П.В. Парамонов - Избранные главы комплексного анализа (1124318), страница 11

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® ²¥®°¥¬¥ ³¸¥ ¢ G, ¯°¨¬¥­¥­­®© ª ´³­ª¶¨¿¬ f ¨76g = fn f ­ µ®¤¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¿ fn = f + g ¨¬¥¥² ¢ G µ®²¿ ¡»®¤¨­ ­®«¼. 211.15. ’¥®°¥¬ (® ±µ®¤¿¹¥©±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ®¤­®«¨±²­»µ ´³­ª¶¨©). ³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C , ffn g1n=1 {¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ (£®«®¬®°´­»µ) ´³­ª¶¨©, ®¤­®«¨±²­»µ ¢ D.…±«¨ ffn g ° ¢­®¬¥°­® ±µ®¤¨²±¿ ª f ¢­³²°¨ D ¯°¨ n ! 1, ²® f«¨¡® ®¤­®«¨±²­ ¢ D, «¨¡® ¯®±²®¿­­ .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

® ’¥®°¥¬¥ 6.12 (‚¥©¥°¸²° ±± ) f 2 A(D).³±²¼, ®² ¯°®²¨¢­®£®, f 6= const, ­® f ­¥ ®¤­®«¨±²­ , ².¥. ­ ©¤³²±¿ z1 6= z2 ¢ D c ³±«®¢¨¥¬ f(z1 ) = f(z2 ).  ±±¬®²°¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´³­ª¶¨© gn = fn fn (z1 ), ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨D ±µ®¤¿¹³¾±¿ ª ´³­ª¶¨¨ g = f f(z1 ) ¯°¨ n ! 1. ’ ª ª ªg(z2 ) = 0, ²® ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬¥ (¯°¨ = jz1 z2 j) ¤«¿¢±¥µ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ n ­ ©¤³²±¿ ²®·ª¨ zn 2 D \ B(z2 ; )(².¥. zn 6= z1 ) c ³±«®¢¨¥¬ gn(zn ) = 0.

 ¢¥­±²¢® fn (zn ) = fn (z1 )¯°®²¨¢®°¥·¨² ®¤­®«¨±²­®±²¨ fn ¢ D. 211.16.  ©²¨ ·¨±«® ª®°­¥© ¬­®£®·«¥­ p(z) = z 3 +2z 2 +3z+8:(a) ¢ «¥¢®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨; (b) ¢ ¢¥°µ­¥© ¯®«³¯«®±ª®±²¨; (c) ¢¯®«³ª°³£¥ fjz j < 4; Im(z) > 0g:11.17. „®ª § ²¼, ·²® ³° ¢­¥­¨¥ sin(z) = z ¨¬¥¥² ¢ C ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®£® °¥¸¥­¨©.11.18. „®ª § ²¼, ·²® ´³­ª¶¨¿ ze z ®¤­®«¨±²­ ¢ ª°³£¥fjz j < 1g ¨ ­¨ ¢ ª ª®¬ ¡®«¼¸¥¬ ª°³£¥ ± ¶¥­²°®¬ ¢ ­³«¥.11.19. ˆ±±«¥¤®¢ ²¼ ­ ³±²®©·¨¢®±²¼ ­³«¥¢®¥ °¥¸¥­¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ³° ¢­¥­¨¿ y000 +py00 +qy0 +12y = 0 ¯°¨ ° §«¨·­»µ§­ ·¥­¨¿µ ¯ ° ¬¥²°®¢ p > 0 ¨ q > 0.11.20.

