А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Из него вытекает, вчастности, что функция f имеет частные производные по x и по y в точке z0 ,причем∂f∆f∂f∆f(z0 ) =lim=a,(z0 ) =lim=b.∆x→0,∆y=0 ∆x∆y→0,∆x=0 ∆y∂x∂y11Задача. Покажите, что из существования этих частных производных еще не следует R-дифференцируемость f в точке z0 .z3[Указание. Например, функция f (z) = |z|2 , доопределенная в точке z0 = 0 понепрерывности, имеет частные производныеR-дифференцируемой в точке z0 = 0.]∂f∂x (0)=1и∂f∂y (0)= −i, но не являетсяЕсли выразить ∆x и ∆y через ∆z := ∆x + i∆y и ∆z := ∆x − i∆y, то условиеR-дифференцируемости f в точке z0 примет вид1 ∂f∂f1 ∂f∂f∆f =(z0 ) − i (z0 ) ∆z +(z0 ) + i (z0 ) ∆z + o(∆z) . (1)2 ∂x∂y2 ∂x∂yВведем дифференциальные операторы (формальные частные производные поz и z)1 ∂f∂f∂f1 ∂f∂f∂f:=−i,:=+i.∂z2 ∂x∂y∂z2 ∂x∂yЕсли отождествить касательные пространства Tz0 C и Tf (z0 ) C с комплекснойплоскостью C, то из формулы (1) получим следующее выражение для дифференциала df (z0 ) : Tz0 C → Tf (z0 ) C функции f , R-дифференцируемой в точкеz0 :∂f∂f(z0 )dz +(z0 )dz .df (z0 ) =∂z∂zИными словами, df (z0 ) : Tz0 C → Tf (z0 ) C определяет линейное отображениеC → C, действующее по формулеdf (z0 )ζ =∂f∂f(z0 ) · ζ +(z0 ) · ζ∂z∂zдля всех ζ ∈ Tz0 C.2.2.
C-дифференцируемость. Условия Коши–Римана.Определение. Функция f , определенная в окрестности точки z0 , называется C-дифференцируемой в точке z0 , если найдется комплексное число aтакое, что в окрестности точки z0 имеет место представление∆f = f (z) − f (z0 ) = a · ∆z + o(∆z) .Эквивалентная переформулировка этого определения:∆f= a + o(1) при∆z∆z → 0 ,т.е. существует пределlim∆z→0∆ff (z) − f (z0 )= lim=: f ′ (z0 ) .z→z∆zz − z00Число f ′ (z0 ) называется комплексной производной функции f в точке z0 .12Теорема. Функция f , определенная в окрестности точки z0 , являетсяC-дифференцируемой в этой точке ⇐⇒ f является R-дифференцируемой вточке z0 и выполняется условие Коши–Римана∂f(z0 ) = 0 .∂zВ этом случае имеем∂f(z )∂z 0= f ′ (z0 ).Доказательство.
По определению, C-дифференцируемость f в точке z0означает, что функция f является R-дифференцируемой в точке z0 и ее дифференциал имеет специальный вид:df (z0 )ζ = a · ζдля всех ζ ∈ Tz0 C .Поэтому теорема вытекает из сказанного в конце п. 2.1.∂f1 ∂fПодставляя f = u + iv в формулу ∂fи отделяя веществен=+i∂z2 ∂x∂yную и мнимую части, можно записать условие Коши–Римана в вещественнойформе (т.е. в терминах вещественнозначных функций u = Re f , v = Im f ивещественных переменных x = Re z, y = Im z):∂f∂f∂f= 0 ⇐⇒+i= 0 ⇐⇒∂z∂x∂y∂u ∂v−∂x ∂y+i∂u ∂v+∂y∂x=0.Таким образом,∂u∂v∂f(z0 ) = 0 ⇐⇒(x0 , y0 ) =(x0 , y0 ) ,∂z∂x∂y∂u∂v(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) .∂y∂xВыпишем также условие Коши–Римана в полярных координатах r, θ, связанных с z, z формулами z = reiθ , z = re−iθ .
Дифференцируя эти формулы поz и решая полученную систему двух линейных уравнений, находим, что∂reiθ=,∂z2∂θieiθ=.∂z2rСледовательно, по теореме о производной сложной функции∂∂r ∂∂θ ∂eiθ=+=∂z∂z ∂r ∂z ∂θ2∂i ∂+∂r r ∂θ.Применяя этот оператор к f = u + iv, получаем:∂f∂fi ∂f∂u1 ∂v= 0 ⇐⇒+= 0 ⇐⇒=,∂z∂rr ∂θ∂rr ∂θ13∂v1 ∂u=−.∂rr ∂θЗадачи.(1) Найдите все функции вида f (z) = u(x) + iv(y), являющиеся C-дифференцируемыми в каждой точке z0 ∈ C.(2) Пусть функция f (z) является C-дифференцируемой в окрестности точки z0 .Определим R-значные функции u(z), v(z), ρ(z), θ(z) в окрестности z0 формулойf = u + iv = ρeiθ .
