А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пользуясь представлением (3), мы можем записать интеграл по границе любого треугольника ∆n с ∆n ⋐ U в видеZZZZ′f dz =f (z0 ) dz +f (z0 )(z − z0 ) dz +α(z)(z − z0 ) dz .∂∆n∂∆n∂∆n∂∆nПервые два интеграла в правой части равны нулю — это частные случаи интеграла, вычисленного в примере 2 из п. 4.1, отвечающие n = 0 и n = 1. Третийинтеграл в силу свойства 5◦ из п. 4.2 допускает оценкуZZα(z)(z − z0 ) dz 6 ε|z − z0 | |dz| 6 ε|∂∆n |2 ,∂∆n∂∆nгде |∂∆n | есть периметр треугольника ∆n . (В последнем неравенстве мы воспользовались тем, что |z − z0 | < |∂∆n | при z ∈ ∂∆n .) Итак,Zf dz 6 ε|∂∆n |2 .(4)∂∆nНо периметр ∆n легко выразить через периметр исходного треугольника ∆0 .А именно,|∂∆0 ||∂∆n | =.2nПоэтому неравенство (4) можно переписать в видеZ|∂∆0 |2f dz 6 ε.4n∂∆nСравнивая его с (2), заключаем, чтоM 6 ε|∂∆0 |2для любого ε > 0, т.е.
M = 0 вопреки предположению. Это противоречиедоказывает теорему.334.4. Первообразная.Определение. Первообразной функции f в области D ⊂ C называетсяголоморфная в D функция F такая, чтоF ′ (z) = f (z)z∈D .для всехСначала рассмотрим вопрос о единственности первообразной.Предложение 1.
Если F – какая-либо первообразная функции f в областиD, то все остальные первообразные f в этой области отличаются от F напостоянную, т.е. имеют видF (z) + const .Доказательство. Пусть F1 , F2 — две первообразные функции f в D. Тогда функция Φ := F1 − F2 голоморфна в D иΦ′ (z) ≡ 0в D.Для всякой голоморфной функции Φ, ввиду уравнений Коши–Римана (см. п.2.2), имеем∂Φ∂Φ= −i= Φ′ (z) .∂x∂yПоэтому∂Φ≡0 и∂x∂Φ≡0∂yвD.Применяя формулу Ньютона–Лейбница по x и по y и пользуясь связностью D,заключаем, чтоΦ(z) ≡ const в D .Переходя к вопросу о существовании первообразной, рассмотрим сначаласлучай круга. Оказывается, достаточным условием существования первообразной в круге является именно то свойство голоморфных функций, выполнение которого гарантируется леммой Гурса.
Приводимое ниже доказательствоэтого утвеждения по существу копирует доказательство формулы Ньютона–Лейбница для функций f : R → R.Предложение 2. Пусть U := {z ∈ C | |z − a| < r}, функция f : U → Cнепрерывна в U иZf dz = 0для любого треугольника∂∆Тогда функцияF (z) =Zzf (ζ) dζ ,a34z∈U ,∆⋐U .(где интеграл берется по отрезку, соединяющему центр круга a с точкой z)является первообразной функции f в круге U .Доказательство. Фиксируем произвольную точку z ∈ U и выберем числоδ > 0 так, чтобы круг {z + h | h ∈ C , |h| < δ} компактно содержался в исходномкруге U .
Применяя лемму Гурса к функции f и треугольнику с вершинами вточках a, z и z + h c |h| < δ, получимF (z + h) − F (z) =С другой стороны,1f (z) =hпосколькуR z+hzZZz+hf (ζ) dζ .zz+hf (z) dζ ,zdζ = h (см. пример 2 из п. 4.1). Следовательно,F (z + h) − F (z)1=hhZzz+h1f (ζ) dζ = f (z) +hZzz+h{f (ζ) − f (z)} dζ .Пользуясь оценкой 5◦ из п. 4.2 и равномерной непрерывностью f в замыканиикруга {z + h | h ∈ C , |h| < δ}, будем иметь Z z+h 1 F (z + h) − F (z)={f(ζ)−f(z)}dζ−f(z)6h zh1· |h| max |f (ζ) − f (z)| → 0 при|h|ζ∈[z,z+h]h→0.Отсюда следует, что функция F является C-дифференцируемой в точке z иF ′ (z) = f (z).Следствие.
Всякая функция f , голоморфная в круге U ⊂ C, имеет в Uпервообразную.Доказательство. Вытекает из предложения 2 и леммы Гурса.4.5. Первообразная вдоль пути. Из следствия, доказанного в конце предыдущего п. 4.4, вытекает, что функция, f , голоморфная в области D, обладаетпервообразной в любом круге U ⊂ D. Иными словами, она обладает локальнойпервообразной в области D. Можно ли утверждать, что в области D существует и глобальная (т.е.
определенная всюду в D) первообразная функции f ?Как мы увидим ниже (см. замечание 9) ответ на этот вопрос отрицательный — иными словами, в формулировке упомянутого следствия круг U нельзязаменить на произвольную область D ⊂ C. Оказывается, существуют топологические препятствия к тому, чтобы локальные первообразные функции f“склеивались” в глобальную первообразную этой функции. Тем не менее, пользуясь локальными первообразными, можно “склеить” из них первообразную fвдоль любого пути γ : I → D. Приведем точное определение.35Определение. Пусть γ : I → D — произвольный путь в области D иf : D → C — произвольная функция в этой области.
