А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Определенное таким образом отображениеM : π −1 (z0 ) → π −1 (z1 )инъективно в силу единственности поднятия. Меняя местами z0 и z1 , можнопостроить обратное отображение, откуда следует, что отображение M взаимнооднозначно.105Следствие 2. Пусть, в условиях предложения, Y обозначает некоторуюобласть D ⊂ C и Φ : X → C – произвольная голоморфная функция на многообразии X. Тогда каждый элемент вида Φ ◦ π −1 : V → C, где V – окрестность из определения накрытия 3, допускает аналитическое продолжениевдоль любого пути γ : I → D. Совокупность этих продолжений образуетполную аналитическую функцию на D, которая обозначается через Φ ◦ π −1 .Доказательство.
Исходный элемент Φ◦π −1 : V (z0 ) → C с центром в точкеz0 ∈ D однозначно задается выбором точки ζ0 ∈ π −1 (z0 ), на окрестность которой отображается V (z0 ) при отображении π −1 . Для любого пути γ : I → D сγ(0) = z0 рассмотрим его поднятие γe с началом в eγ (0) = ζ0 и для каждого t ∈ I−1обозначим через Ft тот элемент Φ ◦ π : V (γ(t)) → C, для которого π −1 отображает V (γ(t)) на окрестность точки γe(t). Полученное семейство {Ft | t ∈ I} изадает аналитическое продолжение исходного элемента вдоль пути γ.
То, чтопостроенные продолжения образуют единую ПАФ на D, доказывается также,как в следствии 1.Замечание. В следующем семестре (в какой лекции?) будет приведен пример голоморфного сюръективного отображения π : X → Y между областямиX = Y = C, которое локально обратимо (т.е. конформно в каждой точкеζ ∈ X), но для которого, тем не менее, некоторые элементы обратного отображения π −1 не допускают аналитического продолжения вдоль отдельных кривых γ : I → Y , так что π −1 оказывается полной аналитической функцией нена всем Y = C, а лишь на некотором собственном подмножестве.
(Конечно,следствие 2 показывает, что это отображение π : C → C не может быть накрытием). Тонкости такого рода будут иметь принципиальное значение длядоказательства так называемой малой теоремы Пикара.12.7. Риманова поверхность полной аналитической функции (продолжение). В этом параграфе излагается подход Римана к многозначныманалитическим функциям, а именно для заданной полной аналитической функции F будет построена ее риманова поверхность, на которой F реализуется какоднозначная голоморфная функция.Итак, пусть F – полная аналитическая функция в области D на комплекснойплоскости, заданная множеством своих канонических элементов.
Искомая риманова поверхность представляет собой одномерное комплексное многообразиеR(F ), накрывающее D, к построению которого мы переходим.Точками R(F ) являются, по определению канонические элементы F , составляющие ПАФ F . Отображение π : R(F ) → D сопоставляет каждому каноническому элементу F ∈ F его центр a = π(F ) ∈ D.Введем теперь топологию на множестве R(F ), превращающую его в топологическое пространство. Для этого определим ε-окрестность Bε (F0 ) элементаF0 ∈ F для произвольного ε > 0 как множество всех F ∈ F таких, что|π(F ) − π(F0 )| < ε иF есть НАП F0 .Данные окрестности корректно определяют топологию на R(F ), в которой множество открыто, если с каждой своей точкой оно содержит ее окрестность указанного вида.106Построим теперь атлас координатных окрестностей и локальные карты наR(F ).
Обозначим через A семейство всех пар вида α = (F0 , ε), где ε > 0,F0 ∈ R(F ), для которыхкруг {z ∈ C | |z − π(F0 )| < ε} содержится в D .Положим для любого α = (F0 , ε) ∈ A:Uα := Bε (F0 ) ,ϕα := π|Uα .Утверждение–определение. Тройка (F , {Uα }, {ϕα }) задает на R(F )структуру одномерного комплексного многообразия, называемого римановойповерхностью полной аналитической функции F . При этом отображениеπ : R(F ) → D является неразветвленным голоморфным накрытием и существует голоморфная функция Φ : R(F ) → C такая, чтоF = Φ ◦ π −1 .(Композиция Φ◦π −1 была определена в следствии 2 из п.
12.6). Более подробно,для каждой ветви (D1 , f ) функции F существует единственное открытоеe 1 ⊂ R(F ) такое, что π гомеоморфно отображает De1связное множество Dна D1 иf = Φ ◦ π −1 на D1 .Доказательство корректности определения.1) Хаусдорфовость топологии на R(F ). Пусть F1 = (U1 , f1 ) и F2 = (U2 , f2 )– два различных элемента ПАФ F . Если π(F1 ) 6= π(F2 ), то при |π(F1 )−π(F2 )| >2ε множества Bε (F1 ) и Bε (F2 ) не пересекаются (так как их проекции не пересекаются). Если же π(F1 ) = π(F2 ) = a, то выберем ε > 0 так, чтобы круг{|z − a| < ε} содержался в пересечении U1 ∩ U2 . Если Bε (F1 ) и Bε (F2 ) имеютобщий элемент F = (U, f ) с центром b, то множество U ∩U1 ∩U2 непусто (содержит b) и, следовательно, F1 есть НАП F2 по свойству треугольника (п.
