А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть Γ – окружность на C (т.е. окружность или прямая на C). Точки z1 , z2 ∈ C \ Γ симметричны относительно Γ ⇐⇒ любаяобобщенная окружность γ на C, проходящая через z1 , z2 , ортогональна Γ.Доказательство предложения 4 с помощью приведенного критерия становится элементарным. Рассмотрим семейство обобщенных окружностей {γ},которые проходят через точки z1 , z2 ∈ C, симметричные относительно окружности Γ (мы предполагаем, что z1 6= z2 ).
Согласно приведенному критерию,все эти окружности ортогональны Γ. Отображение w = f (z) переводит окружности γ в обобщенные окружности f (γ) на C (круговое свойство!), которыепроходят через точки w1 = f (z1 ), w2 = f (z2 ) и, ввиду конформности f , ортогональны обобщенной окружности f (Γ). С другой стороны, применяя обратноеотображение z = f −1 (w), мы видим, что любая окружность, проходящая черезточки w1 и w2 , есть образ обобщенной окружности из семейства {γ} и потомуортогональна Γ. Поэтому, по указанному критерию симметричности, точки w1и w2 симметричны друг другу относительно Γ, что и требовалось доказать.Задачи.(1) Пусть z1 , z2 ∈ C, z1 6= z2 .
Выведите из Предложения 4, что следующие свойства обобщенной окружности Γ эквивалентны: (а) z1 , z2 симметричны относи|z−z |тельно Γ; (б) Γ задается уравнением |z−z12 | = k для некоторого k > 0.(2) Обратно, докажите утверждение (1) прямым вычислением и дайте, исходя изэтого, другое доказательство Предложения 4.233.6. Свойство трех точек. Множество дробно-линейных отображенийw = f (z) =az + bcz + dописывается тремя независимыми комплексными параметрами (т.к.
числительи знаменатель можно разделить на одно и то же ненулевое комплексное число). Поэтому можно ожидать, что для задания дробно-линейного отображениядостаточно зафиксировать его значения в трех различных точках.Предложение 5. Каковы бы ни были три различные точки z1 , z2 , z3 ∈ Cи три различные точки w1 , w2 , w3 ∈ C, существует единственное дробнолинейное отображение w = f (z) такое, чтоwk = f (zk )дляk = 1, 2, 3 .Доказательство. Предположим для простоты, что ни одна из точек zk , wkне совпадает с ∞ (случай, когда это не так, разберите сами).Докажем существование f . Дробно-линейное отображениеf1 (z) =z − z1 z3 − z2·z − z2 z3 − z1переводит точки z1 , z2 , z3 в точки 0, ∞, 1 на расширенной комплексной плоскости C.
Аналогично, дробно-линейное отображениеf2 (w) =w − w1 w3 − w2·w − w2 w3 − w1переводит точки w1 , w2 , w3 в 0, ∞, 1 ∈ C. Следовательно, дробно-линейное отображение f (z) = f2−1 ◦ f1 (z) переводит точки z1 , z2 , z3 в точки w1 , w2 , w3 .Докажем единственность f . Пусть дробно-линейное отображение f переводит точки z1 , z2 , z3 в w1 , w2 , w3 . Тогда дробно-линейное отображениеF := f2 ◦f ◦f1−1 оставляет точки 0, ∞, 1 неподвижными.
Из F (∞) = ∞ следует,что F (z) = Az + B. Условие F (0) = 0 дает B = 0, а тогда условие F (1) = 1влечет A = 1. Таким образом, F (z) = z и, следовательно, f = f2−1 ◦ f1 , т.е.искомое отображение f определено единственным образом.Задачи.(1) Числоz2 − z3 z1 − z3:z2 − z4 z1 − z4называется перекрестным отношением четырех точек z1 , z2 , z3 , z4 . Покажите,что перекрестное отношение сохраняется при дробно-линейных отображениях.(2) Покажите, что точки z1 , z2 , z3 , z4 лежат на одной окружности в C ⇐⇒ ихперекрестное отношение вещественно.243.7. Дробно-линейные изоморфизмы основных областей.Определение. Дробно-линейным автоморфизмом области D ⊂ C называется дробно-линейное отображение области D на себя.Изучим дробно-линейные автоморфизмы основных областей, к которым мыпричисляем расширенную комплексную плоскость C, комплексную плоскостьC, единичный круг U := {z ∈ C : |z| < 1} и верхнюю полуплоскость H := {z ∈C : Im z > 0}.Первые два из следующих утверждений очевидны.Утверждение 1.
Совокупность дробно-линейных автоморфизмов C совпадает с группой Λ всех дробно-линейных отображений.Утверждение 2. Совокупность дробно-линейных автоморфизмов C совпадает с подгруппой Λ0 ⊂ Λ всех линейных отображений.Следующее утверждение уже требует доказательства.Утверждение 3. Совокупность дробно-линейных автоморфизмов круга Uесть множество всех отображений видаw = f (z) = eiθz−a,1 − azгде|a| < 1, θ ∈ R .(1)Доказательство. 1. Пусть w = f (z) есть дробно-линейный автоморфизмU .
