П.В. Парамонов - Избранные главы комплексного анализа (1124318), страница 6

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‘¢¥±²¨ ª ±«³· ¾ f = 0 ¨ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿³±«®¢¨¿¬¨ Š®¸¨-¨¬ ­ .5.3. ’¥®°¥¬ (® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ¯¥°¢®®¡° §­®© ¢ ®¤­®±¢¿§­®© ®¡« ±²¨). ³±²¼ G C { ®¤­®±¢¿§­ , f ³¤®¢«¥-²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ ²°¥³£®«¼­¨ª ¢ G (¢c¿ª ¿ f 2 A(G) ¯®¤µ®¤¨²).’®£¤ f ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾ ¢ D.„®ª § ²¥«¼±²¢®.R ”¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ a 2 D. °¨ z 2G ¯®«®¦¨¬ F (z) = az f()d, £¤¥ ¨­²¥£° « ¡¥°¥²±¿ ¯® «¾¡®¬³±¯°¿¬«¿¥¬®¬³ ¯³²¨ ¢ G, ±®¥¤¨­¿¾¹¥¬³ a ¨ z. ® ±«¥¤±²¢¨¾ ¨§²¥®°¥¬» Š®¸¨ ¢±¥ ½²¨ ¨­²¥£° «» ±®¢¯ ¤ ¾², ² ª ·²® F ®¯°¥¤¥«¥­ ª®°°¥ª²­® ¨ ¤«¿ ¢±¥µ z 2 G (G { «¨­¥©­® ±¢¿§­ ).”¨ª±¨°³¥¬ z0 2 G ¨ ¯³±²¼ jz z0 j < dist(z0 ; @G), ²®£¤ F(z) F(z )0 f(z ) =0z z001 1 @Zz f()d Zz0 f()d f(z )(z z )A =00 z z0aaZ1 1jz z0 j [z0 ;z] (f() f(z0 ))d jz z0 j kf f(z0 )k[z0 ;z] jz z0j =kf f(z0 )k[z0 ;z] ! 037¯°¨ z ! z0 ¢¢¨¤³ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f ¢ ²®·ª¥ z0 . 25.4. ‘«¥¤±²¢¨¥.

³±²¼ G { ®¤­®±¢¿§­ ¿ ®¡« ±²¼ ¢ C nf0g. ’®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² £®«®¬®°´­ ¿ ¢¥²¢¼ L(z) ¬­®£®§­ ·­®© ´³­ª¶¨¨Ln (z) (\‹®£ °¨´¬")£®«®¬®°´­ ¿ ¢¥²¢¼ V (z) ¬­®£®§­ ·­®©pn z (\ª®°¥­¼¨±²¥¯¥­¨´³­ª¶¨¨n") ¢ G. °¨ ½²®¬ L0(z) = 0 1=z ¨01nV (z) = V (z)=n ¢ G. ‚ · ±²­®±²¨, ¯°¨ n = 2 ¨¬¥¥¬ V (z) =1=(2V (z)).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ”¨ª±¨°³¥¬ a 2 G. ® ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬¥, ´³­ª¶¨¿ 1=z 2 A(G) ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾ L ¢ G ± ³±«®¢¨¥¬ L(a) 2 Ln (a). “²¢¥°¦¤ ¥²±¿, ·²® L { ¨±ª®¬ ¿ ¢¥²¢¼ ‹®£ °¨´¬ . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ E = fz 2 G j L(z) 2 Ln (z)g. ®¤®ª § ­­®¬³ ° ­¥¥ ³ ª ¦¤®© ²®·ª¨ z0 2 G ¥±²¼ ®ª°¥±²­®±²¼B = B(z0 ; r) ¢ G (¬®¦­® ¢§¿²¼ r = dist(z0 ; @G)) ¨ £®«®¬®°´­ ¿¢ B ¢¥²¢¼ ‹®£ °¨´¬ , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ 0 (z) = 1=z.