„®ª § ²¼, ·²® ³° ¢­¥­¨¥ tg(z) = z ¨¬¥¥² ²®«¼ª® ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ª®°­¨.11.21. „®ª § ²¼, ·²® ¢±¿ª®¥ £®«®¬®°´­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ § ¬ª­³²®£® ª°³£ ¢ ±¥¡¿ ¨¬¥¥² ­¥¯®¤¢¨¦­³¾ ²®·ª³.11.22. Ž±² ­¥²±¿ «¨ ¢¥°­»¬ ®¡° ²­»© ¯°¨­¶¨¯ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ £° ­¨¶, ¥±«¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ®¡« ±²¨ { ¦®°¤ ­®¢» ¢ C , ´³­ª¶¨¿ { ­¥¯°¥°»¢­ ¢ ²®¯®«®£¨¨ C ?77‹¥ª¶¨¿ Â12°¨­¶¨¯ ±¨¬¬¥²°¨¨. ’¥®°¥¬ ¨¬ ­ .°¨­¶¨¯ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¨¬ ­ -˜¢ °¶ 12.1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ E C , f0 : E ! C , D C {®¡« ±²¼, ±®¤¥°¦ ¹ ¿ E. …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² f 2 A(D) ± ³±«®¢¨¥¬f jE = f0, ²® f ­ §»¢ ¥²±¿ ­ «¨²¨·¥±ª¨¬ (£®«®¬®´­»¬) ¯°®¤®«¦¥­¨¥¬ f0 ± … ­ D.‡ ¤ · ­ «¨²¨·¥±ª®£® ¯°®¤®«¦¥­¨¿ ±®±²®¨² ¢ ®²»±ª ­¨¨³±«®¢¨© ­ …, f0 ¨ D, ­¥®¡µ®¤¨¬»µ ¨ ¤®±² ²®·­»µ ¤«¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ f.

’°¥¡³¥²±¿ ² ª¦¥ ³ª § ²¼ ¯°®¶¥¤³°³ ­ µ®¦¤¥­¨¿f.12.2. °¨¬¥°. ³±²¼ E = R, f0 (x) = ex ; cos x; sin x. ’®£¤ ¬®¦­® ¢§¿²¼ D = C , f(z) = ez ; cos z; sin z ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.¥¯®±°¥¤±²¢¥­­»¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ²¥®°¥¬» ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¿¢«¿¥²±¿12.3. °¨­¶¨¯ ­ «¨²¨·¥±ª®£® ¯°®¤®«¦¥­¨¿. …±«¨ …¨¬¥¥² ¯°¥¤¥«¼­³¾ ²®·ª³ ¢ D, ²® ³ f0 ¬®¦¥² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ­¥¡®«¥¥ ®¤­®£® ­ «¨²¨·¥±ª®£® ¯°®¤®«¦¥­¨¿ f ¢ D.‘«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ ¢¥±¼¬ ¢ ¦­ ¢ ¯°¨«®¦¥­¨¿µ. ‚±²°¥· ¾¹¨¥±¿ ¢ «¨²¥° ²³°¥ \³ª®°®·¥­­»¥" ´®°¬³«¨°®¢ª¨ ­ ¤¥«¥ ¯°¨¢®¤¿² ª ­¥²®·­®±²¿¬ ¨«¨ ¤ ¦¥ ®¸¨¡ª ¬.12.4. ’¥®°¥¬ (¯°¨­¶¨¯ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¨¬ ­ -˜¢ °¶ ).³±²¼ D1 ¨ 1 { ®¡« ±²¨ ¢ C , £° ­¨¶» ª®²®°»µ ±®¤¥°¦ ² ¤³£¨1 ¨ 1 ®¡®¡¹¥­­»µ ®ª°³¦­®±²¥© ¨ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® (1 ¨ 1{ ­¥¯³±²», ®²ª°»²» ¨ ±¢¿§­» ¢ ¨ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®). °¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® D1 ¨ 1 ° ±¯®«®¦¥­»¯® ®¤­³ ±²®°®­³ ®² ¨±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ³±²¼ D1 ¨ 1 - ®¡« ±²¨, ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ D1 ¨1 ®²­®±¨²¥«¼­® ¨ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ¯°¨·¥¬ D = D1 [ 1 [ D1¨ = 1 [ 1 [ 1 { ¿¢«¿¾²±¿ ®¡« ±²¿¬¨.

