П.В. Парамонов - Избранные главы комплексного анализа (1124318), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

³±²¼ df jz0 (dz) = adz + bdz, £¤¥ a; b 2 C .’®£¤ a = (@f=@z)jz0 ¨ b = (@f=@z)jz0 ­ µ®¤¿²±¿ ®¤­®§­ ·­®.2.7. ‡ ¬¥· ­¨¥. ˆ§ ­ «¨§ µ®°®¸® ¨§¢¥±²­®, ·²® ¥±«¨ u0x ,0uy , vx0 , vy0 ±³¹¥±²¢³¾² ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ (x0; y0 ) ¨ ­¥¯°¥°»¢­»¢ ± ¬®© ½²®© ²®·ª¥, ²® u ¨ v { ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ (x0 ; y0)¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, f { R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¢ ²®·ª¥ z0 .2.8. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¿ ¢ ²®·ª¥ z0 ´³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ z0, ¥±«¨ df jz0 (dz)¨¬¥¥² ¢¨¤ adz (£¤¥ a 2 C { ª®­±² ­² , ².¥ df jz0 ¥±²¼ C -«¨­¥©­ ¿´³­ª¶¨¿ ¯¥°¥¬¥­­®© dz).Ÿ±­®, ·²® ¯®±«¥¤­¥¥ ³±«®¢¨¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ a = @f=@z jz0 ¨, ®¤­®¢°¥¬¥­­®, @f=@z jz0 = 0.142.9.

°¨¬¥°. ”³­ª¶¨¨ f(z) = z n (n 2 N) ¿¢«¿¾²±¿ C ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»¬¨ ¢±¾¤³. °¨ ½²®¬ dz n jz0 (dz) = nz0n 1dz.2.10. ’¥®°¥¬ . ”³­ª¶¨¿ f ¿¢«¿¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®©¢ ²®·ª¥ z0 , ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ f ¨¬¥¥² ¢ ²®·ª¥ z0 ª®¬¯«¥ª±­³¾¯°®¨§¢®¤­³¾ f 0 (z0 ), ².¥. ±³¹¥±²¢³¥²f jz0 (z) =: dflimz !0zdzz0=: f 0 (z0 ):Ž·¥¢¨¤­®. 22.11. ‘«¥¤±²¢¨¥. R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¿ ¢ ²®·ª¥ z0 ´³­ª¶¨¿f ¨¬¥¥² ª®¬¯«¥ª±­³¾ ¯°®¨§¢®¤­³¾f 0 (z0 ), ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨@f=@z jz0 = 0. °¨ ½²®¬ ³±«®¢¨¨ f 0 (z0 ) = @f=@z jz0 .„®ª § ²¥«¼±²¢® ±«¥¤³¾¹¥© ¢ ¦­®© ²¥®°¥¬» ² ª¦¥ ­¥ ±®±² ¢«¿¥² ²°³¤ .2.12. ’¥®°¥¬ (Š®¸¨-¨¬ ­ ). R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¿ ¢²®·ª¥ z0 ´³­ª¶¨¿ f(z) = u(x; y) + iv(x; y) ¿¢«¿¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ½²®© ²®·ª¥ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢»¯®«­¿¾²±¿³±«®¢¨¿ Š®¸¨-¨¬ ­ :u0x (x0; y0) = vy0 (x0; y0 ) ;u0y (x0 ; y0) = vx0 (x0 ; y0) :„®ª § ²¥«¼±²¢®.‘¢®©±²¢ ª®¬¯«¥ª±­®© ¯°®¨§¢®¤­®©³±²¼ f(z) = u(x; y) + iv(x; y) { R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¢ ²®·ª¥z0 = x0 + iy0 .

