А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Доопределим егов этих точках. Если c 6= 0, то положимw = ∞ при z = −dcиw=Если же c = 0, то положим w = ∞ при z = ∞.17acпри z = ∞ .Предложение 1. Дробно-линейное отображение задает гомеоморфизм(т.е. взаимнооднозначное непрерывное отображение, обратное к которомутоже непрерывно) расширенной комплексной плоскости C на себя.Доказательство. Пусть c 6= 0 (случай c = 0 разберите самостоятельно). Проверим взаимнооднозначность рассматриваемого отображения.
Действительно, каждому значению w 6= ac , ∞ отвечает единственноеdw − b−cw + az=такое, что w = f (z) (заметим, что z 6= − dc , ∞). Точке w = ac отвечает, поопределению, z = ∞, а точке w = ∞ отвечает z = − dc . Проверим теперьнепрерывность отображения z 7→ w. В точках z 6= − dc , ∞ она очевидна, а вточках z = − dc , ∞ вытекает из предельных соотношенийlimz→−d/caz + b=∞cz + d,limz→∞aaz + b= .cz + dcНепрерывность обратного отображения w 7→ z проверяется аналогично.3.2.
Конформность дробно-линейных отображений. При z 6= − dc , ∞конформность отображенияw = f (z) =az + bcz + dвытекает из голоморфности w = f (z) и того, что комплексная производнаяdwad − bc=dz(cz + d)2не равна нулю в этих точках. (Мы видим, что условие ad − bc 6= 0 необходимодля конформности отображения w = f (z).)Проверим конформность w = f (z) в точке z = − dc , считая что c 6= 0 (случайc = 0 разберите самостоятельно).
Для этого, согласно п. 2.6, надо проверитьконформность отображенияW =1cz + d=waz + bв точке z = − dc . Она вытекает из того, что производнаяdWbc − ad=dz(az + b)22cпри z = − dc существует и равна bc−ad6= 0. Следовательно, исходное отображение w = f (z) конформно в точке z = − dc .18Конформность w = f (z) в точке z = ∞ (снова в предположении, что c 6= 0)эквивалентна конформности отображенияa + bz1g(z) = f ( ) =zc + dzв нуле, которая проверяется также, как и выше. Можно доказать ее и подругому, сославшись на конформность обратного отображенияz=в точке w =следующееac,dw − b−cw + aкоторая вытекает из предыдущего случая.
Итак, доказаноПредложение 2. Дробно-линейное отображение конформно во всех точках расширенной комплексной плоскости.Задача. Можно ли дробно-линейно отобразить:(1) единичный круг U на расширенную комплексную плоскость C;(2) единичный круг U на комплексную плоскость C;(3) комплексную плоскость C на расширенную комплексную плоскость C?3.3. Группа дробно-линейных отображений. Дробно-линейные отображения образуют группу Λ относительно операции композиции. Действительно, прямое вычисление показывает, что еслиf1 (z) =a1 z + b1c1 z + d1иf2 (z) =a2 z + b2c2 z + d2— два дробно-линейных отображения, то их композиция f1 ◦ f2 и обратноеотображение f1−1 тоже дробно-линейны.Данное утверждение становится очевидным, если реализовать дробно-линейные отображения в виде комплексных 2 × 2-матриц. Указанная реализациястроится следующим образом.
Сопоставляя каждой обратимой матрицеa b∈ GL(2, C)c dдробно-линейное отображениеw=az + b,cz + dмы получим гомоморфизм группGL(2, C) −→ Λ .Этот гомоморфизм сюръективен, а его ядро состоит из всех ненулевых скалярных матриц, т.е. совпадает с {λI | λ ∈ C∗ }, где C∗ := C \ {0}. Более того,19сужение указанного гомоморфизма на группу SL(2, C) всех матриц с определителем 1 тоже сюръективно, а его ядро состоит всего из двух элементов: ±I.Это означает, что имеют место изоморфизмы группΛ∼=GL(2, C) ∼ SL(2, C)=: PSL(2, C) .=C∗{±I}Замечание.