…±«¨ f1 : D1 ! 1{ ª®­´®°¬­»© ¨§®¬®°´¨§¬, ¯°¨·¥¬ f1 ®¯°¥¤¥«¥­ ¨ ­¥¯°¥°»¢­ ­ D1 [ 1 ¨ f1 £®¬¥®¬®°´­® ®²®¡° ¦ ¥² 1 ­ 1 , ²® f1¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ¤® ª®­´®°¬­®£® ¨§®¬®°´¨§¬ D ­ . °¨ ½²®¬ ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ®²­®±¨²¥«¼­® ²®·ª¨78¯¥°¥µ®¤¿² ¢ ²®·ª¨, ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ®²­®±¨²¥«¼­® (¢ · ±²­®±²¨,f(D1 ) = 1 ).„®ª § ²¥«¼±²¢®.  §¡¥°¥¬ ±«³· ©, ª®£¤ 1 6= (¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 1 6= ). °¨ ½²®¬ ¬» ¯°¥¤¯®« £ ¥¬, ·²® ¨ { § ¬ª­³²»¥ ª°¨¢»¥ ¢ C .

Ž±² ¢¸¨©±¿ ±«³· © 1 = ¤®¢¥°¿¥¬ ·¨² ²¥«¾.‘³¹¥±²¢³¥² ¤°®¡­®-«¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' ± ³±«®¢¨¿¬¨~ €­ '(1 ) =: ~1 R ¨ '(D1 ) =: D~ 1 + (¯®« £ ¥¬ '(D) = D).«®£¨·­®, ±³¹¥±²¢³¥² ¤°®¡­®-«¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ± ³±«®¢¨¿¬¨: ( 1 ) =: ~ 1 R ¨ (1 ) =: ~ 1 + (¯®« £ ¥¬ () =: ~ ).Ž¯°¥¤¥«¨¬ f~1 = f1 ' 1 : D~ 1 ! ~ 1 . …±«¨ ¬» ­ ©¤¥¬±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¥ f~ : D~ ! ~ ¤«¿ f~1 , ²® ¨±ª®¬®¥f ° ¢­® 1 f~ '. ˆ² ª, § ¤ · ±¢¥¤¥­ ª ±«³· ¾ = = R,ª®²®°»© ¬» ¨ ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼, ®²®¦¤¥±²¢«¿¿ ®¡®§­ ·¥­¨¿± \²¨«¼¤®©" ¨ ¡¥§. ®«®¦¨¬ f(z) = f1 (z) ¯°¨ z 2 D1 [ 1 ¨ f(z) =f1 (z) ¯°¨ z 2 D1 . ˆ±¯®«¼§³¿ ° §«®¦¥­¨¿ f1 ¢ °¿¤» ’¥©«®° ¢ª°³£ µ ¨§ D1 , «¥£ª® ¯®ª § ²¼, ·²® f 2 A(D1 ).

Š°®¬¥ ²®£®, f­¥¯°¥°»¢­ ¢ D. ˆ§ ’¥®°¥¬» 6.8 (Œ®°¥°») ¯®«³· ¥¬, ·²® f 2A(D). Š®­´®°¬­®±²¼ f ¢ D ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¥¥ ®¤­®«¨±²­®±²¨. 212.5. ’¥®°¥¬ (¯°¨­¶¨¯ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¤«¿ ¬¥°®¬®°´­»µ´³­ª¶¨©). ³±²¼ ; 1 ; D1; D1 ; D { ² ª¨¥ ¦¥, ª ª ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬¥. ³±²¼ f1 ¬¥°®¬®°´­ ¢ D1 (².¥. f1 £®«®¬®°´­ ¢ D1 , § ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ¤¨±ª°¥²­®£® ¬­®¦¥±²¢ ¯®«¾±®¢). ³±²¼f 2 C(D1 [ 1 ) (¢ ±¬»±«¥ ²®¯®«®£¨¨ C ¢ ¯°®®¡° §¥ ¨ ®¡° §¥).³±²¼ { ®¡®¡¹¥­­ ¿ ®ª°³¦­®±²¼ ¨ f(1 ) . ’®£¤ f1 ¯°®-¤®«¦ ¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¤® ¬¥°®¬®°´­®© ´³­ª¶¨¨ ¢D, ¯°¨ ½²®¬ ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ®²­®±¨²¥«¼­® ²®·ª¨ ¯¥°¥µ®¤¿² ¢²®·ª¨, ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ®²­®±¨²¥«¼­® .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