Функция Φ : I → Cназывается первообразной функции f вдоль пути γ, если:(1) Φ непрерывна на I;(2) для любого t0 ∈ I можно указать круг U ⊂ D с центром в точкеz0 = γ(t0 ) и первообразную FU функции f в этом круге так, чтоΦ(t) = FU (γ(t))для всех t из некоторого открытого интервала u(t0 ) ⊂ I, содержащего t0 .Замечание 6. Подчеркнем, что Φ является функцией от t, а не от точкиz = γ(t). В частности, если круги U ′ и U ′′ , отвечающие точкам z ′ = γ(t′ ) иz ′′ = γ(t′′ ), пересекаются, то соответствующие первообразные FU ′ и FU ′′ необязательно совпадают на U ′ ∩ U ′′ .
Они могут отличаться на константу.Замечание 7. Если функция f : D → C имеет глобальную первообразнуюF : D → C в области D, то функцияΦ(t) := F (γ(t))является первообразной f вдоль γ для любого пути γ : I → D.Теорема о существовании и единственности первообразной вдольпути. Пусть функция f голоморфна в области D и γ : I → D — произвольный путь в этой области. Тогда существует первообразная Φ функции fвдоль γ, и любые две такие первообразные отличаются на константу.Доказательство. Существование.
Выберем столь мелкое разбиениеα = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = βотрезка I = [α, β], что образ каждого из отрезков Ij := [tj−1 , tj ] при отображении γ лежит в некотором круге Uj ⊂ D.Первообразную функции f вдоль пути γ будем строить последовательно, начиная с круга U1 . Сначала фиксируем первообразную F1 функции f в круге U1 .Тогда для любой первообразной F2 функции f в U2 имеемF2 − F1 ≡ constнаU1 ∩ U2 6= ∅ .Вычитая из F2 эту константу, можно считать, что F2 ≡ F1 на U1 ∩ U2 . Продолжая это построение по индукции, выберем в каждом круге Uj первообразнуюFj так, чтоFj ≡ Fj−1 на Uj−1 ∩ Uj 6= ∅ .Определим функцию Φ : I → C, полагаяΦ(t) = Fj (γ(t)) при36t ∈ [tj−1 , tj ] .Тогда Φ непрерывна на I и является первообразной f вдоль γ.Единственность.
Пусть Φ1 , Φ2 — две первообразные f вдоль пути γ. Фиксируем точку t0 ∈ I. Тогда в некоторой окрестности u ⊂ I точки t0 будутсправедливы представленияΦ1 (t) = F1 (γ(t)) ,Φ2 (t) = F2 (γ(t)) ,где F1 , F2 — первообразные f в некотором круге U ⊂ D с центром в точке γ(t0 ).Так как F1 − F2 ≡ const в U , то функция Φ1 − Φ2 постоянна на u. Ввидупроизвольности t0 ∈ I получаем, что функция Φ1 − Φ2 локально постояннана I, т.е. Φ1 − Φ2 ≡ const.С помощью первообразной вдоль пути можно обобщить формулу Ньютона–Лейбница на функции комплексного переменного.Формула Ньютона–Лейбница.
Пусть γ : [α, β] → D — кусочно-гладкийпуть в области D и функция f голоморфна в этой области. Обозначим черезΦ первообразную f вдоль γ. ТогдаZf dz = Φ(β) − Φ(α) .γДоказательство. 1) Предположим сначала, что путь γ гладкий и функция f имеет глобальную первообразную F в области D.Тогда композиция F ◦ γ является первообразной f вдоль γ (см. замечание 7)и потому, в силу единственности первообразной вдоль пути, будем иметьΦ(t) = F (γ(t)) + const ,t ∈ [α, β] .Ввиду гладкости пути γ отсюда следует, что функция Φ(t) непрерывно дифференцируема и...Φ(t) = F ′ (γ(t))γ(t) = f (γ(t))γ(t) .По определению интеграла вдоль кривой, получаем, чтоZZ βZ β ..f dz =f (γ(t))γ(t) dt =Φ(t) dt = Φ(β) − Φ(α) .γαα2) В общем случае можно разбить γ : [α, β] → D в объединение конечногочисла гладких путей γj : [tj−1 , tj ] → D так, чтобы функция f имела первообразную в окрестности образа каждого из этих путей.
Тогда к каждому γjприменимы рассуждения первой части доказательства, откудаZXXZf dz =f dz =(Φ(tj ) − Φ(tj−1 )) = Φ(β) − Φ(α) .γjγjjЗамечание 8. Пользуясь формулой Ньютона–Лейбница, можно определитьинтеграл от функции f , голоморфной в области D, вдоль любого непрерывного(не обязательно даже спрямляемого) пути γ : I → D, полагая:Zf dz := приращение первообразной Φ функции f вдоль γ на отрезке I .γ37Замечание 9. Функция f (z) = 1/z голоморфна в областиD = {z ∈ C | 1/2 < |z| < 2} ,но не имеет глобальной первообразной F в этой области. Действительно, иначедля любого замкнутого пути γ : [α, β] → D мы имели бы по формуле Ньютона–Лейбница и замечанию 7:Zγf dz = F (γ(β)) − F (γ(α)) = 0 ,поскольку γ(β) = γ(α). ОднакоZ|z|=1dz= 2πiz(см. пример 1 п.
4.1). Покажите, что функция g, голоморфная в указаннойобласти D, будет иметь глобальную первообразную в D, если найдется r ∈(1/2, 2) такое, чтоZg dz = 0 .|z|=rЛекция 5. Теорема Коши5.1. Теорема Коши о гомотопии. Начнем с определения гомотопныхпутей. При этом нам будет удобно рассматривать пути γ : I = [0, 1] → D вобласти D, параметризованные единичным интервалом. (Заменой параметризации любой путь γ : [α, β] → D приводится к этому виду).Определение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
