А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1124322), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отображение z = f (w) = w2 непрерывно на всейплоскости w, а указанной выше склейке берегов разрезов отвечает при этомотображении обычная склейка верхней и нижней полуплоскостей в плоскостиw вдоль вещественной оси. Поэтому z = f (w) = w2 конформно отображаетплоскость w (без начала координат) на двулистную поверхность над плоскостью z (также без начала координат), полученную указанной склейкой, что итребовалось.12.2. Риманова поверхность функции w = ln z.
Отображение z = ew ,обратное к w = ln z, конформно отображает каждую из полосDn = {w ∈ C | 2πn < Im w < 2π(n + 1)} ,n∈Z,на плоскость с разрезом C \ [0, +∞). Также, как в п. 12.1, получаем, что z = ewконформно отображает всю плоскость Cw на бесконечнолистную поверхностьнад Cz \ {0}, склеенную из счетного числа экземпляров C \ [0, +∞) с помощьюотождествления (для каждого n ∈ Z) верхнего берега разреза n-го экземплярас нижним берегом разреза (n + 1)-го экземпляра.
На полученной поверхностиобратная функция w = ln z однозначна (и даже является конформным отображением этой поверхности на C).12.3. Риманова поверхность функции w = arcsin z. Функция z = sin w,обратная к w = arcsin z, конформно отображает полосуD0 := {w ∈ C | − π/2 < Re < π/2}на область C \ ((−∞, −1] ∪ [1, +∞)). При этом образ прямой Re z = −π/2состоит из двух берегов разреза (−∞, −1], а образ прямой Re z = π/2 — издвух берегов разреза [1, +∞). Это вытекает из представленияsin w = F (−ieiw ) ,гдеF (ζ) :=11(ζ + )2ζ101– функция Жуковского .Точно также, при каждом n ∈ Z функция z = sin w конформно отображаетполосуDn := {w ∈ C | πn − π/2 < Re w < πn + π/2}на область C \ ((−∞, −1] ∪ [1, +∞)) и это отображение продолжается до соответствия границ, подобного указанному выше.В итоге получаем, что z = sin w есть конформное отображение областиC \ {πm + π/2 | m ∈ Z}на бесконечнолистную поверхность над C \ {±1}, которая строится по следующему рецепту.
Возьмем бесконечный набор{Gn | n ∈ Z}экземпляров областиC \ ((−∞, −1] ∪ [1, +∞))(область Gn рассматривается при этом как образ области Dn при отображенииz = sin w). Склеим далее для каждого k ∈ Z экземпляры G2k и G2k+1 ”крестнакрест” (т.е. также, как в п. 12.1) вдоль разреза [1, +∞), а экземпляры G2kи G2k−1 — ”крест-накрест” вдоль разреза (−∞, −1]. Многозначная функцияw = arcsin z становится однозначной функцией на этой поверхности.12.4. Риманова поверхность полной аналитической функции. Подчеркнем, что мы пока еще остаемся на уровне наводящих соображений.
Вслучае произвольной ПАФ мы не будем стремиться ”сконструировать” искомую риманову поверхность из “наиболее крупных” кусков, скленных вдоль ихграниц (как мы делали это в пп. 12.1–12.3). Более удобно конструировать ее изкусков, отвечающих каноническим элементам заданной ПАФ.По определению, ПАФ F представляет собой совокупность канонических элементов F = (U, f ), получаемых продолжением исходного элемента F0 . Начиная с F0 , будем строить продолжения по всем возможным цепочкам, склеиваяпри этом области определения U1 , U2 ”соседних” элементов F1 = (U1 , f1 ) иF2 = (U2 , f2 ) по их общей части U1 ∩ U2 . Иначе говоря, элементы F1 = (U1 , f1 )и F2 = (U2 , f2 ) склеиваются друг с другом тогда и только тогда, когдаf1 ≡ f2на U1 ∩ U2(т.е. если F1 есть НАП F2 ).