’®£¤ f ¨­¤³¶¨°³¥² ®²®¡° ¦¥­¨¥ F : (x; y)t !(u(x; y); v(x; y))t ¨§ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ (x0; y0 )t ¢ ¯°®±²° ­±²¢®R2, ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®¥ ¢ ²®·ª¥ (x0 ; y0)t (§¤¥±¼ R2 ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ª ª ¯°®±²° ­±²¢® ±²®«¡¶®¢ f(x; y)t g,t { §­ ª ²° ­±¯®­¨°®¢ ­¨¿).³±²¼ [F 0]jz0 { «¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ R2 ! R2 ± ¬ ²°¨¶¥© u0 u0 x yvx0 vy0 (x0 ;y0 )t2.13. ’¥®°¥¬ . ”³­ª¶¨¿ f ¿¢«¿¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢²®·ª¥ z0 , ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ F ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®15¢ ²®·ª¥ (x0 ; y0)t ¨[F 0]jz0 =abb a :°¨ ½²®¬ a + ib = f 0 (z0 ).2.14. ‘«¥¤±²¢¨¥. …±«¨ f { C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¢ ²®·ª¥ z0 ,0]jz0 ) = jf 0 (z0 )j2. ‚ · ±²­®±²¨, F ¢»°®¦¤¥­® ¢ ²®·ª¥²® det([F(x0; y0 )t (².¥. det([F 0]jz0 ) = 0), ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ f 0 (z0 ) = 0.…±«¨ ¦¥ f 0 (z0 ) 6= 0, ²® [F 0]jz0 ±®µ° ­¿¥² ®°¨¥­² ¶¨¾, ¯®±ª®«¼ª³det([F 0]jz0 ) = jf 0 (z0 )j2 > 0.„®ª § ²¥«¼±²¢ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¢»¸¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ±«¥¤³¾² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ¨ ³±«®¢¨©Š®¸¨-¨¬ ­ .

„¥² «¨ ®¯³±ª ¥¬.2.15. “¯° ¦­¥­¨¥. …±«¨ f ¨ g { C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ z0 , ²® f g, fg, f=g (¯°¨ g(z0 ) 6= 0) { C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢²®·ª¥ z0 ¨ ¢»¯®«­¿¾²±¿ ±² ­¤ °²­»¥ ¯° ¢¨« ¢»·¨±«¥­¨¿ ¯°®¨§¢®¤­»µ.2.16. “¯° ¦­¥­¨¥. ‚»¢¥±²¨ ´®°¬³«» ¤«¿ (@'=@z)jz0 ¨(@'=@z)jz0 ¯°¨ ' = f g, ' = fg, ' = f=g, £¤¥ f ¨ g { R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ z0 .2.17. ’¥®°¥¬ (¯°®¨§¢®¤­ ¿ ±«®¦­®© ´³­ª¶¨¨). ³±²¼g { C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¢ ²®·ª¥ z0 , f { ¢ ²®·ª¥ w0 = g(z0 ).’®£¤ f g(z) = f(g(z)) ¿¢«¿¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥z0 , ¯°¨·¥¬ (f g)0 (z0 ) = f 0 (w0)g0 (z0 ).„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‘² ­¤ °²­®¥, ¯°¿¬®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ½²®©²¥®°¥¬» ²®·­® ² ª®¥ ¦¥, ª ª ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ ­ «¨§¥. °¨¢¥¤¥¬ ¥¹¥ ®¤­®.³±²¼ g ¨­¤³¶¨°³¥² G (¤«¿ ª° ²ª®±²¨ ¯¨¸¥¬ g G), f F .® ’¥®°¥¬¥ 2.13 ¨¬¥¥¬:[G0]jz0 = ab 1 ab1a1 + ib1 = g0 (z0 )11[F 0]jw0 = ab2 ab2a2 + ib2 = f 0 (w0 ):22Ÿ±­®, ·²® f g F G ¨ a b a b 11[(F G)0]jz0 = ab 2 ab2b1 a1 = b a ;2216¯°¨·¥¬ a + ib = (a2 + ib2 )(a1 + ib1 ). 2 ¬ ¡³¤¥² ¯®ª µ¢ ² ²¼ ±«¥¤³¾¹¥£® ³¯°®¹¥­­®£® ¢ °¨ ­² ²¥®°¥¬» ®¡ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨.2.18.

’¥®°¥¬ (®¡ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨). ³±²¼ f { £®¬¥®¬®°´­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ z0 ­ ­¥ª®²®°³¾®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ w0 = f(z0 ), g { ®¡° ²­®¥ ª f ¢ ¯®±«¥¤­¥© ®ª°¥±²­®±²¨. …±«¨ f { C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬® ¢ ²®·ª¥ z0 ¨f 0 (z0 ) 6= 0, ²® g { C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬® ¢ ²®·ª¥ w0, ¯°¨·¥¬g0 (w0) = 1=f 0 (z0 ).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ w = f jz0 (z). ˆ§ £®¬¥®¬®°´­®±²¨ ¨¬¥¥¬: fz ! 0; z 6= 0g () fw ! 0; w 6= 0g1.Ž±² ¥²±¿ ¯¥°¥©²¨ ª ¯°¥¤¥«³ ¢ ° ¢¥­±²¢¥ z=w = (w=z) .22.19. ‡ ¬¥· ­¨¥.