9.8(B)).Но в этом случае F1 = F2 , поскольку элементы F1 , F2 канонические и имеютобщий центр.2) π : R(F ) → D есть неразветвленное накрытие. Пусть z0 ∈ D. Рассмотрим все элементы Fj ∈ F , j ∈ J, с π(Fj ) = z0 . Положим V := {|z − z0 | < ε}, гдеε > 0 выбрано так, чтобы {|z − z0 | < 2ε} ⊂ D. Если F = (U, f ) ∈ π −1 (V ), тоz0 ∈ U и переразложение ряда Тейлора f (z) в точке z0 задает один из элементовFj , так что F ∈ Bε (Fj ).
Таким образом,π −1 (V ) ⊂[Bε (Fj ) .j∈JВ первой части доказательства было показано, что множества Bε (Fj ) попарноне пересекаются. Поэтому открытые множестваUj = π −1 (V ) ∩ Bε (Fj )107обладают свойствами, перечисленными в определении неразветвленного накрытия.3) Построение Φ. Для всех F = (U, f ) ∈ F положимΦ(F ) = f (π(F )) .В координатной окрестности Uα := Bε (F0 ) точки F0 = (U0 , f0 ) с ϕα := π|Uαфункция Φ задается формулойΦ ◦ ϕ−1α (z) = f0 (z) ,откуда следует голоморфность Φ и равенство F = Φ ◦ π −1 .При изучении рядов Пюизо в п. 11.8 мы по существу построили одну изреализаций римановой поверхности функции (z − a)1/n (или, что то же самое,функции F (z) = Φ((z − a)1/n )).
Действительно, в этом случае X = R(F ) =V0 , а отображение π задается формулой: ζ 7→ π(ζ) = a + ζ n . Там же былоотмечено, что поднятие F (z) до однозначной функции Φ(ζ) не единственно,так как биголоморфизмfk : ζ 7−→ fk (ζ) := αk ζ ,α := e2πi/n , k ∈ {1, . . . , n − 1} ,гдеудовлетворяет условию σ = π ◦ fk (т.е.
является послойным) и переводит исходное поднятие Φ(ζ) функции F в другое поднятие Ψ(ζ) = Φ(αk ζ). Поэтомуподнятие F до однозначной функции на данном накрытии π : X → D определено лишь с точностью до композиции с послойными изоморфизмами этогонакрытия.Более общим образом, предположим, что ПАФ F поднимается на некотороенакрытие π : Y → D до однозначной функции Φ, и σ : X → Y – произвольноенакрытие над Y . Тогдаσ ◦ π : X −→ Dесть накрытие над D и ПАФ F , очевидно, поднимается на него до однозначнойфункции Φ ◦ σ.Рассмотрим в качестве примера полную аналитическую функциюF (z) =√zна D = C \ {0} .В этом случае X = Y = C \ {0}, отображение π задается формулой: π(ζ) = ζ 2 ,а в качестве σ можно взять любое из отображений видаσ : η 7−→ σ(η) = η k ,гдеk = 2, 3, .
. . .Следующая теорема (которую мы приводим без доказательства) показывает,что с точностью до указанных композиций накрытий над накрытиями поднятие данной ПАФ до однозначной голоморфной функции определяется единственным образом.108Теорема. Пусть X есть одномерное комплексное многообразие и σ : X →D – неразветвленное голоморфное накрытие над областью D. Предположим,что ПАФ F в области D поднимается до голоморфной функции Ψ : X → Cна X так, чтоF = Ψ ◦ σ −1 .Тогда существует неразветвленное голоморфное накрытие f : X → R(F )такое, чтоσ =π◦f и Ψ=Φ◦f .Из приведенной теоремы вытекает, что построенная выше риманова поверхность R(F ) имеет наименьшее число листов среди всевозможных одномерныхкомплексных многообразий, являющихся накрытиями области D, на которыеF поднимается до однозначной голоморфной функции.
Другим следствием этойтеоремы является утверждение о единственности поднятия F до однозначнойфункции на R(F ) с точностью до послойного изоморфизма.Задача. Покажите, что риманова поверхность функции arctg z над C \ {±i} будетпослойно изоморфна римановой поверхности логарифма над C \ {0}, если отождествитьC \ {±i} и C \ {0} с помощью надлежащего конформного отображения.109.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
