П.В. Парамонов - Избранные главы комплексного анализа (1124318), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

‘¢®©±²¢®f(1) = 0 p®·¥¢¨¤­®. Ž¶¥­¨¬ jf(z)j ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® z 2 C .³±²¼ r = m(K)=. ®±ª®«¼ª³ m(B(z; r)) = m(K) ¨ ´³­ª¶¨¿1=j z j ³¡»¢ ¥² ¯°¨ ³¤ «¥­¨¨ ®² (´¨ª±¨°®¢ ­­®£®) z, ¬»¯®«³· ¥¬:ZZ1 dm() =jf(z)j M jz 1 j dm() MjzjB(z;r)KMZ 2 Z r ddp= 2Mr = 2M m(K);¯°¨·¥¬ ¢¬¥±²¥ ± ­³¦­®© ° ¢­®¬¥°­®© ®¶¥­ª®© ¬» ¢²®¬ ²¨·¥±ª¨ ¤®ª § «¨ ¡±®«¾²­³¾ ±µ®¤¨¬®±²¼ (¯°¨ ¢±¥µ z) ¨­²¥£° « ,®¯°¥¤¥«¿¾¹¥£® f. ¥¯°¥°»¢­®±²¼ f ¢»²¥ª ¥² ¨§ ‹¥¬¬» 8.4 ­¨¦¥. 28.3. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ E C , 2 (0; 1]. °®±²° ­±²¢®Lip (E) ¥±²¼ ±®¢®ª³¯­®±²¼ ´³­ª¶¨© g 2 C(E), ¤«¿ ª ¦¤®© ¨§ª®²®°»µ ­ ©¤¥²±¿ c = c(g) 2 [0; 1) ± ³±«®¢¨¿¬¨jg(z1 ) g(z2 )j cjz1 z2 j ; jg(z1 )j c¤«¿ ¢±¥µ z1 ; z2 2 E.

 ­ µ®¢ ­®°¬ ¢ Lip (E) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ² ª:kgk;E = minfc(g)g, £¤¥ (¤®±²¨£ ¾¹¨©±¿) min ¡¥°¥²±¿ ¯® ¢±¥¬c(g), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ¯®±«¥¤­¨¬ ¤¢³¬ ­¥° ¢¥­±²¢ ¬ (¯°®¢¥°¨²¼!).0055Ž·¥¢¨¤­®, ·²® Lip (E) C(E) ¯°¨ ¢±¥µ 2 (0; 1].8.4. ‹¥¬¬ . ‚ ³±«®¢¨¿µ ‹¥¬¬» 8.1, ¤«¿ «¾¡®£® 2 (0; 1)¨¬¥¥¬ f 2 Lip C , ¯°¨·¥¬ kf k;C Mc(; K). Ž¤­ ª® ­ ©¤¥²±¿K, ² ª®©, ·²® ¤ ¦¥ ¯°¨ h 1jK ¨¬¥¥¬ f 2= Lip1 (C ).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ”¨ª±¨°³¥¬ z1 6= z2 ¨ ¯³±²¼ = jz1z2 j=2,a = (z1 +z2 )=2, D1 = B(z1 ; ), D2 = B(z2 ; ), D3 = B(a; 2) n (D1 [D2 ), D4 = C n B(a; 2).  ¬ ­³¦­® ®¶¥­¨²¼ ±« £ ¥¬»¥ ¢ ¯° ¢®©· ±²¨ ­¥° ¢¥­±²¢:jf(z1 ) f(z2 )j 4X4 ZXs=1Z1 jjz2 j dm():‘« £ ¥¬®¥, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ s = 1 (s = 2 ­ «®£¨·­®), ®¶¥­¨¢ ¥²±¿ ±¢¥°µ³ ¢¥«¨·¨­®© 4M ª ª ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥ ¯¥°¥µ®¤®¬ª ¯®«¿°­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ ± ¶¥­²°®¬ z1 ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥¬ ¯®¢±¥¬³ D1 .

