П.В. Парамонов - Избранные главы комплексного анализа (1124318), страница 7

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ˆ² ª, jf(z)j M ­ D. Ž±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® f 0 (z) = 0 ¢±¾¤³ ¢ D. ‘«³· © M = 0 ²°¨¢¨ «¥­, ¯³±²¼44¤ «¥¥ M 6= 0. …±«¨, ®²¯°®²¨¢­®£®, ±³¹¥±²¢³¥² z1 2 D ± ³±«®¢¨¥¬f 0 (z1 ) 6= 0, ²® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ¯®«³· ¥¬, ·²® f(z) = f(z1 ) + f 0 (z1 )(z z1 ) + o(z z1), ² ª ·²® jf(z)j­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®±²®¿­­»¬ ­¨ ¢ ª ª®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ z1 .°®²¨¢®°¥·¨¥. ‘«³· © 1 2 D ®±² ¢«¿¥¬ ·¨² ²¥«¾. 26.4. “¯° ¦­¥­¨¥. ³±²¼ D { ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®£° ­¨·¥­­ ¿®¡« ±²¼ ¢ C ¨ f 2 A(D), ¯°¨·¥¬ ¢±¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨ jf(z)j ­ @D ¨§­³²°¨ D ­¥ ¯°¥¢»¸ ¾² ª®­±² ­²» M 2[0; +1).

’®£¤ ¤«¿ «¾¡®£® z 2 D ¨¬¥¥¬ jf(z)j M.6.5. ’¥®°¥¬ (®±­®¢­ ¿ ²¥®°¥¬ «£¥¡°»). ³±²¼ p(z) =an z n + + a1 z + a0 { ¯°®¨§¢®«¼­»© ¬­®£®·«¥­ ª®¬¯«¥ª±­®£®¯¥°¥¬¥­­®£® z, an 6= 0. ’®£¤ p ¨¬¥¥² ¢ C °®¢­® n ª®°­¥© ±³·¥²®¬ ª° ²­®±²¨.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ n 1. ® ¨­¤³ª¶¨¨ ¨ ²¥®°¥¬¥ ¥§³¢±¥ ±¢®¤¨²±¿ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ µ®²¿ ¡» ®¤­®£®ª®°­¿. ³±²¼, ®² ¯°®²¨¢­®£®, p(z) 6= 0 ¯°¨ ¢±¥µ z. ’®£¤ f(z) =1=p(z) { ¶¥« ¿ ´³­ª¶¨¿.

®±ª®«¼ª³ jp(z)j ! +1 ¯°¨ z ! 1,¬» ¯®«³· ¥¬, ·²® jf(z)j ! 0 ¯°¨ z ! 1. °¨¬¥­¿¿ ¯°¨­¶¨¯¬ ª±¨¬³¬ ¬®¤³«¿ ¤«¿ f ¢ ª°³£ µ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸®£® ° ¤¨³± (± ¶¥­²°®¬ ¢ 0), ¯®«³· ¥¬, ·²® f(0) = 0. °®²¨¢®°¥·¨¥. 26.6. ’¥®°¥¬ (´®°¬³« Š®¸¨ ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¨ ¡¥±ª®­¥·­ ¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼ £®«®¬®°´­»µ ´³­ª¶¨©).³±²¼ D { ¤®¯³±²¨¬ ¿ ®¡« ±²¼ ±® ±¯°¿¬«¿¥¬®© £° ­¨¶¥©, f 2A(D). ’®£¤ ¤«¿ «¾¡»µ k 2 Z+ ¨ z0 2 D ±¯° ¢¥¤«¨¢ ´®°¬³« :k! Zf(z)dz ;f (k) (z0 ) = 2i(zz0 )k+1+@ D¢ · ±²­®±²¨, f (k) £®«®¬®°´­ ¢ D.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ¨­¤³ª¶¨¨. ³±²¼ ´®°¬³« ±¯° ¢¥¤«¨¢ ¤«¿ ¤ ­­®£® k ¨ ¢±¥µ z0 2 D. „®ª ¦¥¬ ¥¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ¤«¿ k+1¨ ¢±¥µ z0 2 D. ”¨ª±¨°³¥¬ z0 2 D ¨ ¯®«®¦¨¬ d = dist(z0 ; @D).³±²¼ ¢±¾¤³ ¤ «¥¥ z 2 B(0; d), z 6= 0.