Группа дробно-линейных отображений Λ не коммутативна.Линейные отображения образуют подгруппу Λ0 ⊂ Λ, состоящую в точности изотображений, оставляющих точку z = ∞ неподвижной. В матричной реализации элементы Λ0 изображаются верхнетреугольными матрицами из GL(2, C)или SL(2, C).3.4.
Круговое свойство дробно-линейных отображений.Определение. Обобщенной окружностью (или окружностью на расширенной комплексной плоскости C) называется любая окружность или прямая наC.Это определение мотивируется тем, что при стереографической проекцииокружностям и прямым на C отвечают окружности на сфере Римана.Предложение 3. Каждое дробно-линейное отображение переводит любую окружность на C снова в окружность на C.Доказательство.
При c = 0 (т.е. для линейных отображений) это утверждение очевидно. С другой стороны, всякое дробно-линейное отображениеw = f (z) =az + bcz + dс c 6= 0 можно записать в видеf (z) =aad − bcB−=: A +,cc(cz + d)z+Cт.е. представить как композицию f = f1 ◦ f2 ◦ f3 отображений видаf1 (z) = A + Bz ,f2 (z) =1,zf3 (z) = z + C .Иначе говоря, всякое дробно-линейное отображение можно представить ввиде композиции линейных отображений и отображенияz 7−→1.zПоэтому осталось доказать Предложение 3 для отображения z 7→ z1 .Заметим, что в терминах стереографической проекции отображениеz 7→ z1 является поворотом сферы Римана вокруг одного из диаметров на уголπ (проверьте это!) и потому сохраняет окружности на сфере Римана.20Можно проверить круговое свойство для отображения z 7→ 1z и непосредственно.
Воспользуемся тем, что в координатах z = x + iy любая окружность наC записывается (причем однозначно с точностью до умножения всех коэффициентов на ненулевую вещественную константу) в видеA(x2 + y 2 ) + B1 x + B2 y + C = 0 ,(1)где A, B1 , B2 , C ∈ R не равны нулю одновременно. (Заметим, что случай A = 0отвечает прямым, случай A 6= 0 — обычным окружностям). Выделяя полныеквадраты, легко видеть, что, обратно, всякое уравнение (1) с не равными одновременно нулю коэффициентами A, B1 , B2 , C ∈ R задает либо окружность наC, либо точку или пустое множество.В комплексных координатах уравнение (1) переписывается в видеAzz + Bz + Bz + C = 0 ,(2)где B = 12 (B1 − iB2 ). При отображении w = z1 окружность, заданная уравнением (2), переходит в множество, задаваемое уравнением того же вида:A + Bw + Bw + Cww = 0 .При этом окружность в C не может перейти в точку или пустое множество, таккак дробно-линейные отображения взаимнооднозначны.
Следовательно, всякаяокружность на C переходит при отображении z 7→ 1z снова в окружность на C.Задача. Покажите, что уравнение (2) с не равными одновременно нулю коэффициентами A, C ∈ R, B ∈ C задает обычную окружность ⇐⇒√A 6= 0, |B|2 − AC > 0.Центр этой окружности есть z0 = − BA , а радиус равен R =|B|2 −AC.|A|Замечание. Как отмечалось выше (п. 2.5), любое конформное отображение f обладает круговым свойством в первом порядке, т.е. переводит малыеокружности с центром z0 в замкнутые кривые, совпадающие в первом порядкес окружностями с центром f (z0 ). Для дробно-линейных отображений образомокружности (на C) является в точности окружность (на C), но центр окружности уже не обязательно переходит в центр (приведите пример).3.5.
