П.В. Парамонов - Избранные главы комплексного анализа (1124318), страница 10

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³ª § ­­®¥ 2 R ±³¹¥±²¢³¥²).® ¯°¨­¶¨¯³ ¬ ª±¨¬³¬ (¢­¥ G1, ¨ ¯®« £ ¥¬ h1 = 0 ­ )¨¬¥¥¬:kh1k kh1kG1 8 ( + ) 16;69®²ª³¤ 1 Zjd2j = 2ijz aj j=4 1h1 ()( aj )d 216 4 24 = 256 2:³±²¼ = dist(X; ), U { ®²ª°»² ¿ =2-®ª°¥±²­®±²¼ «®¬ ­®© .® ’¥®°¥¬¥ 9.8 ¯°®¤®«¦¨¬ h1 ¨§ C n U ¤® ´³­ª¶¨¨ h 2 C(C ) ±±®µ° ­¥­¨¥¬ sup-­®°¬» (¢­¥ Bj ´³­ª¶¨¿ h1 ­¥ ¬¥­¿¥²±¿). °¨½²®¬ h £®«®¬®°´­ ¢­¥ U, ².¥ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ X. ª®­¥¶, ¨¹¥¬ gj ¢ ¢¨¤¥ gj (z) = 1 h(z) + 2 (h(z))2 (1 ; 2 2C ).  ¯®¬­¨¬, ·²®jfj (z) = z c1a + (zjcj2 + ;aj )2jcj1j 3c(2)!(); jcj2j 9c(2) 2 !():³¦­»¥ ³±«®¢¨¿ "ª ± ­¨¿" ¨¬¥¾² ¢¨¤:cj1 = 1 ei ; cj2 = 1 d2 + 2 2 e2i ;®²ª³¤ 1 ¨ 2 ®¤­®§­ ·­® ­ µ®¤¿²±¿, ¯°¨·¥¬ ®·¥¢¨¤­» ®¶¥­ª¨:j1j c(8)!(); j2 j c(8)!():’ ª¨¬ ®¡° §®¬ kgj k c!() ¨ ²¥®°¥¬» Œ¥°£¥«¿­ ¯®«­®±²¼¾¤®ª § ­».

210.6. „®ª § ²¼ ²¥®°¥¬³ ƒ °²®£± -®§¥­² «¿: ¥±«¨ m(K) = 0,²® C(K) = R(K).10.7. °¨¢¥±²¨ ¯°¨¬¥° ª®¬¯ ª² K ± ³±«®¢¨¿¬¨ K = ; ¨C(K) 6= R(K).10.8. °¨¢¥±²¨ ¯°¨¬¥° ª®¬¯ ª² K ± ³±«®¢¨¿¬¨ K 6= ; {±¢¿§­ , ®¤­®±¢¿§­ ¨ ¯«®²­ ¢ K, ¯°¨·¥¬ CA (K) 6= R(K).10.9. ³±²¼ ' 2 C01(C ). „®ª § ²¼, ·²® ®¯¥° ²®° ‚¨²³¸ª¨­ ' : f ! ' f (¤¥©±²¢³¾¹¨© ¯® ±² ­¤ °²­®© ´®°¬³«¥) ­¥¯°¥°»¢¥­ ¢ ¯°®±²° ­±²¢ µ Lip (C ) ( 2 (0; 1)), C 1(C ), Lp (C ) ¯°¨p > 2.10.10. ³±²¼ K { £° ´¨ª ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨ ­ ®²°¥§ª¥[0, 1] ± ®£° ­¨·¥­­®© ¢ °¨ ¶¨¥©. ’®£¤ K { ­ «¨²¨·¥±ª¨ ³±²° ­¨¬ ¢ ª« ±±¥ ­¥¯°¥°»¢­»µ ´³­ª¶¨©.70‹¥ª¶¨¿ Â11°¨­¶¨¯ °£³¬¥­² ¨ ¥£® ±«¥¤±²¢¨¿°¨­¶¨¯ °£³¬¥­² ¨ ²¥®°¥¬ ³¸¥.Ž¡° ²­»© ¯°¨­¶¨¯ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ £° ­¨¶„«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ª®¬¯ ª² K ¢ C ¯®«®¦¨¬ C (K) = ff 2C(K) j f(z) 6= 0 8z 2 K g.11.1.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ { ¯³²¼ ¢ C , f 2 C ([]). ‚¥«¨·¨­ Arg(f) := f Arg(z) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¨° ¹¥­¨¥¬ (¯®«¿°­®£®) °£³¬¥­² ´³­ª¶¨¨ f ¢¤®«¼ .¥²°³¤­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ¯³²¨ 1 ¨ 2 ½ª¢¨¢ «¥­²­» ¨f 2 C [1 ], ²® 1 Arg(f) = 2 Arg(f). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬®¦­®ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¢»° ¦¥­¨¥ + Arg(f) ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®©ª°¨¢®© + ¨ f 2 C ([ ]).Œ» ¤®¢¥°¿¥¬ ·¨² ²¥«¾ ¤ ²¼ (¥¤¨­±²¢¥­­® ° §³¬­®¥) ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥«¨·¨­» @ +G Arg(f) ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ¦®°¤ ­®¢®©®¡« ±²¨ G ¢ C ¨ f 2 C (@G). ª®­¥¶, ¥±«¨ D = D1 n ([ss==2S Ds ) { ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ° ­£ S 2 (±¬. ‹¥ª¶¨¾ 5) ¨ f 2 C(@D), ²®@ + D Arg(f) = @ + D1 Arg(f)SXs=2@ + Ds Arg(f) :11.2.