ˆ¬¥¥¬:Zk!(k)(k)(f (z0 + z) f (z0 ))=z = 2i + f(z)gz (z)dz ;@ D£¤¥111gz (z) = z(z z z)k+1 (z z )k+1 :0045Ž±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® gz !g0 ­ @D ¯°¨ z ! 0 (£¤¥g0(z) = (k+1)(z z0 ) k 2) ¨ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ °¥¤«®¦¥­¨¥¬ 4.2.„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ³ª § ­­®© ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ ±«¥¤³¥²³·¥±²¼, ·²®kX+11j(zz)(zz0 z)k+2 j ;0j =1¯°¨·¥¬ k(z z0 z) 1 (z z0) 1 k@D = O(z) ! 0 ¯°¨ z !0. 26.7.

‘«¥¤±²¢¨¥. …±«¨ f ¨¬¥¥² ¢ D ª®¬¯«¥ª±­³¾ ¯¥°¢®®¡° §­³¾, ²® f 2 A(D).6.8. ’¥®°¥¬ (Œ®°¥°»). ³±²¼ D { ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¡« ±²¼¢ C , f 2 C(D)R ¨ ¤«¿ ¢±¿ª®£® ²°¥³£®«¼­¨ª ± ³±«®¢¨¥¬ D¨¬¥¥² ¬¥±²® @ + f(z)dz = 0. ’®£¤ f 2 A(D).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ’¥®°¥¬®© 5.3 (¢ ª°³£ µ ¨§D) ¨ ¯®±«¥¤­¨¬ ‘«¥¤±²¢¨¥¬. 26.9. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C . ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn g ´³­ª¶¨© fn : D ! C ±µ®¤¨²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ Dª ´³­ª¶¨¨ f ¯°¨ n ! 1, ¥±«¨ ½² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¨²±¿ª f ° ¢­®¬¥°­® ­ ¢±¿ª®¬ ª®¬¯ ª²¥ K ¨§ D (².¥. kf fn kK ! 0¯°¨ n ! 1).6.10. ‡ ¬¥· ­¨¥.

 ¢­®¬¥°­ ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¢­³²°¨ D ±« ¡¥¥° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ ¢ (­ ) ®¡« ±²¨ D. ‚ ª ·¥±²¢¥ ¯°¨¬¥° ¬®¦­® ¢§¿²¼ D = B(0; 1), fn (z) = z n (n = 1; 2; ), f = 0.P f6.11. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C . ¿¤ 1n=1 n´³­ª¶¨© fn : D ! C ±µ®¤¨²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ D ª ±¢®¥©±³¬¬¥ S, ¥±«¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fSn g · ±²¨·­»µ ±³¬¬ ½²®£®°¿¤ ±µ®¤¨²±¿ ª S ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ D ¯°¨ n ! 1.6.12. ’¥®°¥¬ (‚¥©¥°¸²° ±± ).

³±²¼ ffn g A(D) ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ D ±µ®¤¨²±¿ ª ´³­ª¶¨¨ f ¯°¨ n ! 1. ’®£¤ f 2 A(D) ¨ ¤«¿ ¢±¿ª®£® k 2 f1; 2; g ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn(k) g±µ®¤¨²±¿ ª f (k) ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ D ¯°¨ n ! 1.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘¢®©±²¢® f 2 A(D) ±«¥¤³¥² ¨§ ‹¥¬¬» 4.12(ƒ³°±»), °¥¤«®¦¥­¨¿ 4.2 ¨ ’¥®°¥¬» 6.8 (Œ®°¥° ).gz (z) =46ˆ§ ±®®¡° ¦¥­¨© ¨­¤³ª¶¨¨ ¨ ª®¬¯ ª²­®±²¨ ­ ¬ ¤®±² ²®·­®³±² ­®¢¨²¼, ·²® kfn0 f 0 kK ! 0 ¯°¨ n ! +1, £¤¥ K { ¯°®¨§¢®«¼­»© § ¬ª­³²»© ª°³£ ¢ D. ³±²¼ K = B(a; r) ¨ d > 0 ² ª®¢®, ·²®B(a; r + d) D.