€­ «®£¨·­® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³.°®±²° ­±²¢ ´³­ª¶¨© ¨ ´³­ª¶¨®­ «»³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C , ff g { ­¥ª®²®°®¥ ±¥¬¥©±²¢® ´³­ª¶¨©¨§ D ¢ C .12.6. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ‘¥¬¥©±²¢® ff g ­ §»¢ ¥²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ®£° ­¨·¥­­»¬ ¢­³²°¨ D, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ª®¬¯ ª² K D­ ©¤¥²±¿ M 2 (0; +1) ² ª®¥, ·²® kf kK M ¤«¿ ¢±¥µ f 2 ff g.12.7. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ‘¥¬¥©±²¢® ff g ­ §»¢ ¥²±¿ ° ¢­®±²¥¯¥­­® ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¢­³²°¨ D, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ª®¬¯ ª² K D79¨ «¾¡®£® " > 0 ­ ©¤¥²±¿ > 0 ² ª®¥, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ z1 ; z2 2 K¨§ ³±«®¢¨© jz1 z2 j < ¨ f 2 ff g ±«¥¤³¥², ·²® jf(z1 ) f(z2 )j < ".12.8. ’¥®°¥¬ . ³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C , ff g A(D). …±«¨ ff g ° ¢­®¬¥°­® ®£° ­¨·¥­® ¢­³²°¨ D, ²® ®­® ° ¢­®±²¥¯¥­­®­¥¯°¥°»¢­® ¢­³²°¨ D.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ”¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ª®¬¯ ª² K ¢ D¨ ¯®«®¦¨¬d = minfdist(K; @D); 1g ; d > 0:°¨ 2 (0; d) ®¯°¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥±²¢® K = [z2K B(z; ) (­ §»¢ ¥¬®¥ -° §¤³²¨¥¬ K).

Ÿ±­®, ·²® K { ª®¬¯ ª² ¢ D. ˆ§ ³±«®¢¨¿° ¢­®¬¥°­®© ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ff g ¢­³²°¨ D ±«¥¤³¥², ·²® ­ ©¤¥²±¿ M 2 (0; +1) ² ª®¥, ·²® kf kKd=2 M ¤«¿ ¢±¥µ f 2 ff g. Ž¶¥­¨¬ jf 0 (z)j ¯°¨ z 2 Kd=4 . „«¿ ² ª¨µ z ¨¬¥¥¬ B(z; d=4) Kd=2 ,² ª ·²® ¬®¦­® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ´®°¬³«®© K®¸¨ ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­®© f 0 (z) ; z 2 Kd=4 : Zf() d 1 M 2d=4 = 4M ; 2i @B(z;d=4) ( z)2 2 (d=4)2 djf 0 (z)j = 1² ª¨¬ ®¡° §®¬, ±¥¬¥©±²¢® ff 0 g ² ª¦¥ ° ¢­®¬¥°­® ®£° ­¨·¥­® ¢­³²°¨ D. ”¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ " > 0 ¨ ¯®«®¦¨¬ =minfd=4 ; "d=(4M)g. „«¿ «¾¡»µ z1 ¨ z2 ¨§ K ± ³±«®¢¨¥¬ jz1 z2 j < ¢»¯®«­¿¥²±¿ [z1 ; z2] Kd=4 , ®²ª³¤ ¯® ´®°¬³«¥ ¼¾²®­ {‹¥©¡­¨¶ ¯®«³· ¥¬:jf(z1 ) f(z2 )j = jZ[z1 ;z2 ]f 0 (z)dz j < 4M=d " : 212.9. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

