А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Рассмотрим вновь в качестве примера ПАФ из п. 11.1,задаваемую формулойq√√F (z) = ( 1 + z − 2)−1на C \ {0, 1}. Из трех ее различных ограничений на множествоV = {0 < |z − 1| < 1/2}одно имеет при z = 1 точку ветвления порядка 2, второе — устранимую особуюточку, а третье — полюс.Задача. Доказать это и изучить особенности F (z) при z = 0 и z = ∞. (Здесьможет пригодиться лемма 4 ниже).9611.7. Примеры ПАФ и их особых точек.Пример 1. Корень n-й степени z 1/n√ является n-значной ПАФ на C \ {0},которая определяется по аналогии с z (см. п.
11.2) и имеет по одной точкеветвления порядка n над каждой из точек z = 0, ∞. ПАФ ln z, введенная в п.11.3, имеет по одной логарифмической точке ветвления над каждой из точекz = 0, ∞.pПример 2. ПАФ tg(1/z) имеет по одной точке ветвления 2-го порядка надкаждой из точекz = (πn)−1 , (π+ πm)−1 , (n, m ∈ Z) , z = ∞ .2Это следует из леммы 4 ниже. Точка z = 0 является неизолированной особенностью (предельной точкой точек ветвления).Лемма 4.
Пусть функция f (z) голоморфна в pокрестности точки a ∈ C иимеет нуль 1-го порядка при z = a. Тогда ПАФ f (z) имеет точку ветвления порядка 2 при z = a.Доказательство. Рассмотрим сначала случай a ∈ C. В некоторой окрестности U точки a имеет место равенствоf (z) = (z − a)g(z) ,где функция g(z) голоморфна и не обращается в нуль в U . По теореме из п. 11.5,g = h2для некоторой функции h(z), голоморфной в U . Отсюда,p√f (z) = h(z) z − a(последнееpравенство нужно рассматривать как равенство ПАФ в U ). Следо√вательно, f (z) имеет при z = a ту же особенность, что и z − a, т.е.
точкуветвления порядка 2. Случай a = ∞ сводится к предыдущему заменой z → 1/z.Пример 3. Показательная функцияz a := ea ln zявляется ПАФ на C \ {0} при a ∈ C. Остановимся на ее свойствах при различных значениях a:(1) Если a – целое, то z a является однозначной голоморфной функцией наC \ {0}, имеющей при z = 0 устранимую особую точку (если a > 0) илиполюс (если a < 0). Какую особенность имеет z a при z = ∞?(2) Пусть a ∈ Q \ Z, т.е. a = m/n, где m, n – целые взаимно простые числаи n > 1.
Тогда z a является ПАФ на C \ {0}, имеющей по одной точкеветвления порядка n при z = 0 и z = ∞.(3) Если a ∈ C \ Q, то z a есть ПАФ на C \ {0}, которая имеет по однойлогарифмической точке ветвления при z = 0 и z = ∞.97Пример 4. При каждом a ∈ C \ {0} формулаaz := ez ln aзадает счетное число ПАФ, каждая из которых голоморфна во всей комплекснойплоскости.Задача. Описать особенности этих функций при z = ∞.11.8. Ряды Пюизо.
Пусть F есть ПАФ в проколотой окрестности V ={z ∈ C | 0 < |z − a| < ε} точки a, имеющая a точкой ветвления порядка n.ПоложимV0 := {ζ ∈ C | 0 < |ζ| < ε1/n }и зададим голоморфное отображение π : V0 → V формулойπ(ζ) = a + ζ n .Предложение. Композиция F ◦ π представляет собой набор{Φ1 , . . .
, Φn }из n голоморфных функций Φj : V0 → C. Обозначим через Φ ∈ {Φ1 , . . . , Φn }любую из этих функций. Тогда остальные функции получаются из нее какΦ(αj ζ) ,гдеα := e2πin,j = 1, . . . , n − 1 .При этом сама функция F восстанавливается по формулеF = Φ ◦ π −1 .Доказательство. Следуя определению композиции ПАФ, рассмотрим точку ζ0 ∈ V0 , ее связную окрестность U0 ⊂ V0 и круг U ⊂ V с центром в точкеz0 = π(ζ0 ), которые выбраны таким образом, чтобы отображение π было биекцией U0 на U . По теореме о монодромии, ПАФ F распадается над U на nветвейFj = (U, fj ) , 1 6 j 6 n .Занумеруем эти ветви так, чтобы Fj обозначало результат продолжения Fnвдоль γ0j для j = 1, .
. . , n. Обозначим также через γe0 образующую группыπ1 (V0 , ζ0 ) (см. рис.). Если точка ζ пробегает eγ0 , то ее образ z = π(ζ) пробегает γ0n . Поэтому любой элемент Gj = (U0 , fj ◦ π) при продолжении вдоль γe0переходит в себя. По лемме 2, каждый элемент Gj определяет некоторую однозначную голоморфную функцию Φj ∈ O(V0 ). При этом для всех j = 1, .
. . , nбудем иметьΦj (ζ) = Φn (αj ζ) при ζ ∈ U0(если точка ζ пробегает дугу γe0 от ζ0 до αj ζ0 , то ее образ z = π(ζ) пробегаетjγ0 ). По теореме единственности отсюда следует, чтоΦj (ζ) = Φn (αj ζ) при98ζ∈V ,что и требовалось.Перейдем к доказательству формулы, выражающей F через Φ. По определению, Φ ◦ π −1 есть одна или несколько ПАФ, полученных продолжениемэлементов (U, Φ ◦ p) вдоль всех путей в V , где p : U → V0 обозначает одну изветвей ПАФζ = π −1 (z) = (z − a)1/n в U .Фиксируем эту ветвь p = pn условием pn (U ) = U0 .
