А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 15
Текст из файла (страница 15)
, −(N − 1)}. По теореме единственности,такое продолжение, если оно существует, определено единственным образом,поэтому правую часть формулы (2) корректно считать определением функцииΓ(z) при z ∈ DN \ {0, −1, . . . , −(N − 1)}. Отсюда в силу произвольности Nполучаем, чтоZ ∞∞X(−1)n 1Γ(z) =+e−t tz−1 dtn!z+n1n=0для всехz ∈ C \ {0, −1, −2, . . . } .Полученная формула задает аналитическое продолжение функции Γ(z) из области {Re z > 0} в область C \ {0, −1, −2, . . .
}. Точнее, она задает продолжение функции Γ(z) до мероморфной функции на C, имеющей в точках z = −n(n ∈ {0, 1, 2, . . . }) полюсы 1-го порядка с вычетами (−1)n /n! (иначе говоря,главная часть ряда Лорана функции Γ(z) в проколотой окрестности точкиn1z = −n равна (−1)).n! z+nКратко опишем еще один способ аналитического продолжения гамма-функции с помощью функционального соотношения. Для этого воспользуемся известным функциональным соотношением для гамма-функцииΓ(z + 1) = zΓ(z)(его справедливость при Re z > 0 доказывается интегрированием по частям).Считая функцию Γ(z) определенной при Re z > 0, положимΓ(z) := Γ(z + 1)/zприRe z > −1 , z 6= 0 .Это дает мероморфное продолжение функции Γ(z) из полуплоскости D0 в полуплоскость D1 (где мы используем, как и выше, обозначение DN := {Re z >−N }) с полюсом 1-го порядка при z = 0 (заметим, что Γ(1) = 1 6= 0).
Повторяяэту процедуру, построим мероморфное продолжение Γ(z) в полуплоскость D2и далее, по индукции, на всю комплексную плоскость.9.3. Аналитическое продолжение логарифма. Разберем еще один пример аналитического продолжения, который принципиально отличается от рассмотренных выше. Он касается определения логарифма при комплексных значениях аргумента.Начнем с круга U = {|z − 1| < 1} с центром в точке z = 1 и радиуса 1, вкотором логарифм можно определить рядом Тейлораln z ≡ f (z) =∞X(−1)n−1(z − 1)n .nn=180Этот ряд, как легко видеть, равномерно сходится на компактах из U и потомудопускает почленное дифференцирование. В результате получаем′f (z) =∞Xn=1(1 − z)n−1 =11=1 − (1 − z)zпри z ∈ U . Отсюда, по формуле Ньютона–Лейбница,Z zdζf (z) =при z ∈ U ,1 ζгде интеграл берется по отрезку [1, z].
ПолагаяZ zf0 (z) =dζ/ζ для z ∈ C \ (−∞, 0]1(интеграл берется снова по отрезку [1, z]), мы видим, что функция f0 голоморфна в области D0 := C \ R− , которая есть комплексная плоскость с выброшеннойотрицательной вещественной полуосью R− := (−∞, 0] ⊂ C. При этом, f0 ≡ fв круге U .Следующая задача показывает, что пределы функции f0 (z) на верхнем инижнем краях ”разреза” (−∞, 0] не совпадают, откуда следует, что областьопределения функции f0 (z) невозможно расширить далее, не нарушив голоморфности f0 (и даже ее непрерывности).Задача.
Интегрируя функцию 1/ζ вдоль пути[1, |z|] ∪ {|z|eiθ | 0 6 θ 6 arg z} ,доказать, что для всех z ∈ C \ R− справедлива формулаln z = ln |z| + i arg z ,где −π < arg z < π .Тем самым, функция f0 (z), голоморфная в области D0 , не допускает дальнейшего аналитического продолжения в смысле определения, данного в началеп. 9.1. Однако было бы неестественно признать область D0 максимальной областью определения функции ln z. Действительно, поворачивая разрез R− наугол α и меняя соответственно границы изменения arg z в формулеln z = ln |z| + i arg zна −π + α < arg z < π + α, мы можем построить аналитическое продолжениефункции ln z из круга U в область Dα := C\Rα с разрезом по лучу Rα := eiα R− .Объединение областей Dα при разных α покрывает всю комплексную плоскостьс выброшенным началом C∗ := C \ {0}.
Поэтому, если у функции ln z и имеетсямаксимальная область аналитичности, то ею должна быть проколотая комплексная плоскость C∗ . (Ниже мы вновь вернемся к этому примеру и разберемего на основе теории Вейерштрасса).81Еще одним аргументом в пользу того, что “настоящей” областью определения логарифма должна быть проколотая комплексная плоскость C∗ , являетсято, что интегралZ zdζ,ζ1взятый вдоль произвольного пути в C∗ , ведущего из 1 в z ∈ C∗ , имеет смыслдля любых z ∈ C∗ .
