П.В. Парамонов - Избранные главы комплексного анализа (1124318), страница 2

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’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, °¿¤ ¢ ¦­»µ¯®­¿²¨© ¬» ­ ¯®¬­¨¬.1.5. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Žª°¥±²­®±²¼¾ ²®·ª¨ a ¢ C ­ §»¢ ¥²±¿¢±¿ª®¥ ®²ª°»²®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ a.1.6. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ®¤¬­®¦¥±²¢® E ¢ C ­ §»¢ ¥²±¿ ±¢¿§­»¬, ¥±«¨ ­¥«¼§¿ ­ ©²¨ ®²ª°»²»¥ ¬­®¦¥±²¢ U1 ¨ U2 ±® ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨: U1 \ E 6= ;, U2 \ E 6= ;, U1 \ U2 = ;, E U1 [ U2.1.7. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

Ž¡« ±²¼¾ (¢ C ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¢±¿ª®¥ (­¥¯³±²®¥) ®²ª°»²®¥ ±¢¿§­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢ C .°®±²¥©¸¨¬ ¯°¨¬¥°®¬ ®¡« ±²¨ ¿¢«¿¥²±¿ ®²ª°»²»© ª°³£B(a; r) = fz 2 C j jz aj < rg ± ¶¥­²°®¬ a 2 C ¨ ° ¤¨³±®¬ r > 0.1.8. “¯° ¦­¥­¨¥. ³±²¼ G { ®¡« ±²¼ ¢ C . …±«¨ E G { ­¥¯³±²®, ®²ª°»²® ¨ § ¬ª­³²® ¢ G, ²® E = G.1.9. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. °®¨§¢®«¼­®¥ ­¥¯°¥°»¢­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ª ª®£®-«¨¡® ®²°¥§ª [; ] R ¢ C ­ §»¢ ¥²±¿ ¯³²¥¬ (¢C ), ¬­®¦¥±²¢® [] = ([; ]) { ¥£® ­®±¨²¥«¥¬.81.10. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Œ­®¦¥±²¢® E C ­ §»¢ ¥²±¿ «¨­¥©­®, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ z1 2 E ¨ z2 2 E ±³¹¥±²¢³¥² ¯³²¼ :[; ] ! E ± ³±«®¢¨¥¬ () = z1 , () = z2 .±¢¿§­»¬¥²°³¤­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¢±¿ª ¿ ®¡« ±²¼ ¢ C «¨­¥©­®-±¢¿§­ .1.11. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

„¢ ¯³²¨ 1;2 : [1;2; 1;2] ! C ­ §»¢ ¾²±¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­»¬¨, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨§ [1; 1 ] ­ [2; 2 ] ± ³±«®¢¨¥¬1 (t) = 2 ( (t)) ¤«¿ «¾¡®£® t 2 [1; 1]. („«¿ ª° ²ª®±²¨ ¯¨¸¥¬1 2 ).1.12. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Š« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­»µ ¯³²¥© ­ §»¢ ¾²(­¥¯°¥°»¢­®©) ª°¨¢®©.°¨ ½²®¬ ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­ ­®±¨²¥«¼ ª°¨¢®©. Ž¡®§­ ·¥­¨¿: = f g { ª°¨¢ ¿ ± ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¥¬ , [ ] = [] { ¥¥ ­®±¨²¥«¼.1.13.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³²¼ : [; ] ! C ­ §»¢ ¥²±¿ ¦®°¤ ­®¢»¬, ¥±«¨ ®­ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·¥­ ­ [; ] (².¥.(t1 ) 6= (t2 )¯°¨ t1 < t2 ).1.14. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³²¼ : [; ] ! C ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²»¬ ¦®°¤ ­®¢»¬, ¥±«¨ (t1 ) 6= (t2 ) ¯°¨ ¢±¥µ t1 < t2 ¨§[; ), ­® () = ().®±¨²¥«¼ ¢±¿ª®£® ¦®°¤ ­®¢ ¯³²¨ £®¬¥®¬®°´¥­ ®²°¥§ª³[0; 1], § ¬ª­³²®£® ¦®°¤ ­®¢ ¯³²¨ { ¥¤¨­¨·­®© ®ª°³¦­®±²¨fjz j = 1g.1.15. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