Сохранение симметрии при дробно-линейных отображениях.Определение. Точки z1 , z2 ∈ C называются симметричными относительно окружности Γ = {|z − z0 | = R}, если они лежат на одном луче с началом вточке z0 и произведение их расстояний до z0 равно R2 :|z1 − z0 | · |z2 − z0 | = R2 .Центр z0 окружности Γ будем считать симметричным точке ∞ относительно Γ.21Лемма. Точки z1 , z2 ∈ C симметричны относительно обобщенной окружности Γ = {Azz +Bz +Bz +C = 0} (см. формулу (2) из п. 3.4) тогда и толькотогда, когдаAz1 z 2 + Bz1 + Bz2 + C = 0 .Иными словами, чтобы получить критерий симметричности точек z1 , z2 относительно окружности Γ, надо в уравнении Γ заменить z на z1 , а z на z2 .Доказательство.
1. Рассмотрим вначале случай, когда Γ = {|z − z0 | = R}является обычной окружностью. Тогда условие симетричности z1 , z2 относительно Γ состоит в том, что аргумент z1 − z0 совпадает с аргументом z2 − z0 ,2а модуль z1 − z0 равен |z2R−z0 | , т.е.z1 − z0 =R2.z2 − z0Записывая это условие в виде(z1 − z0 )(z2 − z0 ) = R2 ⇐⇒ z1 z2 − z0 z1 − z0 z2 + z0 z0 = R2 ,и сравнивая его с уравнением исходной окружности Γ:(z − z0 )(z − z0 ) = R2 ⇐⇒ zz − z0 z − z0 z + z0 z0 = R2 ,мы убеждаемся в том, что утверждение леммы верно в рассматриваемом случае.2.
Предположим теперь, что Γ есть прямая с уравнением Bz+Bz+C = 0, т.е.Re(Bz + 12 C) = 0. Деля все коэффициенты на |B|, можно без потери общностисчитать, что |B| = 1. Заметим, что в частном случае B = 1, C = 0 утверждение леммы становится очевидным: w1 , w2 симметричны относительно мнимойоси {Re w = 0} ⇐⇒ w1 + w2 = 0. Общий случай сводится к рассмотренному, поскольку отображение w = Bz + 12 C, будучи композицией поворота исдвига, сохраняет симметрию относительно прямых: точки z1 , z2 симметричны относительно прямой Γ ⇐⇒ точки w1 = Bz1 + 12 C и w2 = Bz2 + 12 Cсимметричны относительно прямой {Re w = 0}. Последнее равносильно тому,что w1 + w2 = 0, т.е.11Bz1 + C + Bz2 + C = 0 ⇐⇒ Bz1 + Bz2 + C = 0 ,22что и требовалось доказать.Пользуясь приведенной леммой, докажемПредложение 4. Дробно-линейные отображения w = f (z) сохраняют симметрию относительно обобщенных окружностей Γ, т.е.
если z1 , z2 ∈ C симметричны относительно Γ, то f (z1 ), f (z2 ) симметричны относительно f (Γ).Доказательство. Всякое дробно-линейное отображение есть композицияотображений вида w = az + b и w = 1z (см. доказательство Предложения 3).Поскольку сохранение симметрии при сдвигах ясно из определения, остается22проверить его для отображений w = az, a ∈ C \ {0}, и w = z1 . Будем считать,что ни одна из точек z1 , z2 не равна ∞ (случай, когда это не так, разберитесами).
Требуемое утверждение вытекает из предыдущей леммы. Например,при отображении w = f (z) = z1 произвольная обобщенная окружностьΓ = {Azz + Bz + Bz + C = 0}переходит в обобщенную окружностьf (Γ) = {A + Bw + Bw + Cww = 0} .Поэтому если точки z1 , z2 симметричны относительно Γ, т.е. еслиAz1 z2 + Bz1 + Bz2 + C = 0 ,то w1 = f (z1 ) =1z1и w2 = f (z2 ) =1z2удовлетворяют уравнениюA + Bw2 + Bw1 + Cw1 w2 = 0 ,т.е. точки w1 , w2 симметричны относительно f (Γ). Доказательство сохранениясимметрии при отображении w = az проводится аналогично.Предложение 4 можно доказать более геометричным способом, пользуясьследующим критерием симметричности, доказательство которого мы оставляем в виде задачи.Утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