‹¥¬¬ . ³±²¼ D { ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼, h 2 C(@D),¯°¨·¥¬ khk@D < 1. ’®£¤ @ +D Arg(1 + h) = 0.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ˆ§ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¢»¸¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¢»²¥ª ¥², ·²® ­ ¬ ¤®±² ²®·­® ³±² ­®¢¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨© ´ ª²: ¥±«¨ :[; ] ! C { § ¬ª­³²»© ¯³²¼ ¨ h 2 C([]) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾khk[ ] < 1, ²® Arg(1 + h) = 0. ˆ¬¥¥¬ Arg(1 + h) = (h +1) Arg(z) ;¯°¨·¥¬ ­®±¨²¥«¼ ¯³²¨ 1 = h + 1 ¥±²¼ ª®¬¯ ª²­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® (®²ª°»²®©) ¯° ¢®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨. ‚ ª ·¥±²¢¥ ­¥¯°¥°»¢­®©¢¥²¢¨ ¬­®£®§­ ·­®© ´³­ª¶¨¨ Arg(1 (t)), t 2 [; ], (±¬. ’¥®°¥¬³1.18) ¬®¦­® ¢§¿²¼ ´³­ª¶¨¾Im(1 (t)) :'(t) = arctg Re(1 (t))71°¨ ½²®¬ ¿±­®, ·²® '() '() = 0.

211.3. ’¥®°¥¬ (¯°¨­¶¨¯ °£³¬¥­² ). ³±²¼ D { ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ¢ C , ´³­ª¶¨¿ f £®«®¬®°´­ ¢ D, § ¨±ª«¾·¥­¨¥¬¯®«¾±®¢ fb1; ; bM g, ¨ ­¥¯°¥°»¢­ ­ D n fb1 ; ; bM g. …±«¨ f­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ 0 ­ @D, ²®1 + Arg(f):ND (f) PD (f) = 2(11.1)@ D‡¤¥±¼ ND (f) ¨ PD (f) { ®¡¹¥¥ ·¨±«® ­³«¥© (± ³·¥²®¬ ª° ²­®±²¥©) ¨ ®¡¹¥¥ ·¨±«® ¯®«¾±®¢ (± ³·¥²®¬ ¯®°¿¤ª®¢) ´³­ª¶¨¨ f ¢D ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­®¢»¢®¤¿²±¿ ¨§ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¨ ’¥®°¥¬» 4.3 :( ) …±«¨ f1 ¨ f2 ¯°¨­ ¤«¥¦ ² C (@D), ²®@ + D Arg(f1 f2 ) = @ +D Arg(f1 ) + @ + D Arg(f2 );¨@ +D Arg(f1 =f2 ) = @ + D Arg(f1 ) @ + D Arg(f2 ):(¡)@ + D Arg(z b)b2D = 2; @ +D Arg(z b)b=2D = 0:Ž²±¾¤ ¯®«³· ¥¬, ·²® (11.1) ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¤«¿ «¾¡®© ° ¶¨®­ «¼­®© ´³­ª¶¨¨ f, ­¥ ¨¬¥¾¹¥© ­³«¥© ¨ ¯®«¾±®¢ ­ @D.