Если же f1 6= f2 на U1 ∩ U2 (но U1 ∩ U2 попрежнему непусто), то мы будем считать, что элементы F1 , F2 представляют дваразличных листа√ поверхности над множеством U1 ∩ U2 . Поясним это на примере функции z, рассмотренной в п. 9.7. Ее четыре канонических элементаFj = (Uj , fj ), j = 0, 1, 2, 3, должны склеиваться следующим образом: окрестность U0 склеивается с окрестностью U1 , U1 склеивается с U2 , U2 — с U3 .Последняя окрестность U3 уже не склеивается с U0 , а переносится на второйлист римановой поверхности над окрестностью U0 .Построенная риманова поверхность имеет над окрестностью каждой точкиz ∈ D столько листов, сколько элементов имеет ПАФ F над этой окрестностью.По построению, ПАФ F поднимается до однозначной√функции на построеннойповерхности.
Для полных аналитических функций z, ln z и arcsin z указанная поверхность совпадает с поверхностями, построенными в пп. 12.1–12.3 спомощью конформных отображений.10212.5. Одномерные комплексные многообразия. Перейдем теперь к более формальному изложению начал теории римановых поверхностей. Для этогонам потребуется ввести несколько общих определений.Начнем с определения одномерного комплексного многообразия — понятия,которое включает в себя как области на комплексной плоскости, так и построенные выше римановы поверхности.Определение 1.
Пусть X есть хаусдорфово топологическое пространство. Предположим, что заданы покрытие X открытыми множествамиUα , α ∈ A, и гомеоморфизмыϕα : Uα → Bαна некоторые круги Bα ⊂ C, которые обладают следующим свойством. Еслипересечение Uαβ := Uα ∩ Uβ непусто, то отображенияϕβ ◦ ϕ−1α : ϕα (Uαβ ) → ϕβ (Uαβ )ϕα ◦ ϕ−1β : ϕβ (Uαβ ) → ϕα (Uαβ )иявляются голоморфными (на своей области определения). В этом случае будем говорить, что тройка (X, {Uα }, {ϕα }) задает на X структуру одномерного комплексного многообразия, покрытие {Uα } называется атласом, а гомеоморфизмы {ϕα } — (локальными) картами.Иными словами, одномерное комплексное многоообразие — это топологическое пространство, которое локально устроено как круг на комплексной плоскости.
Примерами таких многообразий могут служить:Примеры.(1) Любая область D ⊂ C есть одномерное комплексное многообразие: атласом может служить любое семейство открытых кругов Uα ⊂ D, образующих покрытие D, а картами — функции ϕα (z) ≡ z.(2) Расширенная комплексная плоскость C = C ∪ {∞} есть также одномерное комплексное многообразие. В качестве атласа можно взять в этомслучае набор из двух открытых множествU1 = {|z| < 2} ,U2 = {|z| > 1/2} ∪ {∞} ,а в качестве соответствующих карт — отображенияϕ1 (z) = z,ϕ2 (z) = 1/z .Определения голоморфных функций и голоморфных отображений на одномерных комплексных многообразиях получаются локализацией соответствующих определений для комплексной плоскости.Определение 2.
Пусть (X, {Uα }, {ϕα }) и (Y, {Vβ }, {ψβ }) — два одномерных комплексных многообразия. Отображение f : X → Y называется голоморфным, если все отображенияψβ ◦ f ◦ ϕ−1α103голоморфны (на своей области определения). В частности, функция f : X →C называется голоморфной, если все ее композиции f ◦ϕα , α ∈ A, голоморфны.Если отображение f : X → Y голоморфно и биективно, а обратное к немуотображение f −1 : Y → X голоморфно, то f называется биголоморфнымотображением из X на Y .Для областей на комплексной плоскости понятия голоморфной функции иголоморфного отображения совпадают с введенными выше; при этом биголоморфизм области D1 ⊂ C на область D2 ⊂ C есть не что иное, как взаимнооднозначное конформное отображение D1 на D2 . В случае расширеннойкомплексной плоскости C интерес представляет прежде всего интерпретацияголоморфности функций и отображений в окрестности ∞.
Приведенное вышеобщее определение голоморфности функций на комплексных многообразиях редуцируется в этом случае к определению, данному в п. 2.5, а именно, функцияf : C → C голоморфна в окрестности ∞ в смысле определения 2 тогда и толькотогда, когда она голоморфна в ∞ в смысле определения из п. 2.5 (оставляемпроверку этого читателю). Отметим также, что голоморфное отображениепроизвольной области D ⊂ C в C есть не что иное как мероморфная функцияна D (см. определение в п.
