А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322)
Текст из файла
ЛЕКЦИИ ПО КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУА.В.Домрин, А.Г.СергеевРезюме. В основу текста положены лекции по комплексному анализу, читавшиеся авторами на протяжении ряда лет студентам II-III курсов механико-математического факультета МГУ.ВведениеI-Е ПОЛУГОДИЕЛекция 1. Комплексная плоскость1.1. Определение1.2. Алгебраическая структура1.3. Полярное представление1.4. Топология комплексной плоскости1.5. Компактификация комплексной плоскости1.6.
Сферическая метрикаЛекция 2. Комплексная дифференцируемость. Геометрический смысл производной2.1. R-дифференцируемость2.2. C-дифференцируемость. Условия Коши–Римана2.3. Производная по направлению2.4. Голоморфные функции и конформные отображения2.5. Геометрический смысл комплексной производной2.6. Голоморфность и конформность отображений расширенной комплексной плоскостиЛекция 3. Дробно-линейные функции3.1. Дробно-линейные отображения расширенной комплексной плоскости3.2.
Конформность дробно-линейных отображений3.3. Группа дробно-линейных отображений3.4. Круговое свойство дробно-линейных отображений3.5. Сохранение симметрии при дробно-линейных отображениях3.6. Свойство трех точек3.7. Дробно-линейные изоморфизмы стандартных областейЛекция 4. Интеграл и первообразная4.1. Определение интеграла вдоль путиTypeset by AMS-TEX14.2. Свойства интеграла вдоль пути4.3. Лемма Гурса4.4. Первообразная4.5. Первообразная вдоль путиЛекция 5. Теорема Коши5.1.
Теорема Коши о гомотопии5.2. Теорема Коши для многосвязной области5.3. Интегральная формула КошиЛекция 6. Ряды Тейлора6.1. Напоминание6.2. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора6.3. Неравенства Коши6.4. Теорема Лиувилля6.5. Множество точек сходимости степенного ряда6.6. Голоморфность суммы степенного ряда6.7. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций6.8. Коэффициенты ряда Тейлора6.9. Интегральная формула Коши для производных6.10.Теорема Морера6.11.Три эквивалентных определения голоморфной функции6.12.Разложение голоморфной функции в окрестности нуля6.13.Теорема единственности6.14.Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций6.15.Аппроксимация голоморфных функций полиномамиЛекция 7. Ряды Лорана и особые точки7.1. Разложение голоморфной функции в ряд Лорана7.2.
Сходимость рядов по целым степеням z − a7.3. Неравенства Коши для коэффициентов Лорана7.4. Замечание о рядах Лорана и Фурье7.5. Изолированные особые точки. Определение7.6. Описание устранимых особых точек7.7. Описание полюсов7.8. Теорема Сохоцкого7.9. a = ∞ как изолированная особая точка7.10.Целые функции с полюсом на ∞7.11.Мероморфные функции с полюсом на ∞Лекция 8. Вычеты8.1. Определение8.2.
Вычет в терминах ряда Лорана8.3. Формулы для вычисления вычетов8.4. Вычет в точке ∞8.5. Теорема о полной сумме вычетов8.6. Лемма Жордана8.7. Пример на вычисление преобразования Фурье от рациональных функций2Лекция 9. Аналитическое продолжение. Постановка задачи9.1. Постановка задачи9.2. Аналитическое продолжение Γ-функции9.3. Аналитическое продолжение логарифмаЛекция 10. Теория Вейерштрасса10.1.Постановка задачи10.2.Элементы и их аналитическое продолжение10.3.Свойства непосредственного аналитического продолжения10.4.Продолжение канонических элементов вдоль пути10.5.Эквивалентность аналитического продолжения по цепочке и вдоль пути10.6.Теорема о продолжении вдоль гомотопных путейЛекция 11. Полные аналитические функции11.1.Определения√11.2.Пример: полная аналитическая функция z11.3.Пример: полная аналитическая функция ln z11.4.Действия над полными аналитическими функциями11.5.Изолированные особые точки полной аналитической функции11.6.Классификация изолированных особых точек11.7.Примеры ПАФ и их особых точек11.8.Ряды ПюизоЛекция 12.