†®°¤ ­®¢ ª°¨¢ ¿ { ª« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ¦®°¤ ­®¢»µ ¯³²¥©. ‡ ¬ª­³² ¿ ¦®°¤ ­®¢ ª°¨¢ ¿ { ª« ±±½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ § ¬ª­³²»µ ¦®°¤ ­®¢»µ ¯³²¥©.‘«¥¤³¾¹ ¿ ¢¥±¼¬ ±«®¦­ ¿ ²®¯®«®£¨·¥±ª ¿ ²¥®°¥¬ ¨¬¥¥²¯°¨­¶¨¯¨ «¼­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¢ ­ «¨§¥.1.16. ’¥®°¥¬ (†®°¤ ­ ).1) ³±²¼ { ¦®°¤ ­®¢ ª°¨¢ ¿. ’®£¤ = C n [ ] ±¢¿§­® ¨@ = [ ].2) ³±²¼ { § ¬ª­³² ¿ ¦®°¤ ­®¢ ª°¨¢ ¿. ’®£¤ ¬­®¦¥±²¢®C n [ ] ­¥ ±¢¿§­® { ®­® ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ª®¬¯®­¥­² (®¡« ±²¥©): ®£° ­¨·¥­­®© { D ¨ ­¥®£° ­¨·¥­­®©{ , ¯°¨·¥¬ @D = @ = [ ].9—¥°¥§ @E ®¡®§­ · ¥²±¿ £° ­¨¶ , ·¥°¥§ E { § ¬»ª ­¨¥, ·¥°¥§E o { ¢­³²°¥­­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢ E ¢ C . Š®¬¯®­¥­²®© ±¢¿§­®±²¨¬­®¦¥±²¢ E ¢ C ­ §»¢ ¥²±¿ ¢±¿ª®¥ ±¢¿§­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¨§ E,ª®²®°®¥ ­¥ ±®¤¥°¦¨²±¿ ­¨ ¢ ª ª®¬ ¡®«¼¸¥¬ ±¢¿§­®¬ ¯®¤¬­®¦¥±²¢¥ ¢ E. ‚±¿ª®¥ ®²ª°»²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ­ ª®­¥·­®¥¨«¨ ±·¥²­®¥ ·¨±«® ±¢®¨µ ª®¬¯®­¥­² ±¢¿§­®±²¨, ¿¢«¿¾¹¨µ±¿ (¯®¯ °­® ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¬¨±¿) ®¡« ±²¿¬¨.‘·¨² ¥¬ ² ª¦¥, ·²® ·¨² ²¥«¼ §­ ª®¬ ± ª®­±²°³ª¶¨¥© ±´¥°»¨¬ ­ C = C [ f1g { ±² ­¤ °²­®© ®¤­®²®·¥·­®© ª®¬¯ ª²¨´¨ª ¶¨¥© C (¥¥ ¬¥²°¨§³¥¬ ¿ ²®¯®«®£¨¿ ±®£« ±®¢ ­ ± ²®¯®«®£¨¥©C ).

‚ ±«³· ¥, ¥±«¨ E ­¥®£° ­¨·¥­­®, ¨«¨ 1 2 E C , ¬» ª ¦¤»©° § ª®­ª°¥²¨§¨°³¥¬: ª ª¨¥ ¨§ ³¯®¬¿­³²»µ ¢»¸¥ ²®¯®«®£¨·¥±ª¨µ¯®­¿²¨© ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ²®¯®«®£¨¨ ¢ C .‚¥²¢¨ ¬­®£®§­ ·­»µ ´³­ª¶¨©. °¨° ¹¥­¨¥ °£³¬¥­² ¢¤®«¼ ¯³²¨. ˆ­¤¥ª± ¯³²¨³±²¼ E C ­¥¯³±²®. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® { ¬­®£®§­ ·­ ¿­ E, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® z 2 E ®¡º¥ª² (z) ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±®¡®© ­¥ª®²®°®¥ ­¥¯³±²®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¢ C (¤«¿ ®¤­®§­ ·­®©´³­ª¶¨¨ ¬­®¦¥±²¢® (z) { ®¤­®²®·¥·­®). ˆ­®£¤ ¢¬¥±²® C ¡¥°¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® C .1.17. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.