ˆ§ ­ «¨§ ¨§¢¥±²­®, ·²® ³±«®¢¨¿ ¯®±«¥¤­¥© ²¥®°¥¬» ¡³¤³² ¢»¯®«­¥­», ¥±«¨ ¯®²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ F ¡»«® ­¥¯°¥°»¢­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»¬¢ ®ª°¥±²­®±²¨ (x0 ; y0)t ¨ , ¤®¯®«­¨²¥«¼­®, det([F 0]jz0 ) 6= 0.2.20. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f ®¯°¥¤¥«¥­ ¨ ª®­¥·­ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ 1. ”³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥1, ¥±«¨ ´³­ª¶¨¿ g(w) = f(1=w), ¤®®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ g(0) = f(1),¿¢«¿¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ 0.

® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯®« £ ¥²±¿f 0 (1) = g0 (0) = zlim!1 z(f(z) f(1)):2.21. °¨¬¥°. f(z) = 1=z, f(1) = 0, f 0 (1) = 1.2.22. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ £®«®¬®°´­®© ¢²®·ª¥ z0 , ¥±«¨ f { C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¢ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ z0.2.23. °¨¬¥°. f(z) = jz j2 = x2 + y2 . “±«®¢¨¿ Š®¸¨-¨¬ ­ ¯®ª §»¢ ¾², ·²® z = 0 { ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª , £¤¥ f ¿¢«¿¥²±¿‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ´³­ª¶¨¿ f ­¨£¤¥ ­¥ £®«®¬®°´­ .2.24. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ £®«®¬®°´­®© ¢®¡« ±²¨ D C , ¥±«¨ f ¿¢«¿¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ( , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, £®«®¬®°´­®©) ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ®¡« ±²¨ D.Š« ±± ¢±¥µ £®«®¬®°´­»µ ´³­ª¶¨© ¢ ®¡« ±²¨ D ®¡®§­ · ¥²±¿A(D). ”³­ª¶¨¨ ª« ±± A(C ) ­ §»¢ ¾²±¿ ¶¥«»¬¨.C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®©.17‘®¤¥°¦ ²¥«¼­»¥ ¯°¨¬¥°» ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ·³²¼ ¯®§¦¥.Š®­´®°¬­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¨ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨©±¬»±« ª®¬¯«¥ª±­®© ¯°®¨§¢®¤­®©2.25.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f { R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¢ ²®·ª¥ z0 2 C . ƒ®¢®°¿², ·²® f ª®­´®°¬­ ¢ ²®·ª¥ z0 (¯® ¤°³£®© ²¥°¬¨­®«®£¨¨ : f { ª®­´®°¬­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¢ ²®·ª¥ z0 ),¥±«¨ ¥¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ « df jz0 (z) ¢ ²®·ª¥ z0 (ª ª ´³­ª¶¨¿ ®² z)¥±²¼ ª®¬¯®§¨¶¨¿ £®¬®²¥²¨¨ ¨ ¯®¢®°®² (®¡ ± ¶¥­²°®¬ ¢ 0, ².¥.¯®°¿¤®ª ­¥ ¢ ¦¥­).2.26. ’¥®°¥¬ . f ª®­´®°¬­ ¢ ²®·ª¥ z0 , ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨f ¿¢«¿¥²±¿ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ z0 ¨ f 0 (z0 ) 6= 0. °¨½²®¬ k = jf 0 (z0 )j { ª®½´´¨¶¨¥­² ° ±²¿¦¥­¨¿, = arg(f 0 (z0 )) {³£®« ¯®¢®°®² ¯°¨ (C -«¨­¥©­®¬) ®²®¡° ¦¥­¨¨ df jz0 .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