‘« £ ¥¬®¥ ¯°¨ s = 3 ®¶¥­¨¢ ¥²±¿ ±¢¥°µ³ ²°¨¢¨ «¼­®(²¥¬ ¦¥ 4M). ‚»¡¥°¥¬ r > 0 ² ª, ·²® m(B(a; r) \ D4 ) = m(K).°¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¨ ¯® D4 ¬» ¯®«¼§³¥¬±¿ ®¶¥­ª®© jz1 jjz2 j j aj2 =4, ¬®­®²®­­»¬ ³¡»¢ ­¨¥¬ ¯®¤¨­²¥£° «¼­®© ´³­ª¶¨¨ (®² j aj) ¨ ¯®«¿°­»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ ± ¶¥­²°®¬ a:ZZ4 dm() 1dm()D4 \K j aj2D4 \K jz1 jjz2 js=12Mjh()j jz jz1 jjzz2 j j dm() 12Ds \K8Zr2Ds \K jz1 1 d = 8 ln(r=(2)) :’¥¯¥°¼ «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ 2 (0; 1) ¢¥«¨·¨­ jf(z1 ) f(z2 )j=(jz1 z2 j ) ¨¬¥¥² ®¶¥­ª³ ±¢¥°µ³, ­¥ § ¢¨±¿¹³¾ ®²z1 ¨ z2 , ¥±«¨ < 1. ‘«³· © 1 ®±² ¢«¿¥¬ ·¨² ²¥«¾.Š®­²°¯°¨¬¥° ¤«¿ = 1 ±²°®¨²±¿ ² ª. ®« £ ¥¬ K = fz :jz j 1; Re(z) j Im(z)jg ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ z1 = 0, z2 = 2, £¤¥ > 0 ¤®±² ²®·­® ¬ «®. 2„®ª § ²¥«¼±²¢® ’¥®°¥¬» 7.7 (³­£¥). (1).

„®ª ¦¥¬, ·²®A(X) R(X) ¤«¿ «¾¡®£® ª®¬¯ ª² X.56³±²¼ f £®«®¬®°´­ ¢ d-®ª°¥±²­®±²¨ Ud ª®¬¯ ª² •, ­ ¤®¯°¨¡«¨§¨²¼ f ° ¶¨®­ «¼­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨. ³±²¼ = d=7. ®±²°®¨¬ ±² ­¤ °²­®¥ 3-° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶» fBPj ; 'j g (±¬. ‹¥¬¬³7.3) : Bj = B(aj ; 3) (aj 2 Z2), 'j 2 C01(Bj ), 2 'j 1. ³±²¼J = fj 2 Z2 : Bj Ud g; ' =Xj 2Jj 2Z'j 2 C01 (Ud ):Ÿ±­®, ·²® ' = 1 ¢ -®ª°¥±²­®±²¨ U ª®¬¯ ª² •, ' = 0 ¢­¥ Ud .®«®¦¨¬ g = f', g 2 C01(C ). ® ’¥®°¥¬¥ 7.1 (®¬¯¥©¾), ¯°¨z 2 X ¨¬¥¥¬:Z1@g()dm() ;f(z) = g(z) = z Ud nU¯®±ª®«¼ª³ @g() = @f() = 0 ¢ U .

Ž±² ¥²±¿ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿‹¥¬¬®© 8.1 ¯°¨ h() = @g(), K = Ud n U .‘«¥¤³¥² ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ½²®© · ±²¨ ²¥®°¥¬» ³­£¥ ª ª ¯° ¢¨«® ¯®«¼§³¾²±¿ ¨­²¥£° «¼­®© ´®°¬³«®©Š®¸¨. Ž¤­ ª® ¤«¿ ªª³° ²­®£® ¥¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ (¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨±¯¥¶¨ «¼­®£® ª®­²³° ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿) ²°¥¡³¾²±¿ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ²®¯®«®£¨·¥±ª¨¥ ¯®±²°®¥­¨¿, ª®²®°»¥ ¢ ª®­²¥ª±²¥ ­ ¸¥£®¨§«®¦¥­¨¿ ¯°®¹¥ ®¡®©²¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥¬ ¯® ¯«®¹ ¤¨, ².¥. ±¯®¬®¹¼¾ ´®°¬³«» ®¬¯¥©¾.(2).  ¤® ¯®ª § ²¼, ·²® fA(X) P (X)g , fX = Xb g.()). ³±²¼, ®² ¯°®²¨¢­®£®, A(X) P (X), ­® C n X ­¥ ±¢¿§­®,².¥. ±³¹¥±²¢³¥² ®£° ­¨·¥­­ ¿ ±¢¿§­ ¿ ª®¬¯®­¥­² 1 ¢ C n X, ¢· ±²­®±²¨ @1 X. ”¨ª±¨°³¥¬ a1 2 1. ’ ª ª ª f(z) = 1=(za1 ) 2 A(X) P(X), ²® ¤«¿ ¢±¿ª®£® " > 0 ­ ©¤¥²±¿ ¯®«¨­®¬ p" (z)± ³±«®¢¨¥¬ j1=(z a1) p" (z)j < " ¯°¨ ¢±¥µ z 2 X ¨, ¢ · ±²­®±²¨,¯°¨ z 2 @1 .

