П.В. Парамонов - Избранные главы комплексного анализа (1124318), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

®«¥¥ ²®£®, ­¥²°³¤­®¢¨¤¥²¼, ·²® indw () = 1 ¢ D(), ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ¯°¨ ¤¢¨¦¥­¨¨¯® (¢¤®«¼ ) ®¡« ±²¼ D() ®±² ¥²±¿ \±«¥¢ ".„«¿ ®ª®­· ­¨¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» ­ ¬ ¯®²°¥¡³¥²±¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ª®­±²°³ª¶¨¿, ª®²®°³¾ ¬» ¡³¤¥¬ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬.4.5. ‹®ª «¼­®¥ \§ ª°³£«¥­¨¥" ¦®°¤ ­®¢ ¯³²¨. ³±²¼ { § ¬ª­³²»© ¦®°¤ ­®¢ ¯³²¼, ®¯°¥¤¥«¥­­»© ­ [; ], a 2 C n []¨ t0 2 (; ) ² ª®¢», ·²® d = dist(a; []) = ja (t0 )j < j()(t0 )j, ¯°¨·¥¬ ja (t0 )j < ja (t)j ¯°¨ ¢±¥µ t 6= t0.

„«¿ ¢±¿ª®£® 2 (0; d) ¯³±²¼ t 2 [; t0] { ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ¨ t+ 2 [t0 ; ] { ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ §­ ·¥­¨¿ t 2 [; ], ¯°¨ ª®²®°»µ j(t) (t0 )j = ¨¯³±²¼ b 2 [(t0 ); a] ² ª®¢ , ·²® jb (t0 )j = .³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ (a; ) { ¯³²¼, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨© ± ­ [; t ] [ [t+ ; ], ° ¢­®¬¥°­® ­ [t ; t0] ¯°®µ®¤¿¹¨© ¤³£³ ®ª°³¦­®±²¨ fz j jz (t0 )j = g, ±®¥¤¨­¿¾¹³¾ (t ) ¨ b (­¥ ±®¤¥°¦ ¹³¾(t+ )), ¨ ° ¢­®¬¥°­® ­ [t0; t+ ] ¯°®µ®¤¿¹¨© ¤³£³ ²®© ¦¥ ®ª°³¦­®±²¨ , ±®¥¤¨­¿¾¹³¾ b ¨ (t+ ) (­¥ ±®¤¥°¦ ¹³¾ (t )).‡ ¬¥²¨¬, ·²® ª°¨¢ ¿ f(a; )g ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª°¨¢®© f g, ­¥ª ª®©-«¨¡® ª®­ª°¥²­®© ¥¥ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¥©. ª®­¥¶ ®²¬¥²¨¬, ·²® t ¨ t+ ±²°¥¬¿²±¿ ª t0 ¯°¨ ! 0,² ª ·²® d(; (a; )) ! 0 ¯°¨ ! 0 ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, indw () =indw ((a; )) ¯°¨ «¾¡®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ w ¢­¥ [] ¨ ¢±¥µ ¤®±² ²®·­® ¬ «»µ .4.6. Žª®­· ­¨¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ’¥®°¥¬» 4.3.

³±²¼ ²¥¯¥°¼ { ¯°®¨§¢®«¼­»© ¦®°¤ ­®¢ ¯³²¼ ­ [; ], ®£° ­¨·¨¢ ¾¹¨© ¦®°¤ ­®¢³ ®¡« ±²¼ D = D(f g). ”¨ª±¨°³¥¬ a1 2 D ¨ t0 2(; ) ² ª¨¥, ·²® d1 = dist(a1 ; []) = ja1 (t0 )j < j() (t0 )j.³±²¼ a { ±¥°¥¤¨­ ®²°¥§ª [(t0 ); a1] ¨ d = d1=2. ®«¼§³¿±¼° ¢­®¬¥°­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ , ¢»¡¥°¥¬ 2 (0; d) ² ª, ·²® (¢®¡®§­ ·¥­¨¿µ ¯³­ª² 4.5) ¢»¯®«­¿¥²±¿ j(t) (t0 )j < d=2 ¯°¨30¢±¥µ t 2 [t ; t+ ], ² ª ·²® d(; (a; )) < d=2. ® ‹¥¬¬¥ 1.22 ,inda () = inda ((a; )), ² ª ·²® «¨¡® j inda ()j = 1 ¨ ¢±¥ ¤®ª § ­®(±¬. ¯³­ª²» 4.4, 4.5 ¨ ‘«¥¤±²¢¨¥ 1.23), «¨¡® inda () = 0.