®«®¦¨¬ + = @ + B(a; r + d) ( = @B(a; r + d) {ª®¬¯ ª² ¢ D) ¨ ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ’¥®°¥¬®© 6.6 ¤«¿ fn ¨ f ¢ ®¡« ±²¨B(a; r + d) ¯°¨ k = 1. …±«¨ z0 2 K, ²®Z f (z) f(z) 100jfn(z0 ) f (z0 )j = 2 + n(z z )2 dz 01 kf f k d 22(r + d) ! 0 2n¯°¨ n ! 1, ¯®±ª®«¼ª³ fn ! f ° ¢­®¬¥°­® ­ . 2Œ» ®±² ¢«¿¥¬ ¤«¿ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®£® ¨§³·¥­¨¿ (¨«¨ ¯®¢²®°¥­¨¿) ±«¥¤³¾¹¨¥ ²¥¬», ªª³° ²­®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ª®²®°»µ ¬®¦­®­ ©²¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ¶¨²¨°³¥¬®¬ ° ­¥¥ (±¬. ­­®² ¶¨¾) ³·¥¡­¨ª¥.‚. ˜ ¡ ² .„®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» Š®¸¨ ® ° §«®¦¥­¨¨ £®«®¬®°´­®© ¢ª°³£¥ ´³­ª¶¨¨ ¢ °¿¤ ’¥©«®° (±¬.

­¨¦¥), ¢»¢®¤ \² ¡«¨·­»µ"° §«®¦¥­¨© ’¥©«®° , ±¢®©±²¢ ±²¥¯¥­­»µ °¿¤®¢ (²¥®°¥¬ €¡¥«¿, ª°³£ ±µ®¤¨¬®±²¨, ´®°¬³« Š®¸¨-€¤ ¬ ° , ¯®·«¥­­®¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ±²¥¯¥­­®£® °¿¤ ). ³«¨ £®«®¬®°´­»µ ´³­ª¶¨© (¯®°¿¤®ª ­³«¿, ²¥®°¥¬ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨),°¿¤» ‹®° ­ (ª®«¼¶® ±µ®¤¨¬®±²¨, ²¥®°¥¬ ‹®° ­ , ­¥° ¢¥­±²¢ Š®¸¨), ¨§®«¨°®¢ ­­»¥ ®±®¡»¥ ²®·ª¨ £®«®¬®°´­»µ ´³­ª¶¨© ¨¨µ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¿ (¢ ²¥°¬¨­ µ ¯°¥¤¥«®¢ ¨ ¢ ²¥°¬¨­ µ °¿¤®¢ ‹®° ­ ), ’¥®°¥¬ ‘®µ®¶ª®£®, ‹¥¬¬ ˜¢ °¶ ¨ ¢²®¬®°´¨§¬» ª°³£®¢»µ ®¡« ±²¥©, ¢»·¥²» ¨ ¨µ ¢»·¨±«¥­¨¥.°¨¢¥¤¥¬ ´®°¬³«¨°®¢ª¨ ±«¥¤³¾¹¨µ ²°¥µ ²¥®°¥¬ ¢¢¨¤³ ¨µ¢ ¦­®±²¨.6.13. ’¥®°¥¬ Š®¸¨ ® ° §«®¦¥­¨¨ ¢ °¿¤ ’¥©«®° .³±²¼ f 2 A(B(z0 ; r)), r 2 (0; +1].