Докажите, что если хотя бы одна из функций u, v, ρ, θпостоянна в окрестности z0 , то и f (z) постоянна в окрестности z0 .2.3. Производная по направлению. Пусть функция f R-дифференцируема в точке z0 . Тогда∆f =∂f∂f(z0 )∆z +(z0 )∆z + o(∆z) .∂z∂zВоспользуемся полярным представлением ∆z = |∆z|eiθ , так что∆z = ∆z = |∆z|e−iθ = ∆z · e−2iθ ,и запишем предыдущую формулу в виде∂f∂f−2iθ(z0 ) +(z0 )e∆f =∆z + o(∆z) .∂z∂zРазделим обе ее части на ∆z и перейдем к пределу при ∆z → 0 при фиксированном аргументе arg ∆z = θ = const.
Получим, что из R-дифференцируемости fв точке z0 вытекает существование пределаlim∆z→0arg ∆z=θ∆f∂f∂f=(z0 ) +(z0 )e−2iθ =: fθ′ (z0 ) ,∆z∂z∂zназываемого частной производной f по направлению θ. Последняя формулапоказывает, что при изменении θ от 0 до 2π точка fθ′ (z0 ) описывает дваждыпройденную окружность с центром в точке ∂f(z ) радиуса | ∂f(z )|. Этим∂z 0∂z 0доказано следующее предложение.Предложение.
Пусть функция f является R-дифференцируемой в точкеz0 . Ее производная fθ′ (z0 ) в этой точке по направлению θ не зависит отнаправления тогда и только тогда, когда ∂f∂z (z0 ) = 0. В этом случае имеемfθ′ (z0 ) =∂f(z0 ) = f ′ (z0 )∂zдля всехθ∈R.2.4. Голоморфные функции и конформные отображения.Определение.
Функция f называется голоморфной (или комплексно аналитической) в точке z0 ∈ C, если она C-дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция f называется голоморфной в области D, еслиона голоморфна в каждой точке этой области.Множество функций, голоморфных в области D, обозначается через O(D).14Определение. Пусть функция f R-дифференцируема в точке z0 . Отображение окрестности этой точки в C, задаваемое функцией f , называетсяконформным в точке z0 , если его дифференциал df (z0 ), рассматриваемый каклинейное отображение плоскости R2 на себя, невырожден (т.е. взаимнооднозначен) и является композицией поворота и растяжения.
Отображение, задаваемое функцией f , конформно в области D, если оно конформно вкаждой точке этой области.Связь между конформными отображениями и C-дифференцируемыми функциями устанавливается следующим предложением.Предложение. Отображение, задаваемое R-дифференцируемой функциейf , конформно в точке z0 ⇐⇒ функция f является C-дифференцируемой вточке z0 и f ′ (z0 ) 6= 0.Доказательство. ⇐= . Пусть функция f C-дифференцируема в точке z0и f ′ (z0 ) 6= 0. Тогда ее дифференциалdf (z0 ) : ζ 7−→ f ′ (z0 )ζ = |f ′ (z0 )|ei arg f′(z0 )ζ′является композицией поворота на угол arg f (z0 ) и растяжения в |f ′ (z0 )| раз.Кроме того, он невырожден, так как эта композиция взаимнооднозначно отображает R2 на себя. Следовательно, отображение f конформно в точке z0 .=⇒ .
Пусть функция f R-дифференцируема в точке z0 . Ее дифференциал вэтой точке имеет видdf (z0 ) : ζ 7→ Aζ + Bζ ,∂fгде A := ∂f∂z (z0 ), B := ∂z (z0 ). Отображение ζ 7→ iζ геометрически является поворотом на 90◦ против часовой стрелки. Поскольку любые повороты ирастяжения коммутируют с этим отображением, то и дифференциал df (z0 )коммутирует с ним ввиду конформности f , т.е.Aiζ + Biζ = i(Aζ + Bζ) для всех ζ ∈ C .Отсюда следует, что 2iBζ = 0 для всех ζ ∈ C, и, следовательно, B = 0.
