А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Иначе говоря, порядок нуля f в точке a — это номер n первойотличной от нуля производной f (n) (a) или, эквивалентно, это единственноенатуральное число n такое, что в некоторой окрестности U точки af (z) = (z − a)n g(z)для некоторой g ∈ O(U ) с g(a) 6= 0.Следствие (изолированность нулей голоморфной функции). Еслифункция f ∈ O(D) и точка a ∈ D таковы, что f (a) = 0, то либо f ≡ 0 вокрестности a, либо существует окрестность U ⊂ D точки a такая, чтоf (z) 6= 0 для всех z ∈ U \ {a}.6.13. Теорема единственности.Теорема единственности. Пусть D – произвольная область в C и E ⊂D – ее подмножество, состоящее из счетного числа различных точек и имеющее предельную точку a в D (последнее означает, что пересечение E ∩ {z ∈C | 0 < |z − a| < ε} непусто для любого ε > 0).
Если функции f1 , f2 , голоморфные в области D, совпадают во всех точках множества E, т.е.f1 (z) = f2 (z)для всехz∈E ,f1 (z) = f2 (z)для всехz∈D .тоДоказательство. Обозначим через A множество всех точек z ∈ D таких, что f1 ≡ f2 в окрестности точки z. Это множество(a) открыто (очевидно из определения);(b) замкнуто (если z0 ∈ D – предельная точка для A, то z0 – неизолированный нуль функции f1 − f2 , откуда z0 ∈ A по следствию из п. 6.12);(c) непусто (предельная точка a множества E есть неизолированный нульфункции f1 − f2 , откуда a ∈ A согласно тому же следствию из п.
6.12).В силу связности D множество A должно совпадать с D (см. теорему оботкрыто-замкнутом подмножестве из п. 1.5), откуда следует утверждение теоремы.Замечание. Располагая теоремой единственности, можно усилить следствие из п. 6.12 следующим образом. Пусть функция f голоморфна в областиD ⊂ C и отлична от тождественного нуля, а точка a ∈ D является еенулем: f (a) = 0. Тогда существует окрестность U ⊂ D точки a такая,чтоf (z) 6= 0 для всех z ∈ U \ {a} .Таким образом, множество нулей голоморфной в области D функции либосовпадает с D, либо состоит из изолированных точек.56Задачи.(1) Пусть функция f ∈ O(C) равна нулю для всех вещественных z .
Покажите, чтоона равна нулю и для всех комплексных z .(2) Функции f1 (z) = z 2 sin(π/z) и f2 (z) ≡ 0 голоморфны в области D = C \ {0}и совпадают на множестве E = {1/n | n = 1, 2, . . . }, имеющем предельнуюточку a = 0. Тем не менее неверно, что f1 ≡ f2 . Какое условие теоремыединственности не выполнено?(3) Пусть D – произвольная область в C и f – функция, голоморфная в D и отличная от тождественного нуля.
Покажите, что f имеет в D не более счетногомножества нулей.(4) Пусть f ∈ O(C) и для каждой точки a ∈ C хотя бы один коэффициент cn рядаТейлораf (z) =∞Xn=0cn (z − a)nравен нулю. Покажите, что f — полином. [ Указание. Воспользуйтесь формулойиз п. 6.8].6.14. Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций.Теорема Вейерштрасса. Пусть ряд∞Xfn (z) ,n=1составленный из функций fn , n = 1, 2, . .
. , голоморфных в области D ⊂ C,сходится равномерно на компактах из D. Тогда его сумма f (z) голоморфнав D и при каждом k = 0, 1, 2, . . . имеет место разложениеf (k) (z) =∞Xfn(k) (z) ,n=1где рядP∞n=1(k)fn (z) также сходится равномерно на компактах из D.Доказательство.1◦ . Рассмотрим произвольный круг U ⋐ D. Из равномерной сходимостиряда для f ясно, что функция f непрерывна в U и для всякого треугольника∆ ⋐ U справедливо равенствоZ∂∆f dz =∞ ZXn=1fn dz = 0∂∆(последнее равенство вытекает из леммы Гурса, см. п.
4.3). По теореме Морераиз п. 6.10 отсюда следует, что f ∈ O(U ). В силу произвольности U получаем,что f ∈ O(D).572◦ . Для каждого замкнутого круга K ⊂ D найдется открытый круг V с темже центром такой, что K ⊂ V ⋐ D. Тогда для всех k = 1, 2, . . . и всех z ∈ Kимеем цепочку равенств:ZZ∞∞XXk!f (ζ) dζk!fn (ζ) dζ(k)==fn(k) (z) .f (z) =k+1k+12πi ∂V (ζ − z)2πi ∂V (ζ − z)n=1n=1Первое и последнее из этих равенств имеют место по формуле Коши для производных (п. 6.9), а среднее вытекает из равномерной сходимости соответствующего ряда.P∞(k)Докажем равномерную сходимость рядаn=1 fn (z) на K. ПоложимnXfj (ζ)rn (ζ) := f (ζ) −j=1и обозначим радиусы кругов K и V через a и b соответственно. Пользуясьопять формулой Коши для производных и оценивая интеграл по свойству 5◦из п.
4.2, мы будем иметь для всех z ∈ KZnX (k) (k)k!r(ζ)dζn 6 k! · maxζ∈∂V |rn (ζ)| · 2πb .=f (z) −f(z)j 2π 2πk+1(b − a)k+1∂V (ζ − z)j=1Это выражение не зависит от z и стремится к нулю при n → ∞.3◦ . Покажем теперь, что ряд∞Xfn(k) (z)n=1(k)сходится к f (z) равномерно на произвольном компакте K ⊂ D. В силукомпактности K существует конечный набор замкнутых кругов K1 , . . . , KN ⊂D такой, что K ⊂ ∪Nj=1 Kj .