’®£¤ f ° §« £ ¥²±¿ ¢® ¢±¥¬ª°³£¥ B(z0 ; r) ¢ ±²¥¯¥­­®© °¿¤f(z) =£¤¥+1Xn=0cn(z z0 )n ;(n)1 Zf()dcn = f n!(z0 ) = 2i@ + B(z0 ;) ( z0 )n+147¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ 2 (0; r). “ª § ­­»© °¿¤ ±µ®¤¨²±¿ (ª f) ¡±®«¾²­® ¨ ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ B(z0 ; r).6.14. ’¥®°¥¬ (¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨).

³±²¼ D { ®¡« ±²¼ ¢ C ,f 2 A(D) ¨ ¬­®¦¥±²¢® ¥¥ ­³«¥© ¨¬¥¥² µ®²¿ ¡» ®¤­³ ¯°¥¤¥«¼­³¾²®·ª³ ¢ D. ’®£¤ f 0 ¢ D.6.15. ’¥®°¥¬ (‹®° ­ ). ³±²¼ V = fz 2 C j r < jz z0 j <Rg { ª®«¼¶® ± ¶¥­²°®¬ z0 (0 r < R +1), f 2 A(V ). ’®£¤ f° §« £ ¥²±¿ ¢±¾¤³ ¢ V ¢ ®¡®¡¹¥­­»© ±²¥¯¥­­®© °¿¤f(z) =£¤¥+1Xn= 11 Zcn = 2icn(z z0 )n ;f()d@ + B(z0 ;) ( z0 )n+1¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ 2 (r; R). “ª § ­­»© °¿¤ ±µ®¤¨²±¿ (ª f) ¡±®«¾²­® ¨ ° ¢­®¬¥°­® ¢­³²°¨ V .48‹¥ª¶¨¿ Â7”®°¬³« ®¬¯¥©¾.‘² ­¤ °²­®¥ ° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶».Ž±­®¢­»¥ ¯°®±²° ­±²¢ ´³­ª¶¨©.”®°¬³« ®¬¯¥©¾ ¯®¬­¨¬, ·²® ¥±«¨ f ¥±²¼ R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢²®·ª¥ a 2 C , ²®, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, 1 @f @f @f@f(a) = @z = 2 @x + i @y :aa® ²¥®°¥¬¥ Š®¸¨-¨¬ ­ f ¿¢«¿¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢²®·ª¥ 2 C , ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ®­ R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¢ ½²®©²®·ª¥ ¨ @f(a) = 0.Ž¯¥° ²®° @ : f ! @f ­ §»¢ ¾² ®¯¥° ²®°®¬ Š®¸¨-¨¬ ­ .³±²¼ { ®²ª°»²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢ C , k 2 Z+ [ f1g.

®«®¦¨¬ C0k () = ff 2 C k () : supp(f) ª®¬¯ ª² ¢ g, £¤¥ supp(f) ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ § ¬ª­³²®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¨§ , ¢­¥ ª®²®°o£® f ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­®«¼ (¢ ). °¨ k = 0 ¯¨¸¥¬ C00 () = C0 ().7.1. ’¥®°¥¬ (´®°¬³« ®¬¯¥©¾). ³±²¼ ' 2 C01 (C ),²®£¤ ¤«¿ ¢±¥µ z 2 C ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥­±²¢®:Z'(z) = 1 @'()dm()z ;C£¤¥ m() { ¬¥° ‹¥¡¥£ ¢ C .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