„®ª ¦¥¬ ®² ¯°®²¨¢­®£®, ·²® ¯®±«¥¤­¨© ±«³· © ¨±ª«¾·¥­. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¨­ ·¥ ¨¬¥¥¬ indw () = 0 ¤«¿ ¢±¥µ w 2 C n []. ®±ª®«¼ª³ ¨ (a; ) ®²«¨· ¾²±¿ ²®«¼ª® ­ [t ; t+ ], ¯°¨·¥¬ ²° ¥ª²®°¨¨ ½²¨µ¯³²¥© ­ ³ª § ­­®¬ ®²°¥§ª¥ «¥¦ ² ¢ B((t0 ); d=2), «¥£ª® ¯®ª § ²¼, ·²® indw () = indw ((a; )) = 0 ¯°¨ w 2 C n (B((t0 ); d) [[]). ®±«¥¤­¥¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¤®ª § ­­®¬³ ¢ ¯³­ª²¥ 4.4 ±¢®©±²¢³ j indw ((a; ))j = 1 ¢ D((a; )), ¯®±ª®«¼ª³ ¨§ ’¥®°¥¬» 1.16±«¥¤³¥², ·²® () 2 @D((a; )), §­ ·¨² ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨²®·ª¨ () ¥±²¼ ²®·ª¨ ¨§ D((a; )).

2‘¢®©±²¢ ¨­¤¥ª± ª°¨¢®©, ¯®«³·¥­­»¥ ¢ ’¥®°¥¬¥ 4.3, ¯®§¢®«¿¾² ¢¢¥±²¨ ±²°®£®¥ ¯®­¿²¨¥ ®°¨¥­² ¶¨¨ £° ­¨¶» ¤«¿ ¸¨°®ª®£® ª« ±± ®¡« ±²¥© ¨ ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¤®ª § ²¼ ®±­®¢­»¥ ²¥®°¥¬»±² ­¤ °²­»µ ª³°±®¢ ª®¬¯«¥ª±­®£® ­ «¨§ ¢ ¬ ª±¨¬ «¼­®© ®¡¹­®±²¨.†®°¤ ­®¢» ®¡« ±²¨ ¨ ¨µ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­»¥£° ­¨¶».³±²¼ E C { £®¬¥®¬®°´­»© ®¡° § ®²°¥§ª . ‘³¹¥±²¢³¾²°®¢­® ¤¢¥ ¦®°¤ ­®¢» ª°¨¢»¥ 1 ¨ 2 ± ³±«®¢¨¿¬¨ [ 1] = [ 2] = E,¯°¨·¥¬ 1 = 2 .²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª § ²¼ ­¥ ±«®¦­®. ‘«¥¤³¾¹¥¥, ¡®«¥¥ ±®¤¥°¦ ²¥«¼­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ’¥®°¥¬» 4.3.4.7.

‘«¥¤±²¢¨¥. ³±²¼ E C { £®¬¥®¬®°´­»© ®¡° § ®ª°³¦­®±²¨, a { ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª ¨§ E. ‘³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿§ ¬ª­³² ¿ ¦®°¤ ­®¢ ª°¨¢ ¿ (a) ± ª®­¶ ¬¨ ¢ ²®·ª¥ a ¨ ³±«®¢¨¿¬¨: [ (a)] = E, ¯°¨·¥¬ 1 ; w 2 D( (a)) ;indw ( (a)) = 0 ; w 2 ( (a)) :4.8. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³¤¥¬ ¯°¨ ½²®¬ £®¢®°¨²¼, ·²® (a) ®°¨-®²­®±¨²¥«¼­® ®£° ­¨·¥­­®© ¥¾ ®¡« ±²¨ D (¨«¨ ·²® D ®±² ¥²±¿ ±«¥¢ ¯°¨ \¤¢¨¦¥­¨¨" ¢¤®«¼ (a)).Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­®© £° ­¨¶¥© ³ª § ­­®© ®¡« ±²¨ D ­ §»¢ ¥²±¿ª« ±± ª°¨¢»µ@ + D = f (a) j a 2 @Dg:¥­²¨°®¢ ­ ¯®«®¦¨²¥«¼­®314.9. ‡ ¬¥· ­¨¥.