При этом он, правда, зависит от выбора этого пути. Аименно, если путь γ2 получается из пути γ1 добавлением n обходов вокругначала координат, тоZZdζdζ=+ 2πin .γ2 ζγ1 ζ(Между прочим, это дает решение задачи (2) из п. 4.1).Отметим, впрочем, что при указанном выше способе аналитического продолжения ln z в проколотую комплексную плоскость C∗ каждой ее точке будетотвечать счетное число различных значений ln z. Тем самым, продолженнаяфункция уже не является ”функцией” в общепринятом значении этого термина. Указанная трудность, возникающая при построении аналитического продолжения логарифма, была в центре внимания классиков комплексного анализаXIX-го века. Один из путей ее преодоления, предложенный Вейерштрассом, состоит в том, чтобы рассматривать продолженную ”функцию” как множествопар вида (Dα , fα ), где fα есть результат аналитического продолжения ln z из Uв Dα .
Подход Вейерштрасса (который подробно излагается в следующей лекции), хотя и разрешает имеющиеся трудности, но ценой отказа от привычногопонятия функции. Настоящее решение проблемы аналитического продолжения было найдено позже Риманом. Согласно подходу Римана, аналитическоепродолжение логарифма можно все же рассматривать как функцию (причем,голоморфную), но заданную не на проколотой комплексной плоскости C∗ , а нанекоторой “римановой поверхности”, накрывающей C∗ .
Мы вернемся к теорииРимана в лекции 11.Лекция 10. Теория Вейерштрасса10.1. Постановка задачи. Напомним определение аналитического продолжения, данное в начале п. 9.1. Функция g, голоморфная в области G ⊂ C,является аналитическим продолжением функции f , голоморфной в областиD ⊂ C, имеющей связное непустое пересечение с D, если f ≡ g на D ∩ G.Как показывает пример логарифма, рассмотренный в предыдущем параграфе, это определение является слишком узким и не покрывает все интересующиенас случаи. Поэтому мы будем называть в дальнейшем аналитическое продолжение в смысле приведенного определения непосредственным аналитическимпродолжением в отличие от более общих понятий аналитического продолжения по цепочке, которое определяется ниже в этом параграфе, и аналитического продолжения вдоль пути, которое вводится в п.
10.4.Определение. Функция g, заданная и голоморфная в некоторой областиG ⊂ C, является аналитическим продолжением функции f , заданной и голо82морфной в некоторой области D ⊂ C по цепочке областей, если найдутся:a) цепочка областей D0 = D, D1 , . . . , DN−1 , DN = G со связными непустыми последовательными пересечениями Dk ∩ Dk+1 для k = 0, 1, . . . ,N − 1;b) набор функций f0 = f, f1 , . .
. , fN−1 , fN = g, голоморфных в областяхDk и аналитически продолжающих друг друга в том смысле, чтоfk есть непосредственное аналитическое продолжение fk+1 для k =0, 1, . . . , N − 1 .Это определение принадлежит Вейерштрассу, который предложил брать вкачестве областей D0 , D1 , .
. . , DN , фигурирующих в этом определении, кругис центрами в точках ak , такие что центр ak каждого круга Dk принадлежитпредыдущему кругу Dk−1 . Тогда функция fk , голоморфная в круге Dk , задается (сходящимся) рядом Тейлора c центром в точке ak , а непосредственноеаналитическое продолжение из круга Dk в круг Dk+1 осуществляется с помощью переразложения ряда Тейлора для fk в точке ak+1 . Пару, состоящуюиз круга и сходящегося в нем ряда Тейлора, Вейерштрасс называл элементоманалитической функции. В следующих параграфах мы подробно рассмотримэто понятие.10.2. Элементы и их аналитическое продолжение.Определение.
Элементом называется пара F = (U, f ), состоящая из круга U = {|z − a| < R} с центром в точке a и функции f , голоморфной в этомкруге. Точка a называется центром элемента, а число R – его радиусом.Элемент F называется каноническим, если U совпадает с кругом сходимости ряда Тейлора функции f с центром в точке a.Примером канонического элемента может служить пара, состоящая из кругаU = {|z − 1| < 1} с центром в точке 1 радиуса 1 и функции f (z) = ln z,задаваемой в этом круге рядом Тейлора∞X(z − 1)nln z =(−1)n−1.nn=1Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