По доказанному выше, указанный ряд равномерно(k)сходится к f (z) на каждом круге Kj , а значит и на всем компакте K.6.15. Аппроксимация голоморфных функций полиномами. Как известно, всякую непрерывную на отрезке [0, 1] вещественнозначную функциюf (x) можно равномерно аппроксимировать полиномами с любой наперед заданной точностью.
Иными словами, существует последовательность вещественнозначных полиномов Pn (x) такая, чтоkf − Pn k[0,1] → 0 приn→∞.Спрашивается, можно ли перенести это свойство на комплекснозначные функции f (z), заданные на замкнутом круге {|z| 6 1}? Из теоремы Вейерштрасса6.14 вытекает, что это, вообще говоря, невозможно — если существует последовательность полиномов Pn (z), равномерно сходящаяся к функции f (z) на круге{|z| 6 1}, то эта функция обязана быть голоморфной на {|z| < 1}. С другойстороны, если f ∈ O({|z| < 1}), то найдется последовательность полиномовPn (z), сходящаяся к f (z).
А именно, в качестве таких полиномов можно взятьчастичные суммы ряда Тейлора функции f , которые сходятся к f (z) равномерно на компактах из {|z| < 1} по теоремам 6.2 и 6.5. Сохранится ли последнееутверждение, если заменить в нем круг {|z| < 1} на произвольную областьD ⊂ C? Следующие задачи показывают, что, вообще говоря, нет.58Задачи.(1) Докажите, что не существует последовательности полиномов Pn (z), котораясходилась бы к f (z) = 1/z равномерно на компактах в кольце {1/2 < |z| < 2}.(2) Пусть 0 6 a < b. Покажите, что функция f ∈ O({a < |z| < b}) являетсяравномерным на компактах из {a < |z| < b} пределом последовательностиполиномов тогда и только тогда, когда f (z) можно доопределить при |z| 6 aтак, чтобы получилась функция, голоморфная во всем круге {|z| < b}.[ Указание. Используйте задачу (3) из п.
5.5 и теорему Вейерштрасса 6.14 ].Однако в односвязных областях аппроксимация голоморфных функций полиномами всегда возможна, как показывает следующая теорема Рунге, которуюмы приводим без доказательства.Теорема Рунге. Если D ⊂ C – односвязная область и функция f голоморфна в D, то существует последовательность полиномов Pn (z), сходящаяся к f (z) равномерно на компактах в D.Лекция 7. Ряды Лорана и особые точкиРяды Тейлора, рассмотренные в предыдущей лекции, позволяют оценить области сходимости степенных рядов, однако они плохо приспособлены для изучения особенностей голоморфных функций, задаваемых этими рядами.
Удобныминструментом исследования изолированных особенностей голоморфных функций являются ряды Лорана, исследуемые в этой лекции.7.1. Разложение голоморфной функции в ряд Лорана.Теорема. Пусть функция f (z) голоморфна в кольцеV = {z ∈ C | r < |z − a| < R}с центром в точке a ∈ C с 0 6 r < R 6 +∞. ПоложимZ1f (ζ) dζcn :=для всех n ∈ Z и2πi |ζ−a|=ρ (ζ − a)n+1r<ρ<R .Числа cn не зависят от ρ и называются коэффициентами Лорана функции fв кольце V . Ряд∞Xcn (z − a)n ,n=−∞называемый рядом Лорана функции f в кольце V , сходится для всех z ∈ D иего сумма равна f (z):f (z) =∞Xn=−∞cn (z − a)nприЧасть ряда Лорана, задаваемая рядом∞Xn=0cn (z − a)n ,59r < |z − a| < R.(1)называется правильной частью ряда Лорана, а оставшаяся часть−1Xn=−∞cn (z − a)n ,— его главной частью.Подчеркнем, что здесь и далее сходимость ряда Лорана∞Xn=−∞cn (z − a)nозначает по определению, что сходятся по отдельности ряды∞Xn=0cn (z − a)n−1Xиn=−∞cn (z − a)n ,представляющие соответственно правильную и главную части ряда Лорана.Доказательство.
Независимость cn от выбора ρ вытекает из теоремы Коши, поскольку любые две окружности{|ζ − a| = ρ1 },{|ζ − a| = ρ2 }сr < ρ1 < ρ2 < Rгомотопны в V как замкнутые пути.Чтобы доказать равенство (1), фиксируем z ∈ V и выберем s, t ∈ (r, R) так,что s < |z −a| < t. По формуле Коши (п. 5.5) для кольца {ζ ∈ C | s < |ζ −a| < t},ограниченного окружностямиγs := {|ζ − a| = s} иимеем1f (z) =2πiZγtγt := {|ζ − a| = t} ,f (ζ) dζ1−ζ −a2πiZγsf (ζ) dζ=: I1 − I2 .ζ −a(2)Пользуясь тем, что |z − a| < |ζ − a| для всех ζ ∈ γt , разложим подынтегральное выражение в I1 в геометрическую прогрессию:∞Xf (ζ)f (ζ)f (ζ)1(z − a)n f (ζ)==·=.n+1ζ −z(ζ − a) − (z − a)ζ − a 1 − z−a(ζ−a)ζ−an=0Модуль n-го члена этого ряда не превосходитnM (t) |z − a|, где M (t) := max |f (ζ)| .tt|ζ−a|=tСледовательно, по свойству 2◦ из п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