7.11).12.6. Неразветвленные голоморфные накрытия. Важным частнымслучаем голоморфных отображений являются голоморфные накрытия.Определение 3. Отображение π : X → Y одномерных комплексных многообразий называется голоморфным неразветвленным накрытием, если пространство X линейно связно, отображение π голоморфно и сюръективнои для любого y ∈ Y выполняется следующее условие: существуют окрестность V точки y в Y и семейство Uj , j ∈ J, непересекающихся открытыхподмножеств X таких, чтоπ −1 (V ) =[Ujj∈Jи ограничение отображения π на любое из подмножеств Uj есть биголоморфизм Uj на V , j ∈ J. В п.
13.6 будет показано, что мощность множестваπ −1 (y) одна и та же для всех y ∈ Y (и равна мощности множества J). Онаназывается числом листов накрытия π.Пусть π : X → Y и σ : Z → Y — два неразветвленных голоморфныхнакрытия. Отображение f : X → Z называется послойным изоморфизмом,если оно биголоморфно и f ◦ σ = π (т.е. f переводит слои отображения π вслои отображения σ).Приведем примеры неразветвленных голоморфных накрытий и послойныхизоморфизмов. Экспонента z 7→ ez задает неразветвленное голоморфное накрытие C → C\{0}, а степенные функции z 7→ z n , n = 1, 2, .
. . , — неразветвленныеголоморфные накрытия C \ {0} → C \ {0}. Отображенияfk : z 7−→ fk (z) = z + 2πik ,104k∈Z,задают послойные изоморфизмы первого накрытия на себя, а отображенияgk : z 7−→ gk (z) = αk z ,гдеα = e2πi/nиk = 0, 1, . . . , n − 1 ,— послойные изоморфизмы второго накрытия на себя.Основным свойством голоморфных неразветвленных накрытий π : X → Y ,которое многократно используется ниже, является возможность (однозначноопределенного) поднятия путей с базы накрытия Y на пространство X, точнее,имеет место следующееПредложение. Пусть π : X → Y – голоморфное неразветвленное накрытие.
Тогда для любой точки z0 ∈ Y , любого непрерывного пути γ : I → Yи любой точки ζ0 ∈ π −1 (z0 ) существует единственный непрерывный путьγe : I → X такой, что γe(0) = ζ0 иπ(eγ (t)) = γ(t)для всехt∈I .Доказательство. Фактически повторяет рассуждение из п. 4.5.1. Существование. Из покрытия γ(I) окрестностями V (z), z ∈ γ(I), (см.определение 3) можно выбрать конечное подпокрытие V0 , V1 , . . .
, Vn и, тем самым, найти разбиение 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 отрезка I такое, чтоγ([tj−1 , tj ]) ⊂ Vj := V (γ(tj )) приj = 1, . . . , n .На первом отрезке [t0 , t1 ] определим отображение γe как π −1 ◦ γ, где π −1 : V1 →U10 есть гомеоморфизм V1 на то из непересекающихся открытых множеств U1j ,j ∈ J1 , которое содержит ζ0 . На следующем отрезке [t1 , t2 ] определим γe как−1−10π ◦ γ, где π : V2 → U2 есть гомеоморфизм V2 на то из непересекающихсяоткрытых множеств U2j , j ∈ J2 , которое содержит γe(t1 ).
Далее продолжимпостроение по индукции.e2 – два поднятия пути γ с γe1 (0) = γe2 (0) = ζ0 .2. Единственность. Пусть γe1 , γТогда множествоG := {t ∈ I | γe1 (t) = γe2 (t)}непусто (содержит 0), замкнуто (из непрерывности γe1 , γe2 ) и открыто (ибо в−1окрестности любой точки t0 ∈ G имеем: γe1 = π ◦ γ и eγ2 = π −1 ◦ γ, где−1π : V → Uj – биекция для надлежащего j).Следствие 1. Мощность множества π −1 (z) одна и та же для всех z ∈ Y .Доказательство. Обозначим через z0 , z1 две произвольные точки из Y . Всилу линейной связности Y существует путь γ : I → Y с γ(0) = z0 , γ(1) = z1 .Сопоставим каждой точке ζ ∈ π −1 (z0 ) точку η = eγ (1) ∈ π −1 (z1 ), где γe естьподнятие пути γ с γe(0) = ζ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