Ž²¬¥²¨¬, ·²®, ¢ ®²«¨·¨¥ ®²²®¯®«®£¨·¥-£° ­¨¶» @D, ®°¨¥­²¨°®¢ ­­ ¿ (²®·­¥¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨) £° ­¨¶ @ + D ¡³¤¥² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¢ ®±­®¢­®¬¯°¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¨.Ÿ±­®, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ´³­ª¶¨¨ f : @D ! CR¨­²¥£° «» (a) f(z)dz ±³¹¥±²¢³¾² (¨«¨ ­¥²) ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¤«¿¢±¥µ a 2 @D. ‚ ±«³· ¥ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿,§­ ·¥­¨¿ ½²¨µ ¨­²¥£° «®¢R±®¢¯ ¤ ¾² ¨ ®¯°¥¤¥«¿¾² @ + D f(z)dz. ¬ ¯®²°¥¡³¥²±¿ ² ª¦¥ ®²°¨¶ ²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­­ ¿ £° ­¨¶ ¦®°¤ ­®¢®©®¡« ±²¨, @R D = f (a) j a 2 @Dg, ¨ ¨­²¥£° «R¢¤®«¼ ­¥¥: @ D f(z)dz = @ + D f(z)dz.±ª®©¥­²¨°®¢ ­­ ¿‹¥¬¬ ƒ³°±». “±«®¢¨¥ ²°¥³£®«¼­¨ª .®«®¦¨¬ Z+ := f0; 1; 2; : : : g.4.10. “¯° ¦­¥­¨¥. °¨ n 2 Z+ ¨ a; b 2 C ¨¬¥¥¬:Zn+1n+1z n dz = b n + a1 :[a;b]“ª § ­¨¥: ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ±² ­¤ °²­³¾ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¾: (t) =a + t(b a), t 2 [0; 1].—¥°¥§ ¢ ¯°¥¤¥« µ ½²®© «¥ª¶¨¨ ¬» ®¡®§­ · ¥¬ ¢­³²°¥­­®±²¼ ª ª®£®-«¨¡® ²°¥³£®«¼­¨ª , ¯°¥¤±² ¢«¿¾¹³¾ ±®¡®© ¦®°¤ ­®¢³ ®¡« ±²¼.4.11.

‘«¥¤±²¢¨¥. „«¿ ¢±¿ª®£® ²°¥³£®«¼­¨ª R ¨ ¬­®£®·«¥­ P(z) (¯¥°¥¬¥­­®£® z) ±¯° ¢¥¤«¨¢® ° ¢¥­±²¢® @ + P (z)dz = 0.4.12. ‹¥¬¬ (ƒ³°±»). ³±²¼ G { ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¡« ±²¼ ¨f 2 A(G). ’®£¤ ¤«¿ ¢±¿ª®£® ± ³±«®¢¨¥¬ G ¨¬¥¥² ¬¥±²®Z@+f(z)dz = 0 :„®ª § ²¥«¼±²¢®. ”¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ²°¥³£®«¼­¨ª , G. ³±²¼ 0 = R.®«®¦¨¬ I0 = j @ + 0 f(z)dz j. \ §¤¥«¨¬" 0 ±°¥¤­¨¬¨ «¨­¨¿¬¨ ­ 4 ° ¢­»µ ²°¥³£®«¼­¨ª (k); k = 1; 2; 3; 4. Š ª «¥£ª®¢¨¤¥²¼,Z4 ZXf(z)dz =f(z)dz ;@ + 032k=1@ + (k)¯®½²®¬³ ±°¥¤¨ f(k)g ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ²°¥³£®«¼­¨ª (®¡®§­ ·¨¬¥£® 1 ), ·²®Z II1 := + f(z)dz 40 :@ 1³±²¼ ²°¥³£®«¼­¨ª j c ³±«®¢¨¥¬ZIj := + f(z)dz Ij4 1@ j­ ©¤¥­.