³±²¼ ; 6= E1 E. ”³­ª¶¨¿ f : E1 !C ­ §»¢ ¥²±¿ ®¤­®§­ ·­®© ¢¥²¢¼¾ ¬­®£®§­ ·­®© ´³­ª¶¨¨ ­ E1, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® z 2 E1 ¨¬¥¥¬ f(z) 2 (z).‘ª ¦¥¬, ·²® ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ­ ®¤­®§­ ·­»¥ ¢¥²¢¨ ffj gj 2J­ ¤ E1 , ¥±«¨ (z) = [j 2J ffj (z)g ¯°¨ ª ¦¤®¬ z 2 E1.1.18. ’¥®°¥¬ . ³±²¼ : [; ] ! C n f0g { ¯³²¼.

’®£¤ ¬­®£®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ Arg((t)) ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ­ ¤ ¢±¥¬ [; ] ­ ±·¥²­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ­¥¯°¥°»¢­»µ ¢¥²¢¥© f'j (t)gj 2Z. ‹¾¡»¥ ¤¢¥¨§ ½²¨µ ¢¥²¢¥© ®²«¨· ¾²±¿ ¤°³£ ®² ¤°³£ ­ ¤¤¨²¨¢­³¾ ¯®±²®¿­­³¾, ª° ²­³¾ 2.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥²°³¤­® ¢»¢¥±²¨ ´®°¬³«³ Arg(z) ·¥°¥§ x¨ y ¨ ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ­ ¤ ª ¦¤»¬ ª°³£®¬ B(a; jaj), a 6= 0, ¬­®£®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ Arg(z) ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ­ ±·¥²­®¥ ·¨±«® ­¥¯°¥°»¢­»µ ¢¥²¢¥©, ®²«¨· ¾¹¨µ±¿ ¤°³£ ®² ¤°³£ ­ ¤¤¨²¨¢­»¥ ¯®±²®¿­­»¥, ª° ²­»¥ 2. ®«¼§³¿±¼ ¯®±«¥¤­¨¬ § ¬¥· ­¨¥¬ ¨ ° ¢­®¬¥°­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ ­ [; ], ¬» ¬®¦¥¬ ° §¡¨²¼ ®²°¥§®ª [; ] ­ ° ¢­»¥ ¤®±² ²®·­® ¬ «»¥ ®²°¥§ª¨, ­ ª ¦¤®¬ ¨§ª®²®°»µ ²°¥¡³¥¬ ¿ ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ¢¥²¢¼ § ¢¥¤®¬® ¨¬¥¥²±¿ (­ ¤®´³­ª¶¨¿10¢§¿²¼ ª®¬¯®§¨¶¨¾ ¨ ¯®¤µ®¤¿¹¥© ­¥¯°¥°»¢­®© ¢¥²¢¨ Arg(z)).Ž±² ¥²±¿ ­ ¤«¥¦ ¹¨¬ ®¡° §®¬ \±ª«¥¨²¼" ½²¨ ¢¥²¢¨.