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, L= const ¢ B. Ž²±¾¤ «¥£ª® ±«¥¤³¥², ·²® E ­¥¯³±²®, ®²ª°»²® ¨ § ¬ª­³²® ¢ G, ².¥. E = G.ˆ±ª®¬ ¿ ¢¥²¢¼ ª®°­¿ ±²¥¯¥­¨ n ¢ G ¨¬¥¥² ¢¨¤ V (z) =exp (L(z)=n). ® ’¥®°¥¬¥ 2.17 (¯°®¨§¢®¤­ ¿ ±«®¦­®© ´³­ª¶¨¨):V 0 (z) = exp (L(z)=n)L0(z)=n = V (z)=(nz) = (V (z))1 n=n : 2ˆ­²¥£° «¼­ ¿ ²¥®°¥¬ Š®¸¨.’¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¨¬ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­³¾ £° ­¨¶³ ¯°®¨§¢®«¼­®©®¡« ±²¨ ¨ ¨­²¥£° « ¢¤®«¼ ­¥¥.³±²¼ D1 ; : : :; DS { ¦®°¤ ­®¢» ®¡« ±²¨ ¢ C (S > 1 { ­ ²³° «¼­®) ± ®°¨¥­²¨°®¢ ­­»¬¨ £° ­¨¶ ¬¨ @ + D1 ; : : :; @ + DS ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.

°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® § ¬»ª ­¨¿ ®¡« ±²¥© D2 ; : : :; DS ¯®¯ °­® ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¨ ¶¥«¨ª®¬ ±®¤¥°¦ ²±¿ ¢­³²°¨ D1. Œ®¦­®¤®ª § ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® D = D1 n ([ss==2S Ds ) ±¢¿§­®, ².¥. ¢±¥£¤ ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ (¬» ¤®ª ¦¥¬ ½²® ¯®§¦¥, ª ª ½«¥¬¥­² °­®¥±«¥¤±²¢¨¥ ¨§ ²¥®°¥¬» ¨¬ ­ ® ª®­´®°¬­®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¨, ¯®ª ­ ¬ ½²® ­¨£¤¥ ­¥ ¯®²°¥¡³¥²±¿).5.5. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. “ª § ­­»¥ ¬­®¦¥±²¢ D ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼¤®¯³±²¨¬»¬¨ ®¡« ±²¿¬¨ ° ­£ S (¯®«¼§³¿±¼, ·²® ®­¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¿¢«¿¾²±¿ ®¡« ±²¿¬¨, ²®«¼ª® ¢ ª®­ª°¥²­»µ ±«³· ¿µ, £¤¥½²® ®·¥¢¨¤­®).  ­£ ¦®°¤ ­®¢®© ®¡« ±²¨ ±·¨² ¥²±¿ ° ¢­»¬ 1.ˆ§ ²¥®°¥¬» †®°¤ ­ ±«¥¤³¥², ·²® @D = [Ss=1@Ds , ¯®½²®¬³ ³ª § ­­®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢ D (° § ³¦ ±³¹¥±²¢³¥²)¤®¯³±²¨¬®©38¥¤¨­±²¢¥­­® ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯®°¿¤ª ­³¬¥° ¶¨¨ ®¡« ±²¥© Ds ,s 2.

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ° ­£ ª®°°¥ª²­®.‚ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ¤ ¤¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥5.6. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. (®«®¦¨²¥«¼­®) ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®© £° ­¨¶¥© ¤®¯³±²¨¬®© ®¡« ±²¨ D ° ­£ S 2 ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¢®ª³¯­®±²¼ (¶¥¯¼) £° ­¨¶:@ + D = f@ + D1 ; @ D2 ; : : :; @ DS g :„«¿ f : @D ! C ¨­²¥£° « ®² f ¢¤®«¼ (¨«¨ ¯®) @ + D ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿¯® ´®°¬³«¥:Z@+Dfdz =Z@ + D1fdzS ZXs=2@ + Dsfdz ;¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ¢±¥ ¨­²¥£° «» ±¯° ¢ ±³¹¥±²¢³¾².5.7. “¯° ¦­¥­¨¥. „ ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±¯°¿¬«¿¥¬®±²¨ ¨ ¤«¨­» £° ­¨¶», `(@D), ¤®¯³±²¨¬®© ®¡« ±²¨ D.5.8. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

³±²¼ E C . ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® f £®«®¬®°´­ ­ E, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®²ª°»²®¥ ¬­®¦¥±²¢® U, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ E, ² ª®¥, ·²® f ®¯°¥¤¥«¥­ ¨ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¢±¾¤³¢ U.5.9. “¯° ¦­¥­¨¥. …±«¨ D { ®¡« ±²¼ ¢ C ¨ f 2 A(D), ²®­ ©¤¥²±¿ ®¡« ±²¼ G, ±®¤¥°¦ ¹ ¿ D, ± ³±«®¢¨¥¬ f 2 A(G).5.10. ’¥®°¥¬ (¨­²¥£° «¼­ ¿ ²¥®°¥¬ Š®¸¨). ³±²¼ D{ ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ¢ C ±® ±¯°¿¬«¿¥¬®© £° ­¨¶¥©, f 2 A(D).’®£¤ Z@+Df(z)dz = 0 :(5.1)„®ª § ²¥«¼±²¢®. °®¢¥¤¥¬ ¨­¤³ª¶¨¾ ¯® ° ­£³ S ¤®¯³±²¨¬®© ®¡« ±²¨ D.