®«¥¥ ²®£®,¥±«¨ (11.1) ¢¥°­® ¤«¿ f1 ¨ f2 , ²® ®­® ¢¥°­® ¨ ¤«¿ f1 f2 ¨ f1 =f2 .³±²¼ fa1 ; ; aN g { ­³«¨ f ¢ D (an ¨¬¥¥² ¯®°¿¤®ª kn). Ž¯°¥¤¥«¨¬ P(z) = (z a1)k1 (z aN )kN , Q(z) = (z b1)p1 (zbM )pM , £¤¥ pm { ¯®°¿¤®ª ¯®«¾± bm ³ ¨±µ®¤­®© ´³­ª¶¨¨ f; m =1; ; M (² ª ·²® ND (f) = k1 + + kN , PD (f) = p1 + + pM ).®«®¦¨¬ F = fQ=P. ‚ ²®·ª µ fan g ¨ fbm g ®±®¡¥­­®±²¨ ³±²° ­¨¬», ² ª ·²® F 2 A(D) \ C(D). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤®±² ²®·­®³±² ­®¢¨²¼ (11.1) ¤«¿ F ¢¬¥±²® f (f = F P=Q, ¤«¿ P ¨ Q ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª § ­®).72®±ª®«¼ª³ " := minfjF (z)j : z 2 D g > 0, ²® ¯® ’¥®°¥¬¥ 9.3(Œ¥°£¥«¿­ ) ¨ ’¥®°¥¬¥ 7.7 (³­£¥) ±³¹¥±²¢³¾² ¬­®£®·«¥­» P"¨ Q" (Q" 6= 0 ¢ D) ² ª¨¥, ·²®kF QP" kD < " :"’ ª ª ª, ®·¥¢¨¤­®, P" ² ª¦¥ ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ 0 ­ D, ²® ±¯° ¢¥¤«¨¢®ND (F ) = ND (P"=Q") = PD (F) = PD (P"=Q") = 0 :„«¿ P" =Q" ° ¢¥­±²¢® (11.1), ¯® ¤®ª § ­­®¬³, ¢¥°­®.

Ž±² ¥²±¿³·¥±²¼, ·²®P" ) = 4 + Arg( P" F + F ) =0 = 4@ + D Arg( Q@ DQ"" QP"" F 4@ + D Arg(F ) + 4@ + D Arg 1 + F = 4@ +D Arg(F);¯®±ª®«¼ª³ ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢ QP"" F F <1­ @D ¯® ‹¥¬¬¥ 11.2 ¯®«³· ¥¬, ·²® P" F 4@ + D Arg 1 + Q" F=0:211.4. ’¥®°¥¬ (³¸¥). ³±²¼ D | ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ¢³±²¼ f; g 2 A(D) \ C(D), ¯°¨·¥¬ jg(z)j < jf(z)j ¢±¾¤³ ­ @D.’®£¤ ND (f) = ND (f + g).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬¥ ¨ ¯® ‹¥¬¬¥ 11.2(¯°¨ h = g=f) ¯®«³· ¥¬:1 + Arg(f + g) = 1 + Arg(f)+ND (f + g) = 2@ D2 @ D1 + Arg(1 + g=f) = 1 + Arg(f) = N (f) : 2D2 @ D2 @ D73C.‚ ª ·¥±²¢¥ ¯°¨«®¦¥­¨¿ ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¢ ¦­»© ´ ª².11.5. ’¥®°¥¬ (¯°¨­¶¨¯ ±®µ° ­¥­¨¿ ®¡« ±²¨). …±«¨ D{ ®¡« ±²¼ ¢ C ¨ f 2 A(D) ­¥ ¯®±²®¿­­ , ²® := f(D) { ®¡« ±²¼.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‘¢¿§­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ . „®ª ¦¥¬ ®²ª°»²®±²¼. ”¨ª±¨°³¥¬ w0 2 ¨ z0 2 D, f(z0 ) = w0. ”³­ª¶¨¿ f1 (z) =f(z) w0 ­¥ ¯®±²®¿­­ , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® z0 { ¥¥ ¨§®«¨°®¢ ­­»©­®«¼.  ©¤¥²±¿ > 0 ±® ±¢®©±²¢ ¬¨ B(z0 ; ) D ¨ f1 (z) 6= 0­ := @B(z0 ; ), ² ª ·²® " := minz2 jf1(z)j > 0. “²¢¥°¦¤ ¥¬,·²® B(w0 ; ") . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ jw w0j < ". ® ²¥®°¥¬¥³¸¥ ¢ ®¡« ±²¨ B := B(z0 ; ) ¤«¿ ´³­ª¶¨© f1 ¨ g1 w0 w (­ ¨¬¥¥¬ jg1(z)j < jf1 (z)j) ­ µ®¤¨¬ :Nf w (B ) = Nf1 +g1 (B ) = Nf1 (B ) 1 : 211.6. ‘«¥¤±²¢¨¥. ³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C ¨ f ª®­´®°¬­ ¢D.