‘¥¬¥©±²¢® ff g ­ §»¢ ¥²±¿¯°¥¤ª®¬-D (¢ ²®¯®«®£¨¨ ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ ¢­³²°¨ D), ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ffn g1n=1 ff g (².¥.ª ¦¤ ¿1 fn 2 ff g) ±³¹¥±²¢³¥² ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffnk g1k=1¢ ffn gn=1, ª®²®° ¿ ° ¢­®¬¥°­® ±µ®¤¨²±¿ ¢­³²°¨ D (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ª ½«¥¬¥­²³ ¨§ ff g).12.10. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. …±«¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ «¾¡ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffng ¨§ ff g ¨¬¥¥² ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffnk g ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ D ±µ®¤¿¹³¾±¿ ª ½«¥¬¥­²³ ¨§ff g , ²® ±¥¬¥©±²¢® ff g ­ §»¢ ¥²±¿ ª®¬¯ ª²­»¬ ¢­³²°¨ D.¯ ª²­»¬ ¢­³²°¨8012.11. ’¥®°¥¬ (Œ®­²¥«¿).

…±«¨ ff g A(D) ° ¢­®¬¥°­®®£° ­¨·¥­® ¢­³²°¨ D, ²® ®­® ¯°¥¤ª®¬¯ ª²­® ¢­³²°¨ D.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ff g A(D) ° ¢­®¬¥°­® ®£° ­¨·¥­®¢­³²°¨ D. ‡ ­³¬¥°³¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ fzm g1m=1 ¢±¥ ²®·ª¨ ¨§ D, ¨¬¥¾¹¨¥ (®¡¥) ° ¶¨®­ «¼­»¥ ª®®°¤¨­ ²». ”¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn g1n=1 ¨§ ff g. Š ¦¤ ¿²®·ª zm { ª®¬¯ ª², ¯®½²®¬³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn (z1 )g ° ¢­®¬¥°­® ®£° ­¨·¥­ ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ³ ­¥¥ ­ ©¤¥²±¿ ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn1k (z1 )g. €­ «®£¨·­®, ¢ ²®·ª¥ z2 ,¨§ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ffn1k (z2 )g ¢»¤¥«¿¥¬ ±µ®¤¿¹³¾±¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn2 (z2 )g ¨ ² ª ¤ «¥¥.

‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¤¨ k£®­ «¼­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffnk g ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾, ·²®kffnkk (zm )g ±µ®¤¨²±¿ ª ª®­¥·­®¬³ ¯°¥¤¥«³ ¤«¿ «¾¡®£® ­®¬¥° m.¥ ­ °³¸ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬» ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ffnkk g = ffn g.³±²¼ K { ¯°®¨§¢®«¼­»© ª®¬¯ ª² ¢ D.  ¤® ¤®ª § ²¼, ·²® ffn g±µ®¤¨²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ­ K. ³±²¼ " > 0 { ¯°®¨§¢®«¼­® ¨ d =minfdist(K; @D); 1g.  Kd=2 ±¥¬¥©±²¢® ffn g ° ¢­®±²¥¯¥­­® ­¥¯°¥°»¢­® (±¬.

’¥®°¥¬³ 12.8), ¯®½²®¬³ ­ ©¤¥²±¿ 2 (0; d=2) ² ª®¥, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ z ¨ z 0 ¨§ Kd=2 ± ³±«®¢¨¥¬ jz z 0 j < ¨ ¤«¿¢±¥µ n ¢»¯®«­¿¥²±¿ jfn (z) fn (z 0 )j < "=3. ‚»¡¥°¥¬ ª®­¥·­³¾-±¥²¼ fzm(s) gs2S (¨§ ²®·¥ª ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fzm g1m=1 ) ¤«¿ª®¬¯ ª² Š.