³±²¼ ±­ · « S = 1, ².¥. D { ¦®°¤ ­®¢ . ²®²±«³· © ¯® ²¥®°¥¬¥ 4.17 ±¢®¤¨²±¿ ª ±«¥¤³¾¹¥© «¥¬¬¥.5.11. ‹¥¬¬ . ³±²¼ D { ¦®°¤ ­®¢ ®¡« ±²¼, U { ®²ª°»²®¥¬­®¦¥±²¢®, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ D. ’®£¤ ­ ©¤¥²±¿ ®¤­®±¢¿§­ ¿ ®¡« ±²¼G ± ³±«®¢¨¿¬¨ D G U.39„®ª § ²¥«¼±²¢® «¥¬¬». ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥¬, ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¢»²¥ª ¾¹¨¬ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®¤­®±¢¿§­®±²¨ (¯® †®°¤ ­³): ¥±«¨ G1 ; : : :; GN { ª®­¥·­®¥ ±¥¬¥©±²¢®®¤­®±¢¿§­»µ ®¡« ±²¥© ¢ C ¨ G { ª ª ¿-«¨¡® ­¥¯³±² ¿ ª®¬¯®­¥­² ±¢¿§­®±²¨ ¨µ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, ²® G { ®¤­®±¢¿§­ ¿ ®¡« ±²¼.³±²¼ B { ­¥ª®²®°»© (®²ª°»²»©) ª°³£, ±®¤¥°¦ ¹¨© D. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® B ­¥ ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ U, ¨­ ·¥ G = B ¤ ¥² ­³¦­»© ®²¢¥². „«¿ ª ¦¤®© ²®·ª¨ a 2 B n U ¯³±²¼ da = dist(a; D),Ba = B(a; da =2).

°¨ Ba B ¯³±²¼ La { ­®±¨²¥«¼ ª ª®©-«¨¡®¦®°¤ ­®¢®© «®¬ ­®©, ±®¥¤¨­¿¾¹¥© @Ba ¨ @B ¢ B n D (¯°¨·¥¬ª°®¬¥ ª®­¶®¢ ¢±¿ La «¥¦¨² ¢ B n D), ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¯®« £ ¥¬ La = ;. Ž¯°¥¤¥«¨¬ Ga = B n (Ba [ La ), ² ª ·²® ¢±¿ª ¿ Ga{ ®¤­®±¢¿§­ , ¨¡® ±¢¿§­ ¥¥ £° ­¨¶ .‚»¡¥°¥¬ ª®­¥·­®¥ ¯®ª°»²¨¥ fBan gNn=1 ¬­-¢ B n U ª°³£ ¬¨fBa j a 2 B n U g. ˆ±ª®¬ ¿ ®¡« ±²¼ G ¥±²¼ ª®¬¯®­¥­² ±¢¿§­®±²¨¯¥°¥±¥·¥­¨¿ \Nn=1Gan , ±®¤¥°¦ ¹ ¿ D. 25.12. °®¤®«¦¥­¨¥ ¨­¤³ª¶¨¨.