³±²¼ d = diam(1), ²®£¤ j1 p"(z)(z a1)j "d; 8z 2 @1 :°¨ " < 1=d ¬» ¯®«³· ¥¬ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ± ¯°¨­¶¨¯®¬ ¬ ª±¨¬³¬ ¬®¤³«¿ ¢ 1, ² ª ª ª ´³­ª¶¨¿ 1 p"(z)(z a1 ) ° ¢­ 1 ¯°¨ z = a1 .((). ³±²¼ = C n X { ±¢¿§­®, f 2 A(X). ‘®£« ±­® (1), ¤«¿ª ¦¤®£® " > 0 ­ ©¤³²±¿ fa1 ; ; aN g ¨ f1; ; N g C nf0g² ª¨¥, ·²®N X"njf(z)z a j < 2 ; z 2 X:n=1n57Ž±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® 1=(z a)jX 2 P(X) ¯°¨ ¢±¥µ a 2 (¯®²®¬ ª ¦¤³¾ ´³­ª¶¨¾ n =(z an ) ¯°¨¡«¨§¨¬ ¬­®£®·«¥­®¬ p"n (z)± ²®·­®±²¼¾ "n = "=(2N), ² ª ·²® f ¡³¤¥² ¯°¨¡«¨¦¥­ ± ²®·­®±²¼¾ ").³±²¼ G = fa 2 : 1=(z a)jX 2 P(X)g. “±² ­®¢¨¬, ·²®G = .

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢®-¯¥°¢»µ G 6= ;, ² ª ª ª ¯® ’¥®°¥¬¥ 6.13 (Š®¸¨-’¥©«®° ) G ±®¤¥°¦¨² ¢±¥ ²®·ª¨ ¨§ ¢­¥¸­®±²¨ª ª®£®-«¨¡® ª°³£ , ±®¤¥°¦ ¹¥£® X. ‚®-¢²®°»µ, G { § ¬ª­³²®¢ , ¨¡® ¥±«¨ fak g1a 2 , ²® a 2 G, ·²® ­¥k=1 G ¨ a = klim!1 k¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ 1=(z ak )ª 1=(z a) ­ X ¯°¨ k ! 1. “±² ­®¢¨¬, ¢-²°¥²¼¨µ, ·²® G {®²ª°»²® ¢ . ³±²¼ a 2 G, d = dist(a; X), a1 2 B(a; d). „®ª ¦¥¬,·²® a1 2 G. ˆ§ ½«¥¬¥­² °­»µ ±¢®©±²¢ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®£°¥±±¨© ¢»²¥ª ¥², ·²® ¤«¿ «¾¡®£® " > 0 ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥L, ·²®L (a a)l 1 1 X1z a(z a)l < "1l=1¤«¿ ¢±¥µ z 2 X.

® 1=(z a) 2 P (X), ®²ª³¤ 1=(z a)l 2 P(X)¯°¨ ¢±¥µ ­ ²³° «¼­»µ l ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 1=(z a1 ) 2 P (X).’¥¯¥°¼ ° ¢¥­±²¢® G = ±«¥¤³¥² ¨§ ±¢¿§­®±²¨ . 28.5. ‡ ¬¥· ­¨¥. Ž¯°¥¤¥«¨¬ A(X) ª ª § ¬»ª ­¨¥ ¢ ‘(•)¯°®±²° ­±²¢ A(X)jX . ’®£¤ ²¥®°¥¬ ³­£¥ ¢ ²®·­®±²¨ ®§­ · ¥², ·²® A(X) = R(X) ¤«¿ ¢±¿ª®£® ª®¬¯ ª² X, ¯°¨·¥¬ fR(X) =P(X)g , fX = Xb g.8.6. ³±²¼ f 2 C 1 (C ), ¯°¨·¥¬ supp(@f) { ª®¬¯ ª². ®«®¦¨¬ZF (z) = 1 @f()dm()z :„®ª § ²¼, ·²® f F { ¶¥« ¿ ´³­ª¶¨¿, ¯°¨·¥¬ f F ,lim f(z) = 0.z!18.7.