Ž¯¿²¼ ¤¥«¨¬ ¥£® ±°¥¤­¨¬¨ «¨­¨¿¬¨ ­ 4 ° ¢­»µ ²°¥³£®«¼­¨ª ¨ ¢»¡¨° ¥¬ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ (j +1) ² ª, ·²® ¢»¯®«­¿¥²±¿¯°¥¤»¤³¹¥¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ± § ¬¥­®© j ­ j + 1. ˆ² ª,I00)`(@j ) = `(@2j ; Ij 4j :®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢«®¦¥­­»µ ª®¬¯ ª²®¢ fj gj 2Z+ ¨¬¥¥²¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ®¡¹³¾ ²®·ª³, ±ª ¦¥¬ z0 , z0 2 G.® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥z0 ¨¬¥¥¬: f(z) = p1(z) + !(z; z0 )(z z0 ), £¤¥ p1(z) = f(z0 ) +f 0 (z0 )(z z0 ) { ¯®«¨­®¬, !(z; z0 ) ! 0 ¯°¨ z ! z0 .”¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ " > 0.  ©¤¥²±¿ ®ª°¥±²­®±²¼ U ²®·ª¨ z0 (U G) ± ³±«®¢¨¥¬ fz 2 U g =) fj!(z; z0 )j < "g.  ·¨­ ¿ ±­¥ª®²®°®£® j, ¢±¥ j «¥¦ ² ¢ U, ² ª ·²® ¤«¿ ½²¨µ j, ¯®«¼§³¿±¼‘«¥¤±²¢¨¥¬ 4.11 ¨ ‘¢®©±²¢®¬ 4.1(4), ¨¬¥¥¬:I0 Zf(z)dz 4j @ + jZ Z @+ p1(z)dz + @+ !(z; z0)(z z0)dzjj20) : 0 + "`(@j )2 = " `(@j4Žª®­· ²¥«¼­® ¯®«³· ¥¬: I0 "`(@0 )2 , ² ª ·²® I0 = 0.

24.13. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ ²°¥³£®«¼­¨ª ¢ ®¡« ±²¨ G, ¥±«¨ f ­¥¯°¥°»¢­ ¢ GR ¨ ¤«¿ ¢±¿ª®£®²°¥³£®«¼­¨ª c ³±«®¢¨¥¬ G ¢»¯®«­¿¥²±¿ @ + fdz = 0.33® «¥¬¬¥ ƒ³°±», ¢±¿ª ¿ f 2 A(G) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾²°¥³£®«¼­¨ª ¢ G.’¥®°¥¬ Š®¸¨ ¤«¿ ®¤­®±¢¿§­®© ®¡« ±²¨.4.14.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž¡« ±²¼ G ¢ C ­ §»¢ ¥²±¿®¤­®±¢¿§-(¢ ±¬»±«¥ †®°¤ ­ ), ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© § ¬ª­³²®© ¦®°¤ ­®¢®©ª°¨¢®© ± ­®±¨²¥«¥¬ ¢ G ®¡« ±²¼ D( ) (®£° ­¨·¥­­ ¿ ª°¨¢®©¯® ²¥®°¥¬¥ †®°¤ ­ ) ¶¥«¨ª®¬ «¥¦¨² ¢ G.4.15. “¯° ¦­¥­¨¥. …±«¨ ®¡« ±²¼ G ¢ C ² ª®¢ , ·²® ¥¥ £° ­¨¶ @GC (¢§¿² ¿ ¢ C ) ±¢¿§­ ¢ C , ²® G { ®¤­®±¢¿§­ .4.16. ‡ ¬¥· ­¨¥. ˆ¬¥¥²±¿ ­¥±ª®«¼ª® ½ª¢¨¢ «¥­²­»µ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ®¤­®±¢¿§­®±²¨. ®ª ¬» ¡³¤¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ²®«¼ª® ¯°¨¢¥¤¥­­»¬ ¢»¸¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ¨ ±«¥¤³¾¹¨¬ § ­¨¬ ¤®±² ²®·­»¬³±«®¢¨¥¬ ®¤­®±¢¿§­®±²¨ ®¡« ±²¨ ¢ C . ®±«¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» ¨¬ ­ ® ª®­´®°¬­»µ ®²®¡° ¦¥­¨¿µ ¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ £®¬®²®¯¨¨ ª°¨¢»µ ¢ ®¡« ±²¿µ ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ¤°³£¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿®¤­®±¢¿§­®±²¨ ¨ ¤®ª ¦¥¬ ¨µ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼.4.17.