”¨ª±¨°³¥¬ z 2 C ¨ ­ ©¤¥¬ R > 0 ± ³±«®¢¨¥¬ supp(') B(z; R). ‚¢¥¤¥¬ ¯®«¿°­»¥ ª®®°¤¨­ ²» , ± ¶¥­²°®¬ z: z = ei ; z = e i¯°¨ 6= z. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,e2i = z ; 2 = ( z)( z) : z49„¨´´¥°¥­¶¨°³¿ ¯®±«¥¤­¨¥ ¤¢ ° ¢¥­±²¢ ¯® , ­ µ®¤¨¬:e2i 2i @ = z 2 ; 2 @ = z ;@( z)@®²ª³¤ @ = iei ; @ = ei :@ 2@ 2 ±±¬®²°¨¬ F (; ) = '() = '(z + ei ), ¿¢«¿¾¹³¾±¿ 2 -¯¥°¨®¤¨·¥±ª®© ¯® ¯°¨ > 0. ’®£¤ ¯°¨ 6= z ¨¬¥¥¬:ii@'() = F0 @ + F0 @ = F0 e2 + F0 ie2 :@@ˆ­²¥£°¨°³¿ ¯®¢²®°­® ¢ ¯®«¿°­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¨ ³·¨²»¢ ¿ ¯¥°¨®¤¨·­®±²¼ F ¯® , ¯®«³· ¥¬:1 Z @'()dm() = lim 1 Z 2 Z R (F 0 ei + F 0 iei ) 1 dd = 2 2 ei!0 0 C z Z 2 Z RZ R Z 2 i !10F dd +F0 d d == 2 lim!0 0 0Z21= lim(F (; ) F (R; ))d = '(z);!0 2 0£¤¥ ¢ ¯®±«¥¤­¥¬ ° ¢¥­±²¢¥ ¬» ¯®«¼§³¥¬±¿ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ ' ¢²®·ª¥ z ¨ ³±«®¢¨¥¬ F (R; ) = 0. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¯¥°¥µ®¤®¬ ª ¢¢¥¤¥­­»¬ ¢»¸¥ ¯®«¿°­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ «¥£ª® ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ¨ ¡±®«¾²­ ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨±µ®¤­®£® ¨­²¥£° « .

27.2. ‡ ¬¥· ­¨¥. °¨ z = 0 ¨¬¥¥¬:Z:'(0) = 1 @'()dm()® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡®¡¹¥­­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¯®±«¥¤­¥¥ ®§­ · ¥²,·²® @(1=()) ¥±²¼ -´³­ª¶¨¿ „¨° ª , ².¥. 1=() ¥±²¼ ´³­¤ ¬¥­² «¼­®¥ °¥¸¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ Š®¸¨-¨¬ ­ @f = 0.50‘² ­¤ °²­®¥ ° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶»³±²¼ Z2 = fj = (j1 ; j2) j1 + ij2 gj1 ;j22Z{ ±² ­¤ °²­ ¿ 1°¥¸¥²ª , Z2 = faj j1 + ij2 gj1;j2 2Z{ ±² ­¤ °²­ ¿ -°¥¸¥²ª ( > 0) ¢ C ¨Qj = [j1; (j1 + 1)) [j2; (j2 + 1)){ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¯®±«¥¤­¥© °¥¸¥²ª¥ ª¢ ¤° ²», ¯®ª°»¢ ¾¹¨¥C . ”¨ª±¨°³¥¬ ´³­ª¶¨¾'1 2 C01(B(0; 1)); 0 '1 1;ZB(0;1)'1(z)dm(z) = 1:³±²¼ c1 = k@'1 k, £¤¥, ª ª ¨ ° ­¥¥, ¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ E C¯®« £ ¥¬kf kE = supfjf(z)j : z 2 E g; kf k = kf kC :”¨ª±¨°³¥¬ > 0. ³±²¼ ' (z) = 2'1 (z=), Qj = Qj , Qj j{ ¨­¤¨ª ²®° Qj (².¥. j = 1 ­ Qj ¨ j = 0 ¢­¥ Qj ).°¨ j 2 Z2 ®¯°¥¤¥«¨¬'j (z) 'j (z) =Z' (z )j ()dm(){ ´³­ª¶¨¨ ° §¡¨¥­¨¿ ¥¤¨­¨¶».