Рассмотрим точку a := f −1 (0) ∈ U и точку a∗ := 1/a, симметричную aотносительно единичной окружности ∂U . Поскольку f отображает ∂U на себя,точка f (a∗ ) должна в силу Предложения 4 быть симметрична точке f (a) = 0относительно f (∂U ) = ∂U , т.е. f (a∗ ) = ∞. Так как f (z) есть отношениелинейных функций, то из равенств f (a) = 0, f (a∗ ) = ∞ вытекает, чтоf (z) = λz−az − a∗для некоторой константы λ ∈ C илиf (z) = λ1z−a1 − azдля некоторой другой константы λ1 . Подставляя сюда z = 1 и пользуясь тем,что |f (1)| = 1 (ибо f (∂U ) ⊂ ∂U ), получаем, что |λ1 | = 1, т.е. всякий дробнолинейный автоморфизм U имеет вид (1).2.
Покажем, что всякое отображение w = f (z) вида (1) есть автоморфизмкруга U . Заметим, что если |z| = 1 (т.е. zz = 1), то|f (z)| =|z − a||z − a|==1,|z| · |1 − az||z − a|т.е. f (∂U ) ⊂ ∂U . Поскольку f (∂U ) есть обобщенная окружность, получаем,что f (∂U ) = ∂U , т.е. |f (z)| = 1 ⇐⇒ |z| = 1.
Отсюда следует, что |f (z)| < 125для всех z ∈ U . (Действительно, допустим, напротив, что |f (z0 )| > 1 для некоторой точки z0 ∈ U . Так как |f (a)| = 0, то по теореме о промежуточномзначении непрерывная функция |f (z)| должна принимать значение 1 в некоторой точке отрезка [a, z0 ] ⊂ U , вопреки тому, что |f (z)| = 1 ⇐⇒ |z| = 1).Аналогично получаем, что |f (z)| > 1 для всех z ∈ C \ U (если |f (z0 )| < 1 длянекоторой точки z0 ∈ C \ U, то соединим z0 с точкой a∗ = 1/a непрерывнымпутем в C \ U и опять придем к противоречию). Следовательно, f (U ) = U .Утверждение 4.
Совокупность дробно-линейных автоморфизмов верхнейполуплоскости H есть множество всех отображений видаw = f (z) =az + b,cz + dгдеa, b, c, d ∈ R ,ad − bc > 0 .(2)Доказательство. 1. Пусть w = f (z) есть дробно-линейный автоморфизмH. Тогда f и f −1 переводят расширенную вещественную ось R := R ∪ {∞} всебя, так что точкиx1 := f −1 (0) ,x2 := f −1 (∞) ,x3 := f −1 (1)принадлежат R.
Будем считать, что ни одна из точек x1 , x2 , x3 не равна ∞(случай, когда это не так, разберите сами). Тогда, согласно Предложению 5,f записывается в видеz − x1 x3 − x2f (z) =·,z − x2 x3 − x1т.е.az + bf (z) =cz + dдля некоторых a, b, c, d ∈ R. При этом f (i) ∈ H, т.е. Im f (i) > 0. Это означает,чтоad − bcai + bIm= 2>0,ci + dc + d2откуда ad − bc > 0. Таким образом, f имеет вид (2).2. Покажем, что всякое отображение w = f (z) вида (2) есть автоморфизмH. Действительно, из (2) следует, что f (R) = R и Im f (i) > 0. Отсюда, такжекак в пункте 2 доказательства Утверждения 3 (с заменой |f (z)| на Im f (z)),следует, что f (H) = H.Задача. Покажите, что всякая функция w =az+bcz+dс вещественными a, b, c, d удов-летворяет соотношениюIm w =ad − bcIm z|cz + d|2для всех z ∈ C.
Выведите отсюда другое доказательство того, что образ верхнейполуплоскости при отображении (2) есть снова верхняя полуплоскость.Определение. Дробно-линейным изоморфизмом области D1 ⊂ C на область D2 ⊂ C называется дробно-линейное отображение области D1 на D2 .26Задачи.(1) Обобщенным кругом (или кругом на C) называется область, ограниченная окружностью на C (т.е. круг, внешность круга или полуплоскость на C). Покажите,что любые два круга на C дробно-линейно изоморфны. В частности, верхняяполуплоскость H дробно-линейно изоморфна единичному кругу U .(2) Найдите все дробно-линейные изоморфизмы верхней полуплоскости на единичный круг.Лекция 4.
Интеграл и первообразная4.1. Определение интеграла вдоль пути. Пусть γ : I → C – кусочногладкий путь, параметризованный отрезком I = [α, β]. Рассмотрим функциюf : γ(I) → C такую, что композиция f ◦ γ непрерывна на I. Тогда комплексно.значная функция g(t) = f (γ(t))γ(t) интегрируема по Риману на I = [α, β], и ееинтегралZZ β.f dz :=f (γ(t))γ(t) dt(1)γαназывается интегралом от функции f вдоль пути γ.Напомним (см. п.
1.4), что путь γ : I → C называется кусочно-гладким,если отрезок I = [α, β] можно разбить точкамиα = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = βна конечное число отрезков [tj−1 , tj ] так, что ограничение γ на каждый из нихявляется гладким путем. Поэтому интеграл, задаваемый формулой (1), можнопредставить в виде суммыZf dz =γn−1X Z tjj=1.f (γ(t))γ(t) dttj−1интегралов от непрерывных функций.RЗамечание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
