А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Какие из следующих путей эквивалентны:(1) e2πit , 0 6 t 6 1 ;(2) e4πit , 0 6 t 6 1 ;(3) e−2πit , 0 6 t 6 1 ;(4) e2πi sin t , 0 6 t 6 π/2 ?Определение. Путь γ : [α, β] → C называется жордановым, если γ осуществляет взаимно-однозначное отображение отрезка [α, β] на его образγ([α, β]). Путь γ : [α, β] → C называется замкнутым жордановым, еслиγ(α) = γ(β) и γ осуществляет взаимно-однозначное отображение полуинтервала [α, β) на γ([α, β)).Рассматривая путь γ : [α, β] → C как отображение [α, β] в евклидову плоскость R2 , определим понятие гладкого и кусочно-гладкого пути.Определение.
Предположим, что путь γ задается отображением[α, β] → C, для которого в каждой точке t ∈ [α, β] существует производная.γ(t) (применительно к концевым точках α, β это означает, что в точке α..существует производная γ(t) справа, а в точке β – производная γ(t) слева)...Путь γ называется гладким, если производная γ(t) непрерывна по t и γ(t) 6= 07при t ∈ [α, β]. Путь γ : [α, β] → C называется кусочно-гладким, если отрезок[α, β] можно разбить точкамиα = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = βна конечное число отрезков [tj−1 , tj ] так, что ограничение γ на каждый изних является гладким путем.Эквивалентность гладких и кусочно-гладких путей определяется также, какв случае непрерывных путей, с дополнительным условием, что замена параметра τ и обратная к ней замена τ −1 должны задаваться гладкими (соответственно, кусочно-гладкими) функциями.Задачи.(1) Покажите, что теорема Лагранжа неверна для C-значных функций.
А именно,укажите непрерывно дифференцируемую функцию f : [0, 1] → C такую, чтоf ′ (t) 6= f (1) − f (0) ни при каком t ∈ [0, 1].(2) Докажите следующий аналог теоремы Лагранжа для C-значных функций. Еслифункция f : [0, 1] → C непрерывно дифференцируема, то число f (1) − f (0)принадлежит замыканию выпуклой оболочки множества значений f ′ (t):f (1) − f (0) ∈ ch f ′ ([0, 1]).Определение. Областью на комплексной плоскости C называется открытое линейно связное подмножество D ⊂ C. Линейная связность D означает, что для любых двух точек a, b ∈ D найдется путь γ, соединяющий a сb и лежащий в D.В частности, всякое выпуклое открытое подмножество D ⊂ C является областью.Предложение. Для открытых множеств D ⊂ C линейная связностьмножества D эквивалентна его связности. Последнее означает, что Dнельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых (или, эквивалентно, замкнутых) подмножеств.Доказательство.
Пусть множество D открыто и линейно связно. Покажем, что оно связно. Допустим, что существуют непустые открытые множества D1 , D2 ⊂ D такие, чтоD1 ∩ D2 = ∅ иD1 ∪ D2 = D .Выберем любые точки a ∈ D1 , b ∈ D2 и пусть γ : [0, 1] → D есть непрерывный путь из определения линейной связности, такой что γ(0) = a, γ(1) = b.Рассмотрим множествоK := {t ∈ [0, 1] | γ(t) ∈ D1 }и обозначим через t0 число t0 := sup{t | t ∈ K}. Имеем 0 < t0 < 1, так как обамножества D1 и D2 открыты. Точка z0 := γ(t0 ) не может принадлежать ниD1 , ни D2 . Действительно, в первом случае мы имели бы, чтоt0 + ε ∈ Kдля всех достаточно малых ε > 0 ,8а во втором случае — чтоt0 − ε ∈/Kдля всех достаточно малых ε > 0 .Следовательно, γ(t0 ) ∈/ D вопреки определению γ.
Это противоречие доказывает связность D.Обратно, пусть множество D открыто и связно. Фиксируем точку z0 ∈ D иопределим D1 ⊂ D как множество всех точек z ∈ D, которые можно соединитьс z0 непрерывным путем γ : [0, 1] → D. Положим D2 := D \ D1 . Посколькукаждая точка z ∈ D содержится в D вместе с некоторым кругом, а каждуюточку круга можно соединить по радиусу с его центром, мы видим, что обамножества D1 , D2 открыты. Но тогда из связности D вытекает, что одно изних, а именно D2 , должно быть пусто.
Полученное равенство D1 = D означает,что D линейно связно.Из доказанного утверждения вытекает (почему?)Теорема об открыто-замкнутом подмножестве. Пусть G – связноеподмножество в C и F – его непустое подмножество. Если F одновременнооткрыто и замкнуто в G, то F = G.Напомним, что границей области D называется множество ∂D := D \ D.В этом курсе мы рассматриваем, в основном, области, ограниченные гладкими или кусочно гладкими контурами.
В частности, мы будем называть Dобластью с простой границей, если она ограничена конечным числом кусочногладких замкнутых жордановых путей (контуров). Ориентация ∂D всегда выбирается так, чтобы область D оставалась слева при обходе вдоль ограничивающих ее замкнутых путей. Иными словами, внешняя граница области Dдолжна быть ориентирована против часовой стрелки, а внутренние компоненты границы — по часовой стрелке.Приведем еще одно определение, относящееся к областям на комплекснойплоскости. Будем говорить, что множество G компактно принадлежит области D (и записывать это как G ⋐ D), если G ⊂ D.1.5.