‘¯° ¢¥¤«¨¢ 7.3. ‹¥¬¬ . ³±²¼ Bj = B(aj ; 3); j 2 Z2, ²®£¤ X'j 2 C01(Bj ); 0 'j 1; k@'j k c1 ;'j 1 ­ C ;2j 2Z¯°¨·¥¬ ª ¦¤ ¿ ²®·ª z ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 50 ª°³£ ¬ Bj .„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ jzaj j 3 ¨ 2 Qj , ²® jz j > ,®²ª³¤ ' ( z) = 0, ² ª ·²® 'j (z) = 0. „ «¥¥, ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¿ ¯®¯¥°¥¬¥­­»¬ x ¨ y (z = x+ iy), ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ @'j (z) ¯®«³· ¥¬:@'j (z) =Z@' (z )j ()dm(); z 2 C :51‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 'j 2 C01 (Bj ).„«¿ «¾¡®£® z ¨¬¥¥¬:j@'j (z)j ¯®±ª®«¼ª³ZQjj@' (z )jdm() c1 ;@' (w) = @( 12 '1 ( w )) = 13 [@'1 ]( w );¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, k@' k c1P= 3.Ž±² «®±¼ ¤®ª § ²¼, ·²® j 'j 1. „¥©±²¢¨²¥«¼­®:X'j (z) =2j 2ZZ' (z)Xjj ()dm() =Z' (z ) dm() = 1: 2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®±­®¢­»µ ¯°®±²° ­±²¢ ´³­ª¶¨©7.4.

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„«¿ ª®¬¯ ª² X ·¥°¥§ (•) ®¡®§­ · ¥²±¿ § ¬»ª ­¨¥ ¢ ‘(•) ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ fP gjX , £¤¥ fP g {±®¢®ª³¯­®±²¼ ¢±¥µ ¯®«¨­®¬®¢ ª®¬¯«¥ª±­®£® ¯¥°¥¬¥­­®£® z. Ÿ±­®,·²® f 2 P(X), ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ f ° ¢­®¬¥°­® ­ X ¯°¨¡«¨¦ ¥²±¿ (± «¾¡®© ²®·­®±²¼¾) ¯®«¨­®¬ ¬¨ ®² z. Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¥¹¥¯°®±²° ­±²¢® R(X) { § ¬»ª ­¨¥ ¢ ‘(•) ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ fgjX g,£¤¥ g ¯°®¡¥£ ¥² ª« ±± ¢±¥µ ° ¶¨®­ «¼­»µ ´³­ª¶¨© (®² z) ± ¯®«¾± ¬¨ ¢­¥ •. ® ­ «®£¨¨, f 2 R(X) ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ f ° ¢­®¬¥°­® ­ • ¯°¨¡«¨¦ ¥²±¿ ° ¶¨®­ «¼­»¬¨´³­ª¶¨¿¬¨. ª®­¥¶, ¯®«®¦¨¬ CA (X) = C(X) \ A(X o ), £¤¥ E o { ¬­®¦¥±²¢®¢­³²°¥­­¨µ ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢ E. ‘«¥¤³¾¹¨¥ ¢ª«¾·¥­¨¿ ®·¥¢¨¤­»:P (X) R(X) CA(X) C(X):52ˆ­ ·¥ £®¢®°¿, ¯°¨¡«¨¦ ²¼ ¯®«¨­®¬ ¬¨ ¨ ° ¶¨®­ «¼­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ (° ¢­®¬¥°­® ­ X) ¬®¦­® ²®«¼ª® ´³­ª¶¨¨ ª« ±± CA(X)("¯°®±²¥©¸¥¥" ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ¯°¨¡«¨¦ ¥¬®±²¨). ¯®¬­¨¬, ·²® ª®¬¯®­¥­²®© (±¢¿§­®±²¨) ¬­®¦¥±²¢ E ¢ C­ §»¢ ¥²±¿ ¢±¿ª®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ±¢¿§­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¨§ E.…±«¨ E { ®²ª°»²®, ²® ¢±¿ª ¿ ¥£® ±¢¿§­ ¿ ª®¬¯®­¥­² ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾, ¯°¨·¥¬ E ¥±²¼ ª®­¥·­®¥ ¨«¨ ±·¥²­®¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥±¢®¨µ ª®¬¯®­¥­².