’¥®°¥¬ Š®¸¨ ¤«¿ ®¤­®±¢¿§­®© ®¡« ±²¨. …±«¨ f³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ ²°¥³£®«¼­¨ª ¢ ®¤­®±¢¿§­®© ®¡« ±²¨ G,²® ¤«¿ «¾¡®© § ¬ª­³²®©R ±¯°¿¬«¿¥¬®© ª°¨¢®© ± ­®±¨²¥«¥¬ ¢ G¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥­±²¢® f(z)dz = 0.4.18. ‘«¥¤±²¢¨¥. ‚ ³±«®¢¨¿µ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬», ¥±«¨ 1¨ 2 { ¤¢¥ ±¯°¿¬«¿¥¬»¥ ª°¨¢»¥­ · « ¬¨ ¨R ¢ G ± ®¤¨­ ª®¢»¬¨Rª®­¶ ¬¨ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ²® 1 f(z)dz = 2 f(z)dz.„®ª § ²¥«¼±²¢®. (1). “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ±¯° ¢¥¤«¨¢®, ¥±«¨ { § ¬ª­³² ¿ ¦®°¤ ­®¢ «®¬ ­ ¿. „®ª §»¢ ¥¬ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨ ±¯°¨¬¥­¥­¨¥¬ «¥¬¬» ƒ³°±» ¨ ±«¥¤³¾¹¥£® ½«¥¬¥­² °­®-£¥®¬¥²°¨·¥±ª®£® ´ ª² : ­ ©¤³²±¿ ¤¢¥ ­¥±®±¥¤­¨¥ ¢¥°¸¨­» a ¨ b «®¬ ­®©± ³±«®¢¨¥¬, ·²® \®²ª°»²»©" ¨­²¥°¢ « (a; b) (¤¨ £®­ «¼) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² D( ).(2).

“²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ±¯° ¢¥¤«¨¢®, ¥±«¨ { ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ § ¬ª­³² ¿ «®¬ ­ ¿ ¢ G. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¤®±² ²®·­® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¥¤»¤³¹¨¬ ±«³· ¥¬ ¨ ±«¥¤³¾¹¨¬ ´ ª²®¬. „«¿¯°®¨§¢®«¼­®© § ¬ª­³²®© «®¬ ­®© ­ ©¤¥²±¿ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® § ¬ª­³²»µ ¦®°¤ ­®¢»µ «®¬ ­»µ 1; : : :; N ² ª¨µ, ·²® [ n] [ ]¤«¿¢±¥µ ¢®§¬®¦­»µR f(z)dzP R n ¨ ¤«¿ «¾¡®© f 2 C([ ]) ¨¬¥¥² ¬¥±²®= Nn=1 n f(z)dz.­®©34(3). Ž¡¹¨© ±«³· ©. ‘­ · « ¢¢¥¤¥¬ ­¥ª®²®°»¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿.³±²¼ : [; ] ! C { ¯°®¨§¢®«¼­»© ¯³²¼, T = ft0 ; t1; : : :; tN g{ ª ª®¥-«¨¡® ° §¡¨¥­¨¥ (¯®°¿¤ª N) ®²°¥§ª [; ], zn = (tn ).Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ = (T ) { ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ¢¯¨± ­­³¾«®¬ ­³¾, ².¥.

¯³²¼ ­ [; ], ª®²®°»© ­ [tn 1; tn] ° ¢­®¬¥°­®¯°®µ®¤¨² ®²°¥§®ª [zn 1; zn] (n = 0; : : :; N) ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¬­ ¯° ¢«¥­¨¨. ®«®¦¨¬ ¥¹¥ n = j[tn 1 ;tn ] ¨ n = j[tn 1 ;tn ]¨ ­ ¯®¬­¨¬, ·²® (T ) { ¤¨ ¬¥²° ° §¡¨¥­¨¿ T , d(; ) =sup j(t) (tj ­ [; ].‘«³· © (3) ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ±«¥¤³¾¹¥© «¥¬¬».4.19. ‹¥¬¬ (®¡ ¯¯°®ª±¨¬ ¶¨¨).

³±²¼ : [; ] !G { ¯°®¨§¢®«¼­»© ±¯°¿¬«¿¥¬»© ¯³²¼ (¢ G), f { ­¥¯°¥°»¢­ ¢G. ’®£¤ 8" > 0 9 > 0 ² ª®¥, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ° §¡¨¥­¨¿ T®²°¥§ª [; ] c ³±«®¢¨¥¬ (T ) < ¢»¯®«­¥­® (¢ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ¢»¸¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ):(1) d(; ) < ", ¢ · ±²­®±²¨, = (T) { § ¬ª­³² ¿ «®¬ ­ ¿ ¢G ¯°¨ ¢±¥µ ¤®±² ²®·­® ¬ «»µ " ;RR(2) j f(z)dz f(z)dz j < ".„®ª § ²¥«¼±²¢® «¥¬¬». ³±²¼ d = minf1 ; dist([]; @G)g.‚¢¥¤¥¬ K = fz 2 C j dist(z; []) d=2g { ª®¬¯ ª² ¢ G (d=2° §¤³²¨¥ []), ¯°¨·¥¬ dist(K; @G) d=2.