Ž±² ¢«¿¥¬ ·¨² ²¥«¾.2.27. “¯° ¦­¥­¨¥. ³±²¼ f = u + iv { ª®­´®°¬­ ¢ ²®·ª¥ z0 , ¯°¨·¥¬ u ¨ v ¨¬¥¾² ­¥¯°¥°»¢­»¥ · ±²­»¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ ¢®ª°¥±²­®±²¨ z0 . ’®£¤ f ±®µ° ­¿¥² ³£«» ¬¥¦¤³ £« ¤ª¨¬¨ ª°¨¢»¬¨ ¢ ²®·ª¥ z0.2.28. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f ®²®¡° ¦ ¥² ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ 1 2 C ¢ C . ƒ®¢®°¿², ·²® f ª®­´®°¬­ ¢ ²®·ª¥ 1, ¥±«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ g(w) = f(1=w) (¯°¨ g(0) = f(1) 6= 1) ¨«¨ g(w) =1=f(1=w); g(0) = 0 (¯°¨ f(1) = 1) ª®­´®°¬­® ¢ ²®·ª¥ 0.2.29. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f «®ª «¼­®-ª®­´®°¬­ ¢ ®¡« ±²¨ D C , ¥±«¨ f ª®­´®°¬­ ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ®¡« ±²¨ D.2.30. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

”³­ª¶¨¿ f ª®­´®°¬­ ¢ ®¡« ±²¨ D, ¥±«¨ ®­ «®ª «¼­® ª®­´®°¬­ ¨ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­ (®¤­®«¨±²­ )¢ D.2.31. ‘«¥¤±²¢¨¥. ³±²¼ f : D ! C (D { ®¡« ±²¼ ¢ C ).1) f «®ª «¼­® ª®­´®°¬­ ¢ D ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ f 2 A(D) ¨ f 0 (z) 6= 0 ¢±¾¤³ ¢ D.2) f ª®­´®°¬­ ¢ D ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ f 2 A(D),f 0 (z) 6= 0 ¢±¾¤³ ¢ D ¨ f ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­ ¢ D.182.32. °¨¬¥°.

f(z) = z 2 «®ª «¼­® ª®­´®°¬­ , ­® ­¥ ª®­´®°¬­ ¢ C n f0g;² ¦¥ f ª®­´®°¬­ ¢ «¾¡®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨ ± £° ­¨¶¥©, ±®¤¥°¦ ¹¥© ²®·ª³ 0, ­® ­¨ ¢ ª ª®© ¡®«¼¸¥© ®¡« ±²¨.2.33. °¨¢¥±²¨ ¯°¨¬¥° ´³­ª¶¨¨ f, ¢±¾¤³ ¢ ¯«®±ª®±²¨ C ¨¬¥¾¹¥© · ±²­»¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿¬ Š®¸¨¨¬ ­ , ­® ­¥ ¨¬¥¾¹¥© ª®¬¯«¥ª±­®© ¯°®¨§¢®¤­®© ¢ ²®·ª¥ z0 = 0.2.34. Š ª § ¯¨±»¢ ¾²±¿ ³±«®¢¨¿ Š®¸¨-¨¬ ­ ¢ ¯®«¿°­»µª®®°¤¨­ ² µ?19‹¥ª¶¨¿ Â3Ž±­®¢­»¥ ½«¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨.ˆ­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ¢¤®«¼ ¯³²¨.Ž±­®¢­»¥ ½«¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨ ¨µ ®¡« ±²¨ª®­´®°¬­®±²¨.3.1. „°®¡­®-«¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ („‹Ž).

„‹Ž { ½²®az + b , £¤¥ a; b; c; d { ¯®±²®´³­ª¶¨¿ (®²®¡° ¦¥­¨¥) ¢¨¤ w = cz+d¿­­»¥ ¨§ C , ² ª¨¥, ·²® ³ª § ­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®²«¨·­ ®² ²®¦¤¥±²¢¥­­®© ª®­±² ­²» (¢ ²®¬ ·¨±«¥ ¨ 1). °¨ c = 0; d = 1 „‹Ž±² ­®¢¨²±¿ «¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¥©. ‚±¿ª®¥ „‹Ž ¿¢«¿¥²±¿ ª®­´®°¬­»¬ ¨§®¬®°´¨§¬®¬ C ­ C . Ž±­®¢­»¥ ±¢®©±²¢ „‹Ž ¨ ¨µ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ µ®°®¸® ¨§«®¦¥­», ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ³¯®¬¿­³²®© ¢»¸¥ ª­¨£¥.‚. ˜ ¡ ² (±¬. ­­®² ¶¨¾).3.2. –¥«»¥ ±²¥¯¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨. ‚¬¥±²¥ ± f0 (z) = 1 ¨f1 (z) = z ª ­¨¬ ®²­®±¿²±¿ ´³­ª¶¨¨ ¢¨¤ f(z) = z n , £¤¥ n 2 {­ ²³° «¼­®¥.