®½²®¬³, ¥±«¨ X { ª®¬¯ ª², ²® ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ ±®±²®¨² ¨§ ­¥®£° ­¨·¥­­®© ª®¬¯®­¥­²» ¨ ®£° ­¨·¥­­»µª®¬¯®­¥­² 1; 2; (¥±«¨ ®­¨ ¥±²¼).7.5. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž¡®«®·ª®© ª®¬¯ ª² • ¢ C (®¡®§­ · b ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ª®¬¯ ª² X ¨ ¢±¥µ ®£° ¥²±¿ ·¥°¥§ X)­¨·¥­­»µ ª®¬¯®­¥­² ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¿.“±«®¢¨¥ X = Xb ®·¥¢¨¤­® ®§­ · ¥², ·²® C n X = { ±¢¿§­®.‚ 1885 £. Š. ‚¥©¥°¸²° ±± ¨ Š. ³­£¥ ¤®ª § «¨ ±¢®¨ §­ ¬¥­¨²»¥ ²¥®°¥¬» ® ° ¢­®¬¥°­»µ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿µ ´³­ª¶¨© ¯®«¨­®¬ ¬¨.

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fCA (X) = P(X)g , fX = Xb g.53‹¥ª¶¨¿ Â8‘¢®©±²¢ ¯®²¥­¶¨ « Š®¸¨.„®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ³­£¥‘¢®©±²¢ ¯®²¥­¶¨ « Š®¸¨ ¬ ­¥®¤­®ª° ²­® ¯®­ ¤®¡¨²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.8.1. ‹¥¬¬ . ³±²¼ Š - ª®¬¯ ª², h 2 L1 (K; m()). ®«®¦¨¬Zf(z) = h()dm()K z (¨­²¥£° « ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨ ¢±¥µ z, ±¬. ­¨¦¥). ’®£¤ (a) „«¿ «¾¡®£® ª®¬¯ ª² X ± ³±«®¢¨¥¬ X \ K = ; ¨¬¥¥¬f 2 R(X), ¯°¨·¥¬ f ° ¢­®¬¥°­® ­ • ± «¾¡®© ²®·­®±²¼¾¯°¨¡«¨¦ ¥²±¿ ° ¶¨®­ «¼­»¬¨ ¤°®¡¿¬¨ ¢¨¤ N Xnz an ; £¤¥ an 2 K; n 2 C :n=1(¡) ”³­ª¶¨¿ f £®«®¬®°´­ ¢­¥ Š, f 2 C(C ), f(1) = 0, ¯°¨·¥¬pkf k = kf kC 2M m(K);£¤¥ M = khkK;m { ­®°¬ h ¢ L1 (K; m()).8.2. ‡ ¬¥· ­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f, ®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥©«¥¬¬¥, ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®²¥­¶¨ «®¬ Š®¸¨ ´³­ª¶¨¨ h ¯® ¬¥°¥ ‹¥¡¥£ m(). °¨ ½²®¬ ­ ¸ ´³­ª¶¨¿ h ´¨­¨²­ , ².¥.

®¡° ¹ ¥²±¿ ¢­®«¼ ¢­¥ ª®¬¯ ª² K.„®ª § ²¥«¼±²¢® ‹¥¬¬» 8.1. ( ) ³±²¼ d = dist(X; K), d > 0.°¨ 2 (0; d=2) ° §®¡¼¥¬ Š ­ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® (N = N())¯®¯ °­® ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¡®°¥«¥¢±ª¨µ ¬­®¦¥±²¢ Kn , 1 n N, ± ³±«®¢¨¿¬¨ diam(Kn ) < . ”¨ª±¨°³¥¬an 2 Kn ; n =54ZKnh()dm();²®£¤ ¯°¨ z 2 X ¯®«³· ¥¬:N XN Z h()dm()Z h()dm() Xn =K z z anz KN ZXn=1 KnMn=1Nh()dm() Xn=1n M Z (z an) (z ) dm()z anK (z )(z an)n=1N Xm(K)Mn2 m(Kn ) n=1 dd2 ! 0 ¯°¨ ! 0:N Xn £®«®¬®°´­» ¢­¥ Š, ²® ¢(¡) ®±ª®«¼ª³ ´³­ª¶¨¨zann=1±¨«³ ( ) ¨ ²¥®°¥¬» ‚¥©¥°¸²° ±± f £®«®¬®°´­ ¢­¥ Š.

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