Римановы поверхности√12.1.Риманова поверхность функции w = z12.2.Риманова поверхность функции w = ln z12.3.Риманова поверхность функции w = arcsin z12.4.Риманова поверхность полной аналитической функции12.5.Одномерные комплексные многообразия12.6.Неразветвленные голоморфные накрытия12.7.Риманова поверхность полной аналитической функции(продолжение)II-Е ПОЛУГОДИЕЛекция 13. Принцип аргумента13.2.Принцип аргумента13.3.Теорема РушеЛекция 14. Принцип сохранения области и обращение голоморфных функций14.1.Принцип сохранения области14.2.Локальное обращение голоморфных функций14.3.Теорема ГурвицаЛекция 15. Принцип максимума модуля и его следствия15.1.Принцип максимума модуля15.2.Лемма ШварцаЛекция 16. Принцип компактности. Последовательности голоморфных функций16.1.Принцип компактности316.2.Теорема Монтеля16.3.Непрерывные функционалы на семействах голоморфных функцийЛекция 17.
Теорема Римана17.1.Автоморфизмы основных областей17.2.Теорема РиманаЛекция 18. Соответствие границ и принцип симметрии18.1.Принцип соответствия границ18.2.Принцип симметрииЛекция 19. Конформное отображение полуплоскости на многоугольник19.1.Конформное отображение полуплоскости на прямоугольник19.2.Интеграл Кристоффеля–ШварцаЛекция 20. Эллиптические функции20.1.Эллиптический синус20.2.Периоды мероморфных функций20.3.Определение и свойства эллиптических функцийЛекция 21. Функция Вейерштрасса21.1.Определение и основные свойства21.2.Описание эллиптических функций с заданной решеткой периодов21.3.Дифференциальное уравнение для функции ВейерштрассаЛекция 22.
Реализация тора в виде кубической кривой в C222.1.Определения тора и кубической кривой в C222.2.Параметризация кубической кривой с помощью функции Вейерштрасса22.3.Сложение точек на кубической кривойСписок литературы4Лекция 1. Комплексная плоскость1.1. Определение. Комплексная плоскость C есть множество упорядоченных пар (x, y) вещественных чисел.
Точки комплексной плоскости называются комплексными числами и обозначаются z = (x, y). Вещественные компоненты x и y называются соответственно вещественной и мнимой частьюкомплексного числа z = (x, y) и обозначаются черезx = Re z ,y = Im z .Каждому комплексному числу z = (x, y) сопоставляется комплексно сопряженное к нему число z := (x, −y).Множество вещественных чисел (вещественную ось) R принято отождествлять с подмножеством C видаR = {(x, 0)} ,которое, иначе, можно определить какR = {z ∈ C : z = z} .Выделим, кроме того, подмножествоiR = {(0, y)} = {z : z + z = 0} ,состоящее из комплексных чисел, называемых чисто мнимыми.
Его можнотакже отождествить с R.Рассматривая множество комплексных чисел C как вещественную плоскостьR2 , можно ввести на нем структуру векторного пространства (над полем вещественных чисел R). Естественный базис в C ∼= R2 задается векторами1 := (1, 0) и i := (0, 1), так что любое комплексное число z = (x, y) в этомбазисе записывается в видеz = (x, y) = x · 1 + y · i = x + iy .1.2. Алгебраическая структура. Введем на множестве комплексных чисел C умножение, которое на базисных элементах 1 и i задается по правилу:1·1=1 ,1·i=i·1=i ,i · i = −1 ,а далее продолжается по линейности на все C.