®±ª®«¼ª³ f 0 (z) = nz n 1 , ²® f «®ª «¼­® ª®­´®°¬­ ¢±¾¤³, ª°®¬¥ ²®·ª¨ z = 0. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®¡« ±²¼ G ¿¢«¿¥²±¿®¡« ±²¼¾ ª®­´®°¬­®±²¨ (®¤­®«¨±²­®±²¨) ´³­ª¶¨¨ f(z) = z n ,n 2, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ 0 2= G ¨ f ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­ ¢ G.³±²¼ G(; ) = fz 6= 0 : arg(z) 2 (; )( mod 2)g, £¤¥ < + 2. ˆ§ ´®°¬³«» Œ³ ¢° ±«¥¤³¥², ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ 2( ; ] ´³­ª¶¨¿ z n ª®­´®°¬­® ®²®¡° ¦ ¥² G(; + 2=n) ­ G(n; n + 2), ² ª ·²® G(; + 2=n) { ®¤­ ¨§ ¬ ª±¨¬ «¼­»µ®¡« ±²¥© ª®­´®°¬­®±²¨ ³ª § ­­®© ´³­ª¶¨¨.3.3. ª±¯®­¥­² ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ¯°¨ «¾¡®¬ z 2 C , z nez = exp(z) = nlim!1 1 + n :³±²¼z = xz + iy.

„®ª ¦¥¬, ·²® ez = ex (cos y + i sin y), ².¥.zxje j = e , Arg(e ) = fy + 2k j k 2 Z).„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ n { ¤®±² ²®·­® ¢¥«¨ª®, ²®£¤ 1+z=n =1+x=n+iy=n «¥¦¨² ¢ ¯° ¢®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨. ® ´®°¬³«¥ Œ³ ¢° ­ µ®¤¨¬:j1 + z=njn = (1 + x=n)2 + (y=n)220n=2 =n1x= exp 2 ln(1 + 2xn + o(n )) ! e ;arg((1 + z=n)n) = (mod 2) = n arctg(y=(x + n)) ! y¯°¨ n ! +1. —²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.ˆ§ ¯®«³·¥­­®© ´®°¬³«» ¨ ³±«®¢¨© Š®¸¨-¨¬ ­ ¢»²¥ª ¾²¢±¥ ®±­®¢­»¥ ±¢®©±²¢ ½ª±¯®­¥­²». Œ» ®²¬¥²¨¬ ²®«¼ª® ­¥ª®²®°»¥ ¨§ ­¨µ.(1) f(z) = ez ¿¢«¿¥²±¿ ¶¥«®© ´³­ª¶¨¥© ± (®±­®¢­»¬) ¯¥°¨®¤®¬2i ; ¥¥ ®±­®¢­»¬¨ (¬ ª±¨¬ «¼­»¬¨) ®¡« ±²¿¬¨ ª®­´®°¬­®±²¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¯®«®±» fz = x+iy j < y < +2g ( 2 R),¯¥°¥µ®¤¿¹¨¥ ¯®¤ ¤¥©±²¢¨¥¬ f ¢ ®¡« ±²¨ G(; + 2) ;(2) (ez )0 = ez , ez1 +z2 = ez1 ez2 ;(3) ³±²¼ z 6= 0, r = jz j, ' = arg(z), ²®£¤ z = rei' (¯®ª § ²¥«¼­ ¿ ´®°¬ z); ¢ · ±²­®±²¨, cos(') = (ei' + e i' )=2 ,sin(') = (ei' e i' )=(2i).3.4.

’°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ´³­ª¶¨¨. ‡¤¥±¼ ¬» ®£° ­¨·¨¬±¿²®«¼ª® ¨µ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬: cos(z) = (eiz + e iz )=2, sin(z) =(eiz e iz )=(2i), tg(z) = sin(z)= cos(z), ctg(z) = cos(z)= sin(z).Š®°­¨ ±²¥¯¥­¨ n ¨ LnŠ ª ¬» ³¦¥ §­ ¥¬ ¨§ ‹¥ª¶¨¨ 1, ®¡° ²­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ª ±²¥n z (n 2 {¯¥­­®¬³ (f(z) = z n ) ¥±²¼ ¬­®£®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ p­ ²³° «¼­®).3.5. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ { ¬­®£®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ­ ®¡« ±²¨ G, f { £®«®¬®°´­ ¢ ®¡« ±²¨ G1 G ¨ ¯°¨ ¢±¥µ z 2 G1¢»¯®«­¿¥²±¿ f(z) 2 (z). ’®£¤ f ­ §»¢ ¥²±¿ £®«®¬®°´­®© ¢¥²¢¼¾ ¬­®£®§­ ·­®© ´³­ª¶¨¨ ¢ G1.3.6.