Тогда для всех j = 1, . . . , nрезультат продолжения элемента (U, Φ ◦ pn ) вдоль γ0j будет совпадать с (U, fj ),гдеfj (z) = Φ(αj pn (z))(по определению (z − a)1/n ). Поскольку все функции fj различны, Φ ◦ π −1 представляет собой единую ПАФ, совпадающую с F , а все Fj := (U, fj ) являютсяее элементами (по первой части доказательства). Следовательно,Φ ◦ π −1 = F .Замечание 1. Вторую часть этого утверждения можно сформулироватьтак: для всякой ПАФ F (z) на V с точкой ветвления порядка n при z = aнайдется однозначная функция Φ(ζ) такая, чтоF (z) = Φ((z − a)1/n ) .Замечание 2.
Разложим функцию Φ(ζ) в ряд ЛоранаΦ(ζ) =Xck ζ kk∈Zдляζ ∈ V0и подставим формально ζ = (z − a)1/n . Получим разложение F в ряд Пюизо:F (z) =Xk∈Zck (z − a)k/n .Не нужно рассматривать указанное разложение как равенство ПАФ на V , этопросто другая запись соотношенияF (z) = Φ((z − a)1/n ) .Задачи.(1) Пусть a, b ∈ C.
Доказать, что ПАФ z a (1−z)b допускает выделение однозначнойветви на C \ {0, 1} ⇐⇒ a + b ∈ Z.(2) Пусть F есть ПАФ на C \ {0}, причем для всех ее ветвей (D, f ) справедливаоценка|f (z)| 6 1 при z ∈ D .Доказать, что F однозначна и тождественно равна const.99(3) Что является аналогом ряда Пюизо в случае логарифмической точки ветвления?Более подробно, пусть F есть ПАФ на V := {z ∈ C | 0 < |z − a| < ε} слогарифмической точкой ветвления при z = a. ПоложимV0 := {ζ ∈ C | Re ζ < ln ε}и зададим отображение π : V0 → V формулойπ(ζ) = a + eζ .Что представляет собой композиция F ◦ π и верно ли, что F (z) = Φ(ln(z − a))для некоторой однозначной функции Φ(ζ)?Лекция 12.
Римановы поверхностиТеория Вейерштрасса полных аналитических функций, изложенная в двухпредыдущих параграфах, при том, что она позволяет успешно работать с многозначными аналитическими функциями, обладает одним существеннным недостатком — полные аналитические функции не является функциями в обычном понимании этого слова. Подход Римана, который излагается ниже, позволяет устранить этот недостаток и включить теорию Вейерштрасса в общематематический контекст теории функций на гладких многообразиях.Коротко говоря, идея римановского подхода заключается в следующем. Любая ПАФ w = F (z) в области D ⊂ C переменной z трактуется как обычнаяоднозначная функция w = Φ(ζ) новой переменной ζ, которая изменяется ужене в области D, а на некоторой (своей для каждой F ) римановой поверхностиX, многолистно накрывающей область D. При этом многозначность F (z) какфункции z проистекает из того, что над каждой точкой z ∈ D располагается неодна, а несколько точек ζ ∈ X — именно столько, сколько различных значенийпринимает ПАФ F в точке z.Прежде, чем точно сформулировать определение римановых поверхностей(это будет сделано в пп.
12.5–12.8), мы попытаемся пояснить его на конкретныхпримерах, связанных с хорошо известными многозначными аналитическимифункциями (см. пп. 12.1–12.3).√13.1. Риманова поверхность функцииw = z. Рассмотрим отобра√жение z = f (w) = w2 , обратное к w = z. Это отображение конформно ивзаимнооднозначно отображает областьDα = {w ∈ C | 0 < arg w < α}с0<α6πна областьGα = {z ∈ C | 0 < arg z < 2α} .Если же π < α < 2π, то указанное отображение перестает быть взаимнооднозначным — в образе “происходит наложение”. Точнее, отображение f остаетсяконформным в каждой точке области Dα , однако уже не является взаимнооднозначным отображением области Dα на f (Dα ) = C \ {0}, поскольку некоторыеточки области f (Dα ) имеют два прообраза (“покрыты дважды”) — таковыми100являются все точки z с 0 < arg z < 2α − π. При α = 2π получаем конформное вкаждой точке отображение области C \ {0} на C \ {0}, при котором каждая точка z ∈ C \ {0} имеет ровно два прообраза.
Иначе можно сказать, что формулаz = f (w) = w2 задает конформное отображение области Cw \ {0} на некоторую√“двулистную поверхность X над Cz \ {0}”. Обратное отображение w = zконформно отображает X на C \ {0} и, в частности, является однозначнойфункцией на X, к чему мы и стремились.Указанную двулистную поверхность можно описать так: она склеена из двухэкземпляров плоскости с разрезом C \ [0, +∞) с помощью отождествления верхнего берега разреза первого экземпляра с нижним берегом разреза второго и,соответственно, нижнего берега первого разреза с верхним берегом второго.Действительно, возьмем в качестве первого экземпляра плоскости с разрезомC \ [0, +∞) образ открытой верхней полуплоскостиDπ = {w ∈ C | 0 < arg w < π} при отображенииz = f (w) = w2 ,а в качестве второго экземпляра — образ открытой нижней полуплоскостиD2π \ Dπ = {w ∈ C | π < arg w < 2π}при том же отображении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
