построим для s ∈ v, t ∈ I новое семейство канонических элементов Fest , которое определяется следующим образом.
Элементest , fest) этого семейства имеет центр в точке Γ(s, t) и целиком определяFest := (Uется рядом Тейлора fest (z), который получается переразложением ряда Тейлораfs0 t (z) в точке Γ(s, t).Достаточно проверить, что:(ii) для всех s ∈ v семейство элементов{Fest | t ∈ I}осуществляет аналитическое продолжение Fes0 = F вдоль γs .Действительно, из справедливости указанного утверждения (ii) вытекает, в силу теоремы единственности из п. 10.2, что результат Fs1 аналитического продолжения F вдоль γs совпадает с Fes1 := Fs0 1 , что доказывает утверждение(i).Чтобы доказать (ii), нужно построить окрестности uet0 (см. определение вп.
10.1). Выберем δ > 0 так, чтобы при |t1 − t2 | < δ выполнялось неравенство|Γ(s0 , t1 ) − Γ(s0 , t2 )| < ε/4(этого можно добиться ввиду равномерной непрерывности функции γs0 ). Покажем, что в качестве искомых окрестностей uet0 можно взятьuet0 := ut0 ∩ (t0 − δ/2 ,t0 + δ/2) .Действительно, точка Γ(s0 , t) принадлежит каждому из четырех кругов Us0 t0 ,est , Uest (их радиусы велики по сравнению с расстояниями между центUs0 t , U0рами; см. рисунок), так что пересечение любых трех из этих кругов непусто.Поэтому, последовательно применяя свойство (В) из п.10.3 к треугольникамABC и ACD на рисунке, будем иметь:(Fest0 есть НАП Fs0 t0 (определение Fe ) ,Fs0 t0 есть НАП Fs0 t(определениеut0 ) ,откуда вытекает, что Fest0 есть НАП Fs0 t и, вследствие этого:(Fest0 есть НАП Fs0 t (как только что доказано) ,Fs0 t есть НАП Fest(определение88Fe) ,откуда вытекает, что Fest0 есть НАП Fest .
Тем самым, Fest есть НАП Fest0 длявсех t ∈ uet0 . Этим доказано утверждение (ii), а с ним и утверждение (i).Заметим, что до сих пор мы нигде не пользовались тем, что продолжениеF возможно вдоль всех путей γs . (При выводе (ii) мы доказали существованиепродолжения вдоль γs для всех s ∈ v, пользуясь только продолжением вдольγs0 .) Теперь воспользуемся этим условием, чтобы вывести из (i) утверждениетеоремы. Именно, результат Gs продолжения F вдоль γs есть всюду определенная (по условию) и локально постоянная (в силу (i)) функция от s наотрезке [0, 1]. Следовательно, эта функция не зависит от s, откуда вытекаетутверждение теоремы.Замечание.
Определение 10.1 и только что доказанная теорема 10.6 оченьпохожи на определение первообразной вдоль пути (п. 4.5) и теорему Коши огомотопии (п. 5.2). Это сходство не случайно: теорема Коши о гомотопиипредставляет собой частный случай доказанной теоремыR z 10.6, когда исходныйэлемент задается локальной первообразной F (z) = a f (ζ) dζ функции f (z) вокрестности точки a. С этой точки зрения следующую теорему можно рассматривать как обобщение следствия 2 из п.
5.3 о существовании глобальнойпервообразной в односвязной области.Следствие (теорема о монодромии). Пусть D ⊂ C – односвязная область и F = (U, f ) – канонический элемент с центром в точке a ∈ D. Предположим, что он допускает аналитическое продолжение вдоль любого путиγ ⊂ D с началом a.
Тогда для любой точки b ∈ D продолжение F вдоль произвольного пути γ ⊂ D с началом a и концом b дает один и тот же результатG = (V, g). Тем самым, аналитические продолжения F вдоль всевозможныхпутей в D определяют некоторую функцию, голоморфную в области D. Вокрестности V точки b эта функция задается рядом Тейлора g элементаG = (V, g), полученного продолжением элемента F = (U, f ) вдоль произвольного пути с началом a и концом b. Построенная таким образом голоморфнаяфункция задает аналитическое продолжение функции f в область D.Лекция 11. Полные аналитические функции11.1. Определения.Определение.
Пусть D ⊂ C – область и F0 = (U0 , f0 ) – каноническийэлемент с центром в точке a ∈ D и U0 ⊂ D, допускающий аналитическоепродолжение вдоль любого пути γ в области D с началом в точке a. Множество F канонических элементов, получаемых продолжением F0 вдоль всехтаких путей, называется полной (или многозначной) аналитической функцией (сокращенно: ПАФ) в области D, порожденной элементом F0 .Заметим, что любой канонический элемент F полной аналитической функции F с центром в произвольной точке b ∈ D обладает тем же свойством, чтои исходный элемент F0 , а именно, он также допускает аналитическое продолжение вдоль любого пути γ ⊂ D с началом в точке b, и совокупность всех этихпродолжений есть снова F .Пусть F есть ПАФ в области D и D1 – подобласть в D. Будем говорить,что F допускает ограничение на D1 , если найдется канонический элемент F1 =89(U1 , f1 ) функции F c U1 ⊂ D1 , допускающий аналитическое продолжение вдольлюбых путей γ ⊂ D1 .