Компактификация комплексной плоскости. По самому определению комплексной плоскости C она не является компактным множеством, поэтому удобно ввести в рассмотрение ее компактификацию.Определение. Расширенной комплексной плоскостью C называется одноточечная компактификация C, получаемая добавлением к C новой точки ∞.База окрестностей точки ∞ на C := C ∪ {∞} задается внешностями кругов{z : |z| > R}.С учетом этого определения, все основные топологические понятия, введенные выше для C, переносятся и на расширенную плоскость C.Наглядное геометрическое изображение C можно получить с помощью стереографической проекции. Пусть11S = {(ξ, η, ζ) ∈ R3 : ξ 2 + η 2 + (ζ − )2 = }249есть сфера в евклидовом пространстве R3 с центром в точке (0, 0, 1/2) радиуса 1/2. Отождествим комплексную плоскость C с плоскостью {ζ = 0} в R3 исопоставим каждой точке z = x + iy точку Z = (ξ, η, ζ) пересечения сферы S случом, соединяющим z с северным полюсом N = (0, 0, 1) сферы S.
Для того,чтобы выразить координаты точки Z через z, запишем луч параметрически ввиде:ξ = tx , η = ty , ζ = 1 − t .Его точка пересечения со сферой S отвечает значению параметра t, котороенаходится из уравнения111t2 (x2 + y 2 ) + ( − t)2 ==⇒ t =.241 + |z|2Следовательно, координаты искомой точки Z = (ξ, η, ζ) вычисляются по формулеxy|z|2ξ=,η=,ζ=.1 + |z|21 + |z|21 + |z|2Обратное отображение находится из соотношения t = 1 − ζ, откудаx=ξ,1−ζy=η.1−ζИз приведенных формул следует, что стереографическая проекция z ←→ Zустанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками комплексной плоскости C и сферы S \ {N } без северного полюса N .
Поэтому естественно отождествить сферу S с расширенной комплексной плоскостью C.Указанная модель расширенной комплексной плоскости C называется сферойРимана.Задачи.(1) Какие точки комплексной плоскости отвечают диаметрально противоположнымточкам сферы Римана?(2) Какому преобразованию сферы Римана отвечает преобразование комплекснойплоскости вида z 7→ 1/z ?(3) Во что при стереографической проекции проектируются окружности на сфереРимана?1.6.
Сферическая метрика. Пользуясь стереографической проекцией,мы можем вввести на C, помимо евклидовой метрики, определяемой посредством:|z1 − z2 |2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 для z1 , z2 ∈ C ,еще и сферическую метрику. Расстояние ρ(z1 , z2 ) между точками z1 , z2 ∈ Cв этой метрике по определению равно евклидову расстоянию (в R3 ) между ихсферическими образами.10Задача. Покажите, чтоρ(z1 , z2 ) = p|z1 − z2 |p.1 + |z1 |2 1 + |z2 |2Из этой формулы видно, что в конечной части C (т.е.
для точек z1 , z2 ,принадлежащих некоторому кругу {|z| < R}) сферическое растояние ρ(z1 , z2 )эквивалентно евклидову в том смысле, чтоC1 (R)|z1 − z2 | 6 ρ(z1 , z2 ) 6 C2 (R)|z1 − z2 | .В то же время расстояние от произвольной точки z ∈ C до ∞ в сферическойметрике является конечным:1ρ(z, ∞) = p.1 + |z|2База проколотых окрестностей точки ∞ в метрике ρ задается множествамиp{z ∈ C : ρ(z, ∞) < ε} = {z ∈ C : |z| > ε−2 − 1} .Иначе говоря, топология расширенной комплексной плоскости C, которую мыопределили раньше, эквивалентна топологии C, задаваемой сферическим расстоянием ρ.Лекция 2. Комплексная дифференцируемость.Геометрический смысл производной2.1. R-дифференцируемость.
Рассмотрим C-значную функцию f : C →C на комплексной плоскости как отображение R2 → R2 , сопоставляющее каждой точке z = x + iy точкуf (z) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = Re f (x, y) + i Im f (x, y) .Определение. Функция f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), определенная в окрестности точки z0 = x0 + iy0 , называется R-дифференцируемой в точке z0 , еслиu(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (x0 , y0 ) как функции от x, y.Более подробно, рассмотрим точку z = x + iy, достаточно близкую к z0 иположим ∆x := x − x0 , ∆y := y − y0 . Кроме того, обозначим:∆z := z − z0 = ∆x + i∆y ,∆f := f (z) − f (z0 ) = f (x, y) − f (x0 , y0 ) .Тогда R-дифференцируемость f в точке z0 эквивалентна существованию констант a, b ∈ C таких, что∆f = a · ∆x + b · ∆y + o(|∆z|) при∆z → 0 .Более формально, это соотношение означает, что для всякого ε > 0 существуетδ > 0 такое, что|∆f − a · ∆x − b · ∆y| < ε|∆z|для всех z, удовлетворяющих неравенству |z − z0 | < δ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