°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ²¥®°¥¬ ¤®ª § ­ ¤«¿ ¢±¥µ ¤®¯³±²¨¬»µ (±® ±¯°¿¬«¿¥¬®© £° ­¨¶¥©)®¡« ±²¥© D ° ­£ S 1 (S 2) ¨ ¢±¥µ f 2 A(D).³±²¼ ²¥¯¥°¼ D = D1 n ([Ss=2Ds ) { ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ° ­£ S c® ±¯°¿¬«¿¥¬®© £° ­¨¶¥© @ + D = f@ + D1 ; @ D2 ; : : :; @ DS g, f { £®«®¬®°´­ ­ ­¥ª®²®°®¬ ®²ª°»²®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ U, ±®¤¥°¦ ¹¥¬ D. Œ» ¤®«¦­» ³±² ­®¢¨²¼ ° ¢¥­±²¢® (5.1).®«®¦¨¬ K1 = @D1 , K2 = @D n @D1 . ˆ§ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨´³­ª¶¨¨ d(z; w) = jz wj ­ ª®¬¯ ª²¥ K1 K2 ±«¥¤³¥², ·²®±³¹¥±²¢³¾² z1 2 K1 ¨ z2 2 K2 , ¡«¨¦ ©¸¨¥ ¤°³£ ª ¤°³£³, ².¥.jz1 z2 j = dist(K1 ; K2). ¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® z2 2 @D2 .5.13. ®±²°®¥­¨¥ \ª®°¨¤®° ". ‚±¾¤³ ¢ ½²®¬ ¯³­ª²¥ ¯ ° ¬¥²° s ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¿ 1 ¨ 2 (².¥. ¢±¥ ³±«®¢¨¿ ¨ ¯®±²°®¥­¨¿®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¯®«­¿¾²±¿ ¤«¿ ®¡®¨µ §­ ·¥­¨© s).”¨ª±¨°³¥¬ ª ª¨¥-«¨¡® (§ ¬ª­³²»¥, ¦®°¤ ­®¢» ±¯°¿¬«¿¥¬»¥) ¯³²¨ s : [s; s] ! C ¨§ @ + Ds ± ³±«®¢¨¿¬¨ s (s ) 6= zs .‚»¡¥°¥¬ d 2 (0; jz1 z2 j=4), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ ³±«®¢¨¿¬:(1) B(zs ; d) U ;(2) d < js(s ) zs j .³±²¼ as { ²®·ª ­ ®²°¥§ª¥ [z1 ; z2] ² ª ¿, ·²® jas zs j = d.Œ» ­ µ®¤¨¬±¿ ¢ ³±«®¢¨¿µ ¯³­ª² 4.5(‹¥ª¶¨¿ 4), ².¥.

¯°¨ = s ,40a = as , < d ®¯°¥¤¥«¥­ ¯³²¼ s (as ; ) ( ² ª¦¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥¯ ° ¬¥²°» t0s ; ts ; t+s , zs = s (t0s)). ³±²¼ s { ±³¦¥­¨¥ ¯³²¨s ­ [ts ; t+s ]. ’¥¯¥°¼ ´¨ª±¨°³¥¬ ² ª, ·²® [s ] B(zs ; d=2).³±²¼ s { ±³¦¥­¨¥ ¯³²¨ s (as ; ) ­ [ts ; t+s ].  ¯®¬­¨¬,·²® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¿ ­ ®ª°³¦­®±²¨ s ¢»¡° ­ ² ª, ·²® bs :=s(t0s ) 2 [z1; z2 ]. ª®­¥¶, ¢»¡¥°¥¬ " 2 (0; t+s t0s) ² ª, ·²® cs = s(t0s +") 2 B(z3 s ; jz1 z2 j), ¨ ¯³±²¼ s" { ±³¦¥­¨¥ s ­ [t0s; t0s + "]. ±±¬®²°¨¬ § ¬ª­³²³¾ ª°¨¢³¾ = (f1 (a1; )g n f" g) [ [b1; b2] [ (f2 (a2 ; )g n f"g) [ [c2; c1]112(5.2)Ž­ ±¯°¿¬«¿¥¬ ¨ ¦®°¤ ­®¢ , ¯®±ª®«¼ª³ 1 ¯°®µ®¤¨²±¿ ¯®· ±®¢®© ±²°¥«ª¥ (a1 2 D1 ), 2 { ¯°®²¨¢ · ±®¢®© ±²°¥«ª¨(a2 2= D2 ), ² ª ·²® ®²°¥§ª¨ [b1; b2] ¨ [c2; c1] ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿.®±²°®¥­¨¥ \ª®°¨¤®° " § ª®­·¥­®.5.14.