³±²¼ X { ¯°®¨§¢®«¼­»© ª®¬¯ ª² ¢ C , 0; { ¥£®ª®¬¯®­¥­²» ¤®¯®«­¥­¨¿. ”¨ª±¨°³¥¬ aj ¢ ª ¦¤®© ¨§ j . „®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ «¾¡®© f 2 A(X) ¨ ¯°®¨§¢®«¼­®£® " > 0, ­ ©¤¥²±¿R() { ° ¶¨®­ «¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ± ¯®«¾± ¬¨, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¬¨ ¬­®¦¥±²¢³ faj gj 0 ² ª ¿, ·²® kf RkX < ".58‹¥ª¶¨¿ Â9”®°¬³«¨°®¢ª ²¥®°¥¬ Œ¥°£¥«¿­ .‘¢®©±²¢ «®ª «¨§ ¶¨®­­®£® ®¯¥° ²®° ‚¨²³¸ª¨­ . ’¥®°¥¬ ° ³½° .”®°¬³«¨°®¢ª ²¥®°¥¬ Œ¥°£¥«¿­ ¨¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» Š®¸¨9.1. ’¥®°¥¬ (Œ¥°£¥«¿­ ).

³±²¼ X { ª®¬¯ ª² ¢ C . „«¿¢»¯®«­¥­¨¿ ° ¢¥­±²¢ CA (X) = P(X) ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­®,·²®¡» C n X ¡»«® ±¢¿§­»¬.9.2. ‘«¥¤±²¢¨¥ (²¥®°¥¬ ‹ ¢°¥­²¼¥¢ ). ‘(•) = (•)¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ X = Xb ¨ X o = ;.„®ª § ²¥«¼±²¢® ’¥®°¥¬» 9.1. ()) ³±²¼ CA(X) = P (X),b²®£¤ ¢²®¬ ²¨·¥±ª¨ A(X) P (X) ¨ ¯® ²¥®°¥¬¥ ³­£¥ X = X.b ® ²¥®°¥¬¥ ³­£¥ ¤®±² ²®·­® ³±² ­®¢¨²¼,(() ³±²¼ X = X.·²® CA (X) = A(X).

Œ» ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¡®«¥¥ ±¨«¼­»© °¥§³«¼² ².9.3. ’¥®°¥¬ (Œ¥°£¥«¿­ ). ³±²¼ • { ª®¬¯ ª², 0 =b 1; { ª®¬¯®­¥­²» ¤®¯®«­¥­¨¿ ª®¬¯ ª² •, ².¥. C n X =C n X,tss . …±«¨ d = infs fdiam(s )g > 0, ²® CA (X) = A(X).9.4. ‡ ¬¥· ­¨¥. …±«¨ 0 = C n X, ².¥. C n X ±¢¿§­®, ²® ¨­¤¥ª±» s = 1; ®²±³²±²¢³¾² ¨ ¬» ¯®« £ ¥¬ d = 1. „®ª § ²¥«¼±²¢®’¥®°¥¬» 9.3 ¢¥±¼¬ ±«®¦­®. Œ» ¯°¨¢¥¤¥¬ ¥£® ¢ ±«¥¤³¾¹¥© «¥ª¶¨¨ ¯®±«¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¯®¤£®²®¢ª¨.9.5. ‘«¥¤±²¢¨¥ (³²®·­¥­­ ¿ ¨­²¥£° «¼­ ¿ ²¥®°¥¬ Š®¸¨).