°¥¤«®¦¥­¨¥.  ª ¦¤®© ¨§ ®¡« ±²¥© G(; +2) ( 2( ; ] ) ±³¹¥±²¢³¥²°®¢­® n £®«®¬®°´­»µ ¢¥²¢¥© ¬­®£®§­ ·­®©n z. Ž¤­ ¨§ ­¨µ:´³­ª¶¨¨ ppnpz (;+2) = n r exp(i'=n) ; z = rei' ; ' 2 (; + 2) ;ª®­´®°¬­® ®²®¡° ¦ ¥² G(; + 2) ­ G(=n; ( + 2)=n).21Ž±² «¼­»¥ ¢¥²¢¨ ®²«¨· ¾²±¿ ®² ³ª § ­­®© ­ ¬­®¦¨²¥«¨exp (2ik=n), k = 1; : : :; n 1.3.7. “¯° ¦­¥­¨¥. ®«¼§³¿±¼ ²¥®°¥¬®© ®¡ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨, ¤®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ V (z) { ª ª ¿-«¨¡® ­¥¯°¥°»¢­ ¿ (¨,p±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, £®¬¥®¬®°´­ ¿) ¢¥²¢¼ ¬­®£®§­ ·­®© ´³­ª¶¨¨ n z ¢®¡« ±²¨ G, ²® V { ¥¥ £®«®¬®°´­ ¿ ¢¥²¢¼ ¢ G ±® ±¢®©±²¢®¬ V 0 (z) =V (z)=nz.3.8. ‹®£ °¨´¬.

‹®£ °¨´¬ { ½²® (¡¥±ª®­¥·­®§­ ·­ ¿) ´³­ª¶¨¿ Ln(z), ®¡° ²­ ¿ ª ½ª±¯®­¥­²¥: w 2 Ln(z), ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ew = z. ®«¼§³¿±¼ «£¥¡° ¨·¥±ª®© ´®°¬®© ¤«¿ ew , «¥£ª® ³±² ­®¢¨²¼, ·²® (¯°¨ z 6= 0) Ln z = fln jz j+i Arg(z)g = fln(z)+2ik j k 2Zg, £¤¥ ln(z) = ln jz j + i arg z { £« ¢­®¥ §­ ·¥­¨¥ «®£ °¨´¬ . ®²¥®°¥¬¥ ®¡ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨, ­ ¤ ª ¦¤®© ®¡« ±²¼¾ G(; +2)( 2 ( ; ]) ¬­®£®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ Ln(z) ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ­ ±·¥²­®¥ ¬­®¦¥±²¢® £®«®¬®°´­»µ ¢¥²¢¥© fLk j k 2 Zg ±® ±«¥¤³¾¹¨¬¨±¢®©±²¢ ¬¨:1) (Lk (z))0 = 1=z ; Lk (z) = L0 (z) + 2ik ;2) L0 ª®­´®°¬­® ®²®¡° ¦ ¥² G(; +2) ­ £®°¨§®­² «¼­³¾¯®«®±³ fw = u + iv j < v < + 2g .p®§¤­¥¥ ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® n z ¨ Ln(z) ° ±¯ ¤ ¾²±¿ ­ (®¤­®§­ ·­»¥) £®«®¬®°´­»¥ ¢¥²¢¨ ­ ¤ ¢±¿ª®© ®¤­®±¢¿§­®© ®¡« ±²¼¾¢ C n f0g.‘¯°¿¬«¿¥¬»¥ ¨ £« ¤ª¨¥ ¯³²¨ ¨ ª°¨¢»¥.³±²¼ : [; ] ! C { ¯³²¼, T = ft0; t1; : : :; tN g ( = t0 <t1 < < tN = ) { ª ª®¥-«¨¡® ° §¡¨¥­¨¥ (¯®°¿¤ª N) ®²°¥§NXª [; ].

Характеристики

Список файлов лекций