Žª®­· ­¨¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¨­²¥£° «¼­®© ²¥®°¥¬» Š®¸¨.³±²¼ D1 { ®¡« ±²¼, ®£° ­¨·¥­­ ¿ 1 . „®ª ¦¥¬, ·²® Ds D1¯°¨ s 3 (¥±«¨ ² ª®¢»¥ ¥±²¼). ® ’¥®°¥¬¥ 4.3 ¤®±² ²®·­® ³±² ­®¢¨²¼, ·²® indw ( 1 ) = 1 ¤«¿ «¾¡®£® w 2 Ds ; s 3. Ž¡®§­ ·¨¬·¥°¥§ ®²ª°»²»©ª°¨¢®«¨­¥©­»© ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª, ®£° ­¨·¥­­»© [b1; b2], f2"g, [c2; c1] ¨ f1"g . ‘®£« ±­® “¯° ¦­¥­¨¾ 1.28,¨¬¥¥¬:indw ( 1 ) = indw (1 (a1 ; )) indw (2 (a2 ; )) indw (@ + ) :Ž±² ¥²±¿ ³·¥±²¼, ·²® indw (1 (a1 ; )) = indw (1 ) = 1 (¨¡® w 2D1 ), indw (2 (a2 ; )) = indw (2 ) = 0 (w 2= D2 ), indw (@ + ) = 0(w 2= ). €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® D1 U.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, D = D1 n ([Ss=3 Ds ) (¯®±«¥¤­¥¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ®²±³²±²¢³¥² ¯°¨ S = 2) { ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ° ­£ SR 1 ±® ±¯°¿¬«¿¥¬®© £° ­¨¶¥©.

® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨,¨­²¥@ + D f(z)dzR = 0. Ž±² ¥²±¿ ³±² ­®¢¨²¼, ·²® ¯®±«¥¤­¨©R f(z)dz,£° « ° ¢¥­ @ + D f(z)dz. „¥©±²¢¨²¥«¼­®,±« £ ¥¬»¥+@ DsRs 3, ³ ½²¨µR ¨­²¥£° «®¢R®¡¹¨¥, @ + f(z)dz = 0 ¯® ¯¥°¢®¬³ ¸ £³¨­¤³ª¶¨¨, s f(z)dz = s f(z)dz ¯® ²¥®°¥¬¥ Š®¸¨ ¢ ®¤­®±¢¿§­®© ®¡« ±²¨ B(zs ; d) (s = 1 ¨ 2), ² ª ·²® ¨§ (5.2) ®ª®­· ²¥«¼­®¯®«³· ¥¬:41Z1f(z)dz =Z1 (a1 ;)f(z)dzZ1f(z)dzZ2 (a2 ;)Z2f(z)dzZ@+f(z)dz =f(z)dz :’¥®°¥¬ ¤®ª § ­ . 2—¥°¥§ ­¥±ª®«¼ª® «¥ª¶¨© ¬» ¤®ª ¦¥¬ ¡®«¥¥ ®¡¹¨© ¨ ²°³¤­»©¢ °¨ ­² ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬»:5.15. ’¥®°¥¬ (³±¨«¥­­ ¿ ¨­²¥£° «¼­ ¿ ²¥®°¥¬ Š®¸¨). ³±²¼ D { ¤®¯³±²¨¬ ¿R ®¡« ±²¼ ±® ±¯°¿¬«¿¥¬®© £° ­¨¶¥©,f 2 A(D) \ C(D). ’®£¤ @ + D fdz = 0.5.16. „®ª § ²¼ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ¯®±«¥¤­¥© ²¥®°¥¬», ª®£¤ D{ ª°³£ ¨«¨ ª®«¼¶®.5.17.

…±«¨ { § ¬ª­³² ¿ ±¯°¿¬«¿¥¬ ¿ ª°¨¢ ¿, ­¥ ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ²®·ª³ a 2 C , ²®1 Z dz = ind ( ):a2i z a5.18. ˆ­²¥£° «®¬ ²¨¯ Š®¸¨ ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­²¥£° « ¢¨¤ F (z) =Z f()d z ;£¤¥ { ±¯°¿¬«¿¥¬ ¿ ª°¨¢ ¿, f { ­¥¯°¥°»¢­ ­ ¥¥ ­®±¨²¥«¥ [ ].„®ª § ²¼, ·²® F { £®«®¬®°´­ ¢­¥ [ ] ¨ F(1) = 0.  ©²¨ f 0 (1).42‹¥ª¶¨¿ Â6ˆ­²¥£° «¼­ ¿ ´®°¬³« Š®¸¨ ¨ ¥¥®±­®¢­»¥ ±«¥¤±²¢¨¿ˆ­²¥£° «¼­ ¿ ´®°¬³« Š®¸¨6.1.