³±²¼ D { ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ¢ C ±® ±¯°¿¬«¿¥¬®©£° ­¨¶¥©. ’®£¤ ¤«¿ «¾¡®© ´³­ª¶¨¨ f 2 C(D) \ A(D) ¢»¯®«­¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®:Z@Df(z)dz = 0:°¨ ½²¨µ ¦¥ ³±«®¢¨¿µ ±¯° ¢¥¤«¨¢ ¨­²¥£° «¼­ ¿ ´®°¬³« Š®¸¨, ² ª¦¥ ´®°¬³« Š®¸¨ ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­»µ.59„®ª § ²¥«¼±²¢®. ”¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ " > 0 ¨ ¯³±²¼ `{ ¤«¨­ @D. ® ’¥®°¥¬¥ 9.3 (¤«¿ X = D) ­ ©¤¥²±¿ g 2 A(D) ±³±«®¢¨¥¬ kf gkD < "=`, ®²ª³¤ Z (f(z) g(z))dz < ":@D® ’¥®°¥¬¥ 5.10 (³¯°®¹¥­­»© ¢ °¨ ­² ¨­²¥£° «¼­®© ²¥®°¥¬»Š®¸¨),Zg(z)dz = 0;@D®²ª³¤ ¢±¥ ­³¦­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ±«¥¤³¾² ±² ­¤ °²­»¬ ®¡° §®¬.2‘¢®©±²¢ «®ª «¨§ ¶¨®­­®£® ®¯¥° ²®° ‚¨²³¸ª¨­  ¯®¬­¨¬, ·²® ¥±«¨ f 2 C 1(C ), ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ Š®¸¨-¨¬ ­ ¬­®¦¥±²¢® supp(@f) ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ®±®¡»µ ²®·¥ª ´³­ª¶¨¨ f(¢­¥ ­¥£® f £®«®¬®°´­ ).

³±²¼ ' 2 C01(C ).  ±±¬®²°¨¬ ´³­ª¶¨¾Z @f()'()1f(') (z) = z dm():‚ ¯®±«¥¤­¥© ´®°¬³«¥ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ (°¥ «¼­®) ¢¥¤¥²±¿ ¯® ¬­®¦¥±²¢³ K = supp(@f) \ supp('). ® ‹¥¬¬¥ 8.1 f(') £®«®¬®°´­ ¢­¥ K, ².¥. ¥¥ ®±®¡»¥ ²®·ª¨ «¥¦ ² ±°¥¤¨ ®±®¡»µ ²®·¥ª ´³­ª¶¨¨f ¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­ supp '.

ƒ®¢®°¿², ·²® ®¯¥° ²®° f ! f(')(¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ ') «®ª «¨§³¥² ®±®¡¥­­®±²¨ f ­ supp(').³±²¼ f 2 C01(C ). ‘¤¥« ¥¬ ±² ­¤ °²­®¥ 3-° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶» fBj ; 'j g (±¬. ‹¥¬¬³ 7.3). ®«®¦¨¬ J = fj : Bj \ supp(@f) 6=;g: Ÿ±­®, P·²® J { ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨­¤¥ª±®¢, ¯°¨·¥¬ ´³­ª¶¨¿ ' = 'j ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¿¬ ' 2 C01(C ) ¨ '(z) = 1 ¢j 2J­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ supp(@f).³±²¼ fj = f('j ) . ’®£¤ ¯® ’¥®°¥¬¥ 7.1 (®¬¯¥©¾)P ' ()dm()@f()jZX1 Z @f()dm() = f(z)j 2Jfj (z) = 1=z z j 2J60¤«¿ ¢±¥µ z. ’¥¬ ± ¬»¬ f ° §« £ ¥²±¿ ¢ ª®­¥·­³¾ ±³¬¬³ ´³­ª¶¨© ± "«®ª «¨§®¢ ­­»¬¨" ®±®¡¥­­®±²¿¬¨. („«¿ ³ª § ­­®© ¶¥«¨­¥«¼§¿ ¯®« £ ²¼ fj = f'j , ² ª ª ª 'j ­¥ £®«®¬®°´­ ¢ C ¨ ³² ª¨µ fj ¬®£³² ¯®¿¢¨²¼±¿ ­®¢»¥ ®±®¡¥­­®±²¨.) ¸¥© ¡«¨¦ ©¸¥© ¶¥«¼¾ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«³·¥­¨¥ ­ «®£¨·­®£®° §«®¦¥­¨¿ ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®©´³­ª¶¨¨ f ª« ±± C0(C ).³±²¼ ¯®ª f 2 C 1 (C ). ®«¼§³¿±¼ ´®°¬³«®© ®¬¯¥©¾, ¯®«³·¨¬:Zf()@'() dm() =f(') (z) = 1 @(f()'())z ZZ f(z) f()1f()@'()1= f(z)'(z) z dm() = z @'()dm():²® ³¦¥ ­³¦­ ¿ ´®°¬³« «®ª «¨§ ¶¨¨.9.6.

Характеристики

Список файлов лекций