’®£¤ = f(D) { ®¡« ±²¼, f { £®¬¥®¬®°´¨§¬ D ¨ .„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ D ¨ «¥¦ ² ¢ C . ˆ§ ¯°¥¤»¤³¹¥©²¥®°¥¬» ±«¥¤³¥² ®²ª°»²®±²¼ , ² ª¦¥ ²®² ´ ª², ·²® ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ f 1 ¯°®®¡° § ¢±¿ª®£® ®²ª°»²®£® ¬­®¦¥±²¢ { ®²ª°»².‘¢¿§­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ . Ž±² «¼­»¥ ±«³· ¨ «¥£ª® ±¢®¤¿²±¿ ª ° ±±¬®²°¥­­®¬³ ± ¯®¬®¹¼¾ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿ 2.28. 2Œ» ² ª¦¥ ¯®«³· ¥¬ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ¢ °¨ ­² ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬».11.7. ’¥®°¥¬ (®¡° ²­»© ¯°¨­¶¨¯ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ £° ­¨¶). ³±²¼ D { ¦®°¤ ­®¢ ®¡« ±²¼ ¢ C ± (¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®©) £° ­¨¶¥© + , f 2 A(D) \ C(D), ¯°¨·¥¬ f { ¢§ ¨¬­®®¤­®§­ ·­ ­ @D. ’®£¤ + = f( + ) { ¦®°¤ ­®¢ (§ ¬ª­³-² ¿) ª°¨¢ ¿, ®°¨¥­²¨°®¢ ­­ ¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®²­®±¨²¥«¼­® ®£° ­¨·¥­­®© ¥¾ ®¡« ±²¨ , f { ª®­´®°¬­® ®²®¡° ¦ ¥² D ­ .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

®±¨²¥«¨ + ¨ + ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§¨±®®²¢¥²±²¢¥­­®. †®°¤ ­®¢®±²¼ + ®·¥¢¨¤­ , ² ª ·²® ¯® ²¥®°¥¬¥ †®°¤ ­ ®­ "®£° ­¨·¨¢ ¥²" ­¥ª®²®°³¾ ®¡« ±²¼ (¢ C w ).³±²¼ b 2 C n . ® ¯°¨­¶¨¯³ °£³¬¥­² (¢¢¨¤³ f b 6= 0 ­ )¨¬¥¥¬:1 + Arg(f b) = 1 + Arg(w b) = 1ND (f b) = 22 ¯°¨ b 2 (¯®±ª®«¼ª³ ND (f b) 0, ²® ±«³· © §­ ·¥­¨¿ 1 ¢¯®±«¥¤­¥¬ ° ¢¥­±²¢¥ ¨±ª«¾· ¥²±¿).