®±ª®«¼ª³ S ª®­¥·­®, ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° N ² ª®©,·²® ¯°¨ ¢±¥µ n(1) > N, n(2) > N ¨ s 2 S ¢»¯®«­¿¥²±¿ ®¶¥­ª jfn(1)(zm(s) ) fn(2)(zm(s) )j < "=3. „®ª ¦¥¬, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ z 2 K¨ n(1) > N, n(2) > N ¨¬¥¥² ¬¥±²® jfn(1)(z) fn(2)(z)j < ", ®²ª³¤ ¯® ª°¨²¥°¨¾ Š®¸¨ ¯®«³·¨¬, ·²® ffng ° ¢­®¬¥°­® ±µ®¤¨²±¿­ Š. ”¨ª±¨°³¥¬ z 2 K, ²®£¤ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ -±¥²¨ ­ ©¤¥²±¿zm(s) , s 2 S, ± ³±«®¢¨¥¬ jz zm(s) j < . ‘³¬¬¨°³¿ ¢»¸¥±ª § ­­®¥,¯®«³· ¥¬:jfn(1)(z) fn(2) (z)j jfn(1)(z) fn(1) (zm(s) )j+jfn(1)(zm(s) ) fn(2) (zm(s) )j + jfn(2)(zm(s) ) fn(2)(z)j < 3 3" = " : 212.12.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ ff g - ±¥¬¥©±²¢® ´³­ª¶¨© ¢ ®¡« ±²¨ D C , J : ff g ! C { ´³­ª¶¨®­ «. ”³­ª¶¨®­ « J ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­»¬ ­ ff g (¢ ²®¯®«®£¨¨ ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ ¢­³²°¨ D), ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ f0 2 ff g ¨ ffng ff g ¨§ ³±«®¢¨© fn ! f0 ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ D ¯°¨ n ! 1 ±«¥¤³¥², ·²®limn!1 J(fn ) = J(f0 ).8112.13. °¥¤«®¦¥­¨¥. …±«¨ ff g ª®¬¯ ª²­® ¢­³²°¨ D ¨ J {­¥¯°¥°»¢­»© ´³­ª¶¨®­ « ­ ff g, ²® J ° ¢­®¬¥°­® ®£° ­¨·¥­ ­ ff g ¨ ¤®±²¨£ ¥² ±¢®¥£® ¬ ª±¨¬³¬ ¬®¤³«¿.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

³±²¼ S = sup jJ(f)j. ’®£¤ ±³¹¥±²¢³¥²f 2ff g¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn g ff g ² ª ¿, ·²® jJ(fn )j ! S ¯°¨ n !1. ˆ§ ª®¬¯ ª²­®±²¨ ff g ­ ©¤¥²±¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffnk g¢ ffn g, ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ D ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ª ­¥ª®²®°®© f0 2 ff g.ˆ§ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ J ¯®«³· ¥¬ jJ(f0 )j = j klimJ(f )j = S.

2!1 nk„®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ¨¬ ­ 12.14. ’¥®°¥¬ (¨¬ ­ ). ³±²¼ D { ®¤­®±¢¿§­ ¿ ®¡« ±²¼¢ C , ®²«¨·­ ¿ ®² C . ’®£¤ D ª®­´®°¬­® ½ª¢¨¢ «¥­²­ ¥¤¨­¨·­®¬³ ª°³£³ B1 = B(0; 1). ®«¥¥ ²®£®, ¤«¿ «¾¡»µ a 2 D ¨ 2 ( ; ]±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­»© ª®­´®°¬­»© ¨§®¬®°´¨§¬ f ¨§ D ­ B1 ± ³±«®¢¨¿¬¨ f(a) = 0, arg(f 0 (a)) = .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

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