€ªª³° ²­®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¥¤« £ ¥¬ ¯°®¢¥±²¨ ·¨² ²¥«¾. 21.19. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ‚ ³±«®¢¨¿µ ¯®±«¥¤­¥© ²¥®°¥¬», ¢¥«¨·¨­ 'j () 'j () (­¥§ ¢¨±¿¹ ¿ ®² j) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¨° ¹¥­¨¥¬(¯®«¿°­®£®) °£³¬¥­² ¢¤®«¼ ¯³²¨ ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ Arg(z).1.20. “¯° ¦­¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ ( w) Arg(z) ­¥¯°¥°»¢­ ¯®w ¢­¥ [].‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¥¥ ( w)(t) = (t) w ; t 2 [; ].1.21.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ : [; ] ! C { § ¬ª­³²»© ¯³²¼,².¥. () = (). °¨ a 62 [] ¢¥«¨·¨­ inda () = (2) 1 ( a) Arg(z)­ §»¢ ¥²±¿ ¨­¤¥ª±®¬ ¯³²¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ²®·ª¨ a.³±²¼ E1 ¨ E2 { ­¥¯³±²»¥ ¬­®¦¥±²¢ , 1 ¨ 2 { ¯³²¨ ¢C , ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­ [; ]. ‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¬» ¡³¤¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿®¡®§­ ·¥­¨¿¬¨:dist(E1; E2) = inf fjz1 z2 j j z1 2 E1; z2 2 E2g;d(1 ; 2 ) = maxfj1(t) 2 (t) j : t 2 [; ]g:1.22. ‹¥¬¬ . ³±²¼ 1 ¨ 2 { § ¬ª­³²»¥ ¯³²¨ ¢ C , ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­ [; ]. ³±²¼ a 2= [1 ], ¯°¨·¥¬ d(1 ; 2 ) < dist(a; [1]).’®£¤ inda (1 ) = inda (2 ).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ '(t) ¨ (t) { ­¥ª®²®°»¥ ­¥¯°¥°»¢­»¥­ [; ] ¢¥²¢¨ ¬­®£®§­ ·­»µ ´³­ª¶¨© Arg(1 (t) a) ¨ Arg(2 (t)a) ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.

ˆ§ ³±«®¢¨¿ «¥¬¬» ¢»²¥ª ¥², ·²® ´³­ª¶¨¿'(t) (t) ­¥ ¯°¨­¨¬ ¥² ­ [; ] §­ ·¥­¨© f + 2k j k 2 Zg.³¦­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ²¥®°¥¬» ® ¯°®¬¥¦³²®·­»µ§­ ·¥­¨¿µ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨ ('­ [; ]). 21.23. ‘«¥¤±²¢¨¥. ”³­ª¶¨¿ indw () ¯®±²®¿­­ (¯® w) ¢ ª ¦¤®© ª®¬¯®­¥­²¥ ±¢¿§­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ C n [] ¨ ¯°¨­¨¬ ¥² ²®«¼ª® ¶¥«®·¨±«¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿.1.24. “¯° ¦­¥­¨¥. „®ª § ²¼, ·²® Arg(z) ¨ inda () ­¥¬¥­¿¾²±¿ ¯°¨ § ¬¥­¥ ­ «¾¡®© ½ª¢¨¢ «¥­²­»© ¯³²¼, ² ª ·²®f g Arg(z) ¨ inda (f g) ®¯°¥¤¥«¥­» ª®°°¥ª²­® ¤«¿ ª°¨¢®© f g.11„¥©±²¢¨¿ ± ª°¨¢»¬¨.1.25.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.(1) ³±²¼ { ª°¨¢ ¿, 2 , ®¯°¥¤¥«¥­ ­ [; ]. ®«®¦¨¬ (t) = (+ t); t 2 [; ]. Š°¨¢ ¿ = f g ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®© ª(¨¬¥¾¹¥© ¯°®²¨¢®¯®«®¦­³¾ ®°¨¥­² ¶¨¾).(2) ³±²¼ 1 ¨ 2 { ª°¨¢»¥, ¯°¨·¥¬ ª®­¥¶ 1 ±®¢¯ ¤ ¥² ± ­ · «®¬ 2. ‚®§¼¬¥¬ ª ª¨¥-«¨¡® 1 2 1 ¨ 2 2 2 , ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­ [0; 1]. Š°¨¢ ¿ = 1 [ 2 (®¡º¥¤¨­¥­¨¥ 1 ¨ 2 , ¯®°¿¤®ª ¢ ¦¥­!)®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¥¬ (2t);1=2](t) = 1 (2t 1); t 2t 2[0;[1=2;1]21.26. ‡ ¬¥· ­¨¥.

® ¨­¤³ª¶¨¨ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥­¥±ª®«¼ª¨µ ª°¨¢»µ, = 1 [ [