€­ «®£¨·­®, ND (f b) = 0¯°¨ b 2= . 274Ž¤­®«¨±²­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨ ¨µ ±µ®¤¿¹¨¥±¿¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¸¥© ¶¥«¼¾ ¿¢«¿¥²±¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ¨¬ ­ ¨ ²¥®°¥¬» Š ° ²¥®¤®°¨ (· ±²­®£® ±«³· ¿). „«¿ ½²®£® ­ ¬ ¯®²°¥¡³¥²±¿ §­ ·¨²¥«¼­ ¿ ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­ ¿ ¯®¤£®²®¢ª .11.8. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f 2 A(a), a 2 C . ”³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ ®¤­®«¨±²­®© ¢ ²®·ª¥ a, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² > 0 ² ª®¥,·²® f ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­ ¢ B(a; ).³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C .11.9. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

”³­ª¶¨¿ f 2 A(D) «®ª «¼­® ®¤­®«¨±²­ ¢ D, ¥±«¨ f ®¤­®«¨±²­ ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ®¡« ±²¨ D.11.10. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f 2 A(D) ®¤­®«¨±²­ ¢®¡« ±²¨ D, ¥±«¨ ®­ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­ ¢ D. (‚±¾¤³ ­¨¦¥ ²¥°¬¨­ \®¤­®«¨±²­®±²¼ ´³­ª¶¨¨ ¢ ®¡« ±²¨" ¯®¤° §³¬¥¢ ¥² ¥¥ £®«®¬®°´­®±²¼ ¢ ²®© ¦¥ ®¡« ±²¨).11.11. ’¥®°¥¬ (ª°¨²¥°¨¨ ®¤­®«¨±²­®±²¨).(1) f 2 A(a) ®¤­®«¨±²­ ¢ ²®·ª¥ a, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ f 0 (a) 6= 0;(2) f { «®ª «¼­® ®¤­®«¨±²­ ¢ ®¡« ±²¨ D, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨f 2 A(D) ¨ f 0 (z) 6= 0 ¯°¨ ¢±¥µ z 2 D;(3) f { ®¤­®«¨±²­ ¢ ®¡« ±²¨ D, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ f ª®­´®°¬­ ¢ D ¨ ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ 1.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

„®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ (1) ¨ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ª°¨²¥°¨¥¬ ª®­´®°¬­®±²¨(’¥®°¥¬ 2.26). ˆ² ª, ¯³±²¼ a 2 C ,f 2 A(a) ¨ f 0 (a) 6= 0. ®«®¦¨¬ f(z) f(a) = f 0 (a)(z a) +h(z)(z a) , £¤¥ h £®«®¬®°´­ ² ¬ ¦¥, £¤¥ ¨ f (¢®§¬®¦­ ¿ ®±®¡¥­­®±²¼ ³ h ¢ ²®·ª¥ a ³±²° ­¨¬ ), ¯°¨·¥¬ h(a) = 0. C«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­ ©¤¥²±¿ 1 > 0 ² ª®¥, ·²® f ¨ h £®«®¬®°´­» ¢ § ¬»ª ­¨¨ ®¡« ±²¨ G1 := B(a; 1 ), ¯°¨·¥¬ khkG1 < jf 0 (a)j=2.

‚»¡¥°¥¬2 2 (0; 1) ² ª, ·²® jf(z) f(a)j < jf 0 (a)j1 =2 ¯°¨ z 2 G2 :=B(a; 2 ). „®ª ¦¥¬ ®¤­®«¨±²­®±²¼ f ¢ G2, ¨±¯®«¼§³¿ ²¥®°¥¬³ ³¸¥ ¢ ®¡« ±²¨ G1. ”¨ª±¨°³¥¬ b 2 G2, ²®£¤ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jf(b) f(a)j < jf 0 (a)j1 =2. ®«®¦¨¬ f1 (z) = f 0 (a)(z a),g1(z) = h(z)(z a) + f(a) f(b), ²®£¤ f(z) f(b) = f1 (z)+g1 (z),¯°¨·¥¬ ¯°¨ z 2 @G1 ¨¬¥¥² ¬¥±²® jf1(z)j = jf 0(a)j1 ¨jg1(z)j jf 0 (a)j1 =2 + jf 0 (a)j1 =2 < jf1 (z)j :75® ²¥®°¥¬¥ ³¸¥ ´³­ª¶¨¿ f(z) f(b) ¨¬¥¥² ¢ G1 ±²®«¼ª® ¦¥­³«¥©, ±ª®«¼ª® f1 , ².¥. ®¤¨­ ­®«¼ z = b.Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ f 0 (a) = 0.