Иначе говоря, произведениепроизвольных комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равноz1 · z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) .Это произведение на множестве комплексных чисел вместе с операцией сложения, задаваемой отождествлением C ∼= R2 , удовлетворяет, как нетрудно проверить, всем аксиомам поля. Тем самым, C является полем комплексных чисел.5Роль единицы в этом поле выполняет число 1 := (1, 0), а роль обратного к произвольному комплексному числу z = x + iy, не равному нулю 0 := (0, 0), играеткомплексное число z −1 , равноеz −1 ≡x1y= 2+i.zx + y2x2 + y 2Основным отличием поля комплексных чисел от полей рациональных чисел Qи вещественных чисел R, известных из курса алгебры, является его алгебраическая замкнутость. Это означает, что каждый полином с комплекснымикоэффициентами имеет в C корень.
Указанное свойство вытекает из основнойтеоремы алгебры, несколько доказательств которой будут предложены в курсе(см., например, указание к задаче в п. 1.3).Задача. Докажите теорему Гаусса: корни производной многочлена лежат внутривыпуклой оболочки корней самого многочлена.[Указание. Если точки z1 , .
. . , zn лежат в одной полуплоскости (т.е. по однусторону от прямой, проходящей через начало координат), то z1 + · · · + zn 6= 0 иz1−1 + · · · + zn−1 6= 0].1.3. Полярное представление. Каждое комплексное число z 6= 0 можетбыть записано в полярной формеz = reiϕ := r(cos ϕ + i sin ϕ) ,где положительное числоr = |z| :=(1)px2 + y 2называется модулем комплексного числа z, а в качестве ϕ ∈ R можно взятьугол ϕ = arg z, −π < arg z 6 π, между положительным направлением оси R ивектором z. Заметим, однако, что число z, записанное в виде (1), не изменится,если в качестве ϕ взять любое решение системыcos ϕ = x/r ,sin ϕ = y/r .Все эти решения образуют множествоArg z := {arg z + 2πk : k ∈ Z}, −π < arg z 6 π ,каждый из элементов которого называется аргументом комплексного числа z.Формула умножения комплексных чисел приобретает в полярной форме удобный вид.
Произведение комплексных чисел z1 = r1 eiϕ1 и z2 = r2 eiϕ2 равноz1 · z2 = r1 eiϕ1 · r2 eiϕ2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) .Задача. Докажите основную теорему алгебры: любой комплексный полином имееткомплексный корень.[Указание. Рассмотрите точку минимума модуля полинома и воспользуйтесь тем,что для любых a ∈ C \ {0}, k ∈ N, найдется комплексное число z такое, что az k имеетзаданный аргумент].61.4.
Топология комплексной плоскости. Введем на пространстве C евклидову метрику, отождествляя C с евклидовой плоскостью R2 (т.е. декартовой плоскостью, наделенной стандартной евклидовой метрикой). Эта метрикаопределяет и естественную топологию на C, в которой база окрестностей произвольной точки z0 ∈ C задается кругами с центром в z0Uε = Uε (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < ε} , ε > 0 .Пользуясь указанной метрикой и отвечающей ей топологией, легко перенестина множество комплексных чисел C общие определения и свойства, относящиеся к топологическим и метрическим пространствам.
Приведем те из них, чтопостоянно используются в этом курсе.Определение. Путем на комплексной плоскости C называется непрерывное отображениеγ : [α, β] → C ,где α, β ∈ R, α < β. Два пути γ1 : [α1 , β1 ] → C, γ2 : [α2 , β2 ] → C называютсяэквивалентными, если найдется непрерывная строго возрастающая функцияτ : [α1 , β1 ] −→ [α2 , β2 ](т.е. гомеоморфизм [α1 , β1 ] на [α2 , β2 ]), для которойγ2 (τ (t)) ≡ γ1 (t) ,t ∈ [α1 , β1 ] .Класс эквивалентности путей называется кривой.Заметим, что путь γ : [α, β] → C и тот же путь, пройденный в обратномнаправлении, не эквивалентны в указанном выше смысле.Задача.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