Такимобразом, всякое конформное в точке z0 отображение f является C-дифференцируемым в этой точке. При этом f ′ (z0 ) 6= 0, так как иначе отображение df (z0 )обращалось бы в тождественный нуль, что невозможно ввиду его невырожденности.Задачи.(1) Пусть отображение f конформно в точке z0 . Покажите, что проходящие черезточку z0 линии уровня функций u(z) := Re f (z) и v(z) := Im f (z) являютсягладкими кривыми в окрестности z0 и пересекаются в точке z0 под прямымуглом.(2) Покажите, что якобиан Jf (z0 ) всякой R-дифференцируемой в точке z0 функцииf , рассматриваемой как отображение R2 → R2 , равен∂f∂fJf (z0 ) = | (z0 )|2 − | (z0 )|2 .∂z∂zВ частности, если f конформно в точке z0 , то Jf (z0 ) > 0. (Эквивалентнаяформулировка последнего утверждения: конформные отображения сохраняюториентацию.)152.5.
Геометрический смысл комплексной производной. Изучим геометрические свойства конформных отображений. Пусть f конформно в некоторой окрестности U точки z0 и производная f ′ (z) непрерывна в U . Рассмотримгладкий путь γ в U с началом в z0 , т.е. гладкое отображениеγ : [0, 1] −→ Uγ(0) = z0 ,с.удовлетворяющее условию: γ(t) 6= 0 при t ∈ [0, 1].
КомпозицияΓ := f ◦ γ : [0, 1] −→ f (U )является гладким путем в f (U ), так как..Γ(t) = f ′ (γ(t))γ(t).(1).Геометрически, γ(t) представляет собой касательный вектор к кривой γ([0, 1]).в точке γ(t); аналогичную интерпретацию имеет и производная Γ(t). Поскольку элемент длины дуги γ в точке γ(t) равен.dsγ (t) = |γ(t)|dt =q..| Re γ(t)|2 + | Im γ(t)|2 dt ,из формулы (1) следует, что.Γ(0)dsΓ (0),|f (z0 )| = .=dsγ (0)γ(0)′т.е. модуль производной f ′ (z0 ) есть коэффициент растяжения длины дуги вточке z0 при отображении f .Из последнего утверждения, в частности, следует, что все дуги, проходящие через z0 , растягиваются в точке z0 в одно и тоже число раз. Поэтомуотображение f переводит малые окружности с центром z0 в гладкие кривые,совпадающие в первом порядке с окружностями с центром f (z0 ).
Впрочем, этовытекает уже из описания дифференциала конформного отображения в п. 2.4.Из формулы (1) вытекает также, что..arg f ′ (z0 ) = arg Γ(0) − arg γ(0) ,т.е. аргумент производной f ′ (z0 ) есть угол поворота касательных к дугам вточке z0 при отображении f .В частности, все дуги, проходящие через z0 , поворачиваются на один и тотже угол. Иными словами, конформное отображение сохраняет углы: угол между двумя дугами, проходящими через z0 , равен углу между их образами.Замечание. Геометрические свойства конформных отображений не переносятся на голоморфные отображения f с f ′ (z0 ) = 0.
Например, отображениеf (z) = z 2 голоморфно в точке z0 = 0, но не сохраняет углы в этой точке.162.6. Голоморфность и конформность отображений расширеннойкомплексной плоскости.Определение. Комплекснозначная функция f называется голоморфной(соотв. конформной) в точке z = ∞, если функцияg(z) := f (1/z)голоморфна (соотв. конформна) в нуле.Задача. Если функция f голоморфна в точке ∞, то limz→∞ f ′ (z) = 0.Определение. Отображение f : C → C, обращающееся в бесконечностьв точке z0 ∈ C, называется голоморфным (соотв.
конформным) в точке z0 ,если функцияF (z) := 1/f (z)голоморфна (соотв. конформна) в z0 . В частности, если f (∞) = ∞, тоголоморфность (соотв. конформность) f в точке z0 = ∞ означает голоморфность (соотв. конформность) функцииG(z) :=11=g(z)f (1/z)в нуле.Лекция 3. Дробно-линейные функции3.1. Дробно-линейные отображения расширенной комплекснойплоскости.Определение. Дробно-линейное отображение задается функцией видаw = f (z) =az + b,cz + dгдеa, b, c, d ∈ C , ad − bc 6= 0 .Условие ad − bc 6= 0 исключает вырожденный случай постоянного отображения w ≡ const. Случай c = 0 отвечает линейному отображению w = ad z + db(заметим, что в этом случае d 6= 0).Дробно-линейное отображение определено во всех точках расширенной комплексной плоскости C, кроме z = − dc (в случае c 6= 0) и z = ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