„®ª ¦¥¬ ­¥®¤­®«¨±²­®±²¼ f ¢ .³±²¼ f(z) 6 f(a) ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a (¨­ ·¥ ¢±¥ ²°¨¢¨ «¼­®),²®£¤ ­ ©¤³²±¿ n 2 (n 2 Z) ¨ g 2 A(a) ² ª¨¥, ·²® f(z) f(a) =(z a)n g(z), ¯°¨·¥¬ g(a) p6= 0. ‚»¡¥°¥¬ £®«®¬®°´­³¾ ¢¥²¢¼ V (w)¬­®£®§­ ·­®© ´³­ª¶¨¨ n w ¢ B(g(a); jg(a)j) ¨ ®¯°¥¤¥«¨¬ h(z) =V (g(z)) 2 A(a). ’®£¤ f(z) f(a) = ((z a)h(z))n ¥±²¼ ª®¬¯®§¨¶¨¿®¤­®«¨±²­®© ¢ ²®·ª¥ a ´³­ª¶¨¨ w1 (z) = (za)h(z) ¨ ´³­ª¶¨¨w2(w1 ) = w1n, \±ª«¥¨¢ ¾¹¥©" ²®·ª¨ ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨w1 = 0. 211.12. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

³±²¼ f 2 A(a); a 2 C . ƒ®¢®°¿², ·²® f«®ª «¼­® ®¡° ²¨¬ ¢ ²®·ª¥ , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾² ®ª°¥±²­®±²¼ G²®·ª¨ , ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ f(a) ¨ ´³­ª¶¨¿ g 2 A() ² ª¨¥,·²® g(f(z)) = z ¤«¿ ¢±¥µ z 2 G.11.13. ’¥®°¥¬ . ”³­ª¶¨¿ f 2 A(a) «®ª «¼­® ®¡° ²¨¬ ¢²®·ª¥ a 2 C ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ f 0 (a) 6= 0.„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ f 0 (a) = 0, ²® «®ª «¼­®© ®¡° ²¨¬®±²¨¢ ²®·ª¥ a ­¥² (±¬. ª®­¥¶ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬»).³±²¼ ²¥¯¥°¼ f 0 (a) 6= 0, ²®£¤ ¯® ’¥®°¥¬¥ 11.11 ±³¹¥±²¢³¥² (ª°³£®¢ ¿) ®ª°¥±²­®±²¼ G ²®·ª¨ a, £¤¥ f ®¤­®«¨±²­ (¨ £®«®¬®°´­ ).® ’¥®°¥¬¥ 11.5 (¯°¨­¶¨¯ ±®µ° ­¥­¨¿ ®¡« ±²¨) ´³­ª¶¨¿ f £®¬¥®¬®°´­® ®²®¡° ¦ ¥² G ­ ®¡« ±²¼ = f(G) (¯°®®¡° § ¢±¿ª®£®®²ª°»²®£® ¬­®¦¥±²¢ ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ ' = f 1 j ®²ª°»²).

®’¥®°¥¬¥ 2.18 (®¡ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨), ' 2 A(). 211.14. ’¥®°¥¬ (ƒ³°¢¨¶ ). ³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C ¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn g1n=1 A(D) ° ¢­®¬¥°­® ±µ®¤¨²±¿ ª f ¢­³²°¨D ¯°¨ n ! 1. …±«¨ f ­¥ ¯®±²®¿­­ ¢ D ¨ f(a) = 0 ¢ ­¥ª®²®°®©²®·ª¥ a 2 D, ²® ¤«¿ «¾¡®£® > 0 ­ ©¤¥²±¿ N 1 ² ª®¥, ·²® ¯°¨¢±¥µ n > N ³ ´³­ª¶¨¨ fn ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ­®«¼ ¢ B(a; ).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±ª®«¼ª³ f(z) 6 0 ¢ D, ²® ¯® ’¥®°¥¬¥6.14 (¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨) ­ ©¤¥²±¿ 1 2 (0; minf; dist(a; @D)g) ² ª®¥, ·²® ¯°¨ G := B(a; 1 ) ¨¬¥¥¬:min jf(z)j = > 0 :z2@Gˆ§ ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ ffn g ª f ­ @G ­ ©¤¥²±¿ ­ ²³° «¼­®¥ N ² ª®¥, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ n > N ¨¬¥¥² ¬¥±²® jfn (z) f(z)j < ¯°¨ z 2 @G.

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