’¥®°¥¬ (¨­²¥£° «¼­ ¿ ´®°¬³« Š®¸¨). ³±²¼ D{ ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ±® ±¯°¿¬«¿¥¬®© £° ­¨¶¥©, f 2 A(D). ’®£¤ ¤«¿ «¾¡®£® z0 2 D ±¯° ¢¥¤«¨¢ ´®°¬³« :1 Z f(z)dz :f(z0 ) = 2i@ + D z z0„®ª § ²¥«¼±²¢®. ”¨ª±¨°³¥¬ z0 2 D ¨ ¯³±²¼ d = dist(z0 ; @D).°¨ 2 (0; d=2) ¯®«®¦¨¬ D = D n B(z0 ; ), + = @ + B(z0 ; ). ’®£¤ D { ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ±® ±¯°¿¬«¿¥¬®© £° ­¨¶¥© ¨ f1 (z) :=f(z)=(z z0 ) 2 A(D ). ® ¨­²¥£° «¼­®© ²¥®°¥¬¥ Š®¸¨Z f(z)dz=0;@ + D z z0² ª ·²®Z f(z)dz Z f(z)dz= +z z+ z z@ D¨ ®±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²®00Z f(z)dz1f(z0 ) = 2i + z z :0®±ª®«¼ª³ ¯®±«¥¤­¨© ¨­²¥£° « ­¥ § ¢¨±¨² ®² (½²® ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯°¥¤¯®±«¥¤­¥£® ° ¢¥­±²¢ ) ¨, ¯® ¤®ª § ­­®¬³ ° ­¥¥,1 Zdz2i + z z0 = 1 ;²® ­³¦­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ±«¥¤³¾¹¥© ®¶¥­ª¨: Zf(z)dz f(z ) = 1 Z f(z) f(z0 ) dz 10 2 + z z 2i + z z00431 kf f(z )k 1 2 = kf f(z )k ! 0 ¯°¨ ! 0 ; 20 [ ] 0 [ ]ª®²®° ¿, ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, ±«¥¤³¥² ¨§ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f ¢ ²®·ª¥ z0 .26.2.

’¥®°¥¬ (® ±°¥¤­¥¬). ³±²¼ f 2 A(B(z0 ; R)), R 2(0; +1). ’®£¤ Z1f(z0 + Rei' )d' :f(z0 ) = 2® ¨­²¥£° «¼­®© ´®°¬³«¥ Š®¸¨:1 Z f(z)dz ;f(z0 ) = 2i+ z z0R„®ª § ²¥«¼±²¢®.£¤¥ +R = @ + B(z0 ; R). Ž±² ¥²±¿ ¢»·¨±«¨²¼ ¯®±«¥¤­¨© ¨­²¥£° « ±¯®¬®¹¼¾ ±² ­¤ °²­®© ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ª°¨¢®© +R : fz = z0 +Rei' j ' 2 [ ; ]g: 26.3. ’¥®°¥¬ (¯°¨­¶¨¯ ¬ ª±¨¬³¬ ¬®¤³«¿). ³±²¼ D {¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¡« ±²¼ ¢ C , D 6= C .

…±«¨ f 2 A(D) \ C(D), ²® ¤«¿«¾¡®£® z0 2 D ¨¬¥¥¬jf(z0 )j zmaxjf(z)j:(6.1)2@D°¨ ½²®¬, ¥±«¨ ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® z0 2 D ­¥° ¢¥­±²¢® (6.1) ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢®, ²® f ¯®±²®¿­­ ¢ D.°¨ 1 2 D ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ f ­ D ¯®­¨¬ ¥²±¿ ¢ ±¬»±«¥ ²®¯®«®£¨¨ C .„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¯®¬­¨¬, ·²® ¬ ª±¨¬³¬ ¢±¿ª®© ­¥¯°¥°»¢­®© ­ ª®¬¯ ª²¥ ´³­ª¶¨¨ ¤®±²¨£ ¥²±¿.„®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ­ ©¤¥²±¿ z0 2 D ± ³±«®¢¨¥¬ jf(z0 )j max@D jf(z)j, ²® f { ¯®±²®¿­­ . ³±²¼ ² ª®¥ z0 ±³¹¥±²¢³¥². ¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬» ¬®¦¥¬ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼,·²® M = maxD jf(z)j = jf(z0 )j (¯°®¢¥°¨²¼!). ®«®¦¨¬ E = fz 2D j jf(z)j = M g. Ÿ±­®, ·²® E 6= ; ¨ E § ¬ª­³²® ¢ D (¯®±«¥¤­¥¥ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f). Ž²ª°»²®±²¼ E ±«¥¤³¥² ¨§²¥®°¥¬» ® ±°¥¤­¥¬ (¯°®¢¥±²¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®!). ˆ§ ±¢¿§­®±²¨ D¯®«³· ¥¬, ·²® E = D.

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