Тогда совокупность таких продолжений определяет ПАФF |D1 в области D1 . Выделим наиболее важный частный случай этого понятия.Определение. Пусть ограничение ПАФ F на подобласть D1 ⊂ D является голоморфной функцией. Это означает, что продолжение каноническогоэлемента F1 = (U1 , f1 ) с центром в точке a1 ∈ D1 вдоль произвольного пути γ ⊂ D1 с началом в a1 и концом в произвольной точке b ∈ D1 зависиттолько от конца пути b и не зависит от выбора самого пути γ. Тем самым,продолжение F1 вдоль всевозможных путей γ ⊂ D1 определяет некоторуюголоморфную функцию g ∈ O(D1 ).
В этом случае будем говорить, что полнаяаналитическая функция F допускает выделение однозначной ветви в областиD1 , а пара (D1 , g) называется ветвью (или аналитическим элементом) полнойаналитической функции F в области D1 .Например, если область D1 ⊂ D односвязна, то всякая ПАФ F , определеннаяв D, допускает выделение однозначной ветви в D1 по теореме о монодромии.Замечание.
Стоит отметить, что ПАФ F , заданная в области D, можетиметь разные ограничения на подобласть D1 ⊂ D. Рассмотрим, например,ПАФ F на C \ {0, 1}, задаваемую формулойq√√F (z) = ( 1 + z − 2)−1 .Она имеет три различных ограничения на множествоV = {0 < |z − 1| < 1/2} .Какие именно?Заметим, что класс объектов, называемых “полными аналитическими функциями”, не изменится, если каждую ПАФ F рассматривать как множество всехее аналитических элементов (не обязательно канонических). При этом сохраняется определение полной аналитической функции F как совокупности всехпродолжений любого ее (аналитического) элемента по цепочке (что для канонических элементов эквивалентно продолжению вдоль пути), если считать двааналитических элемента (D1 , f1 ) и (D2 , f2 ) непосредственным аналитическимпродолжением друг друга, если и только если f1 ≡ f2 на некоторой связнойкомпоненте множества D1 ∩ D2 .Определение.
Аналитические элементы (D1 , f1 ) и (D2 , f2 ) называютсяэквивалентными в точке a ∈ C, если a ∈ D1 ∩ D2 и f1 ≡ f2 в окрестности a.(Проверьте, что это действительно отношение эквивалентности). Классы эквивалентности называются ростками в точке a.Множество всех ростков в точке a образует кольцо, обозначаемое Oa . Еслиросток функции f в точке a обозначать через {f }a , то операции над росткамизадаются так:{f }a + {g}a := {f + g}a90,{f }a {g}a := {f g}a .Аналитическим продолжением ростка ϕ0 вдоль пути γ : I → C называетсясемейство ростков ϕt ∈ Oγ(t) такое, что для любого t0 ∈ I найдутся связнаяокрестность ut0 ⊂ I точки t0 , область Dt0 ⊂ C и функция f ∈ O(Dt0 ) такие,что{f }γ(t) = ϕt для всех t ∈ ut0 .Суммируем данные в этом параграфе определения.
Любую полную аналитическую функцию можно рассматривать одновременно как:(1) совокупность канонических элементов, получающихся из начальногоэлемента аналитическим продолжением (по цепочкам или путям);(2) множество аналитических элементов, получающихся из начальногоэлемента аналитическим продолжением (по цепочкам);(3) совокупность ростков, получающихся из начального ростка аналитическим продолжением (вдоль путей).Полезным упражнением, которое мы оставляем читателю, является доказательство эквивалентности всех этих подходов к определению ПАФ.√11.2.
Пример: полная аналитическая функция z. Зададим начальный аналитический элемент f этой функции формулойparg zf (z) = |z|ei 2 , где − π < arg z < π .Функция f , задаваемая этой формулой, голоморфна в плоскости с выброшеннойотрицательной вещественной полуосью C \ (−∞, 0].Из равенства f (z)2 = z следует, чтоf ′ (z) =1.2f (z)Разложим f (z) в ряд Тейлора с центром в точке z = 1. Указанный ряд сходитсяв круге U0 = {|z − 1| < 1} (по общей теореме из п. 6.2), который совпадает скругом сходимости, поскольку f ′ (z) → ∞ при z → 0. Обозначим сумму этогоряда через f0 (z).Утверждение.
Канонический элемент (U0 , f0 ) допускает аналитическоепродолжение вдоль любого пути γ ⊂ C \ {0} с началом в точке z = 1 и недопускает продолжения ни по какому пути γ ⊂ C, проходящему через 0.Доказательство. Произвольный непрерывный путь γ : I → C \ {0} с началом в точке γ(0) = 1 можно записать в видеγ(t) = |γ(t)|eiθ(t) ,где θ : I → R – непрерывная функция с θ(0) = 0. ПоложимUt := {z ∈ C | |z − γ(t)| < |γ(t)|}и зададим семейство элементов ft ∈ O(Ut ), осуществляющих аналитическоепродолжение элемента (U0 , f0 ) вдоль пути γ, формулой:parg zft (z) = |z|ei 2 , где − π + θ(t) < arg z < π + θ(t) .91(Это и есть “поворачивание разреза”, о котором шла речь в п. 9.5 и задаче изп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