®±ª®«¼ª³ f 2 C(K) ¨ 2 C([; ]), ²® () := !K (f; ) ! 0 ¨ !() = ![;] (; ) ! 0¯°¨ ! +0.”¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ", " < d=2, ¨ ¢»¡¥°¥¬ > 0 ² ª, ·²®!() < ", (!())`() < "=2 ¨ ¤«¿ ¢±¿ª®£® T ± ³±«®¢¨¥¬ (T ) < ¢»¯®«­¥­®:Z f(z)dz (T; ; f) < " ;(4.1)2£¤¥ = T n fg { ¢»¡®°ª , ¯®¤·¨­¥­­ ¿ T.®ª ¦¥¬ (¢ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¢»¸¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ), ·²® { ¨±ª®¬®¥. ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ T , (T) < , ¨ ³ª § ­­³¾ ·³²¼ ¢»¸¥¢»¡®°ª³ .C¢®©±²¢® (1) ¢»¯®«­¥­®, ¯®±ª®«¼ª³ ¢±¿ª®¥ t 2 [; ] «¥¦¨² ¢­¥ª®²®°®¬ [tn 1; tn] (¯°¨ ½²®¬ (t) 2 [zn 1; zn]) , ² ª ·²®j(t) (t)j maxfj(t) (tn 1 )j ; j(t) (tn )jg !((T )) 35 !() < " < d=2 .°®¢¥°¨¬ (2). ‘®£« ±­® ³±«®¢¨¿¬ ­ ¢»¡®° ,Z f(z)dz (T; ; f) N ZX f(z)dz f(zn )(zn zn 1) =n=1 N ZX (f(z) f(zn ))dz n=1 nn(!((T)))`() < (!())`() < 2" :“·¨²»¢ ¿ (4.1), ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬®¥.

2„®ª § ²¥«¼±²¢® ±«¥¤±²¢¨¿ ²°¨¢¨ «¼­®.4.20. „®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ ¢±¿ª®£® ¬­®£®³£®«¼­¨ª (®£° ­¨·¥­­®£® § ¬ª­³²®© ¦®°¤ ­®¢®© «®¬ ­®©, ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¢»¯³ª«®£®) ­ ©¤³²±¿ 3 ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»¥ ¢¥°¸¨­» ² ª¨¥, ·²® ®¯°¥¤¥«¿¥¬»© ¨¬¨ ²°¥³£®«¼­¨ª ¶¥«¨ª®¬ «¥¦¨² ¢ ¨±µ®¤­®¬ ¬­®£®³£®«¼­¨ª¥.4.21. „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ { ­¥ª®²®° ¿ § ¬ª­³² ¿ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­ ¿ «®¬ ­ ¿ ¢ C , f ­¥¯°¥°»¢­ ­ ¥¥ ­®±¨²¥«¥ [ ], ²®±³¹¥±²¢³¾² § ¬ª­³²»¥ ¦®°¤ ­®¢» «®¬ ­»¥ 1; : : :; n ± ­®±¨²¥«¿¬¨ ¢ [ ] ² ª¨¥, ·²®Z36f(z)dz =n ZXk=1kf(z)dz :‹¥ª¶¨¿ Â5¥°¢®®¡° §­ ¿.

ˆ­²¥£° «¼­ ¿ ²¥®°¥¬ Š®¸¨.¥°¢®®¡° §­ ¿ ¨ ¥¥ ±¢®©±²¢ 5.1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ G | ®¡« ±²¼ ¢ C , f : G ! C .”³­ª¶¨¿ F : G ! C ­ §»¢ ¥²±¿ ¯¥°¢®®¡° §­®© (ª®¬¯«¥ª±­®©¯¥°¢®®¡° §­®©) ¤«¿ f ¢ G, ¥±«¨ F 2 A(G) ¨ F 0(z) = f(z) ¢±¾¤³ ¢G.5.2. °¥¤«®¦¥­¨¥. …±«¨ F { ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ ¤«¿ f ¢ G, ²®fF + c j c 2 C g { ±®¢®ª³¯­®±²¼ ¢±¥µ ¯¥°¢®®¡° §­»µ ¤«¿ f ¢ G.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

Характеристики

Список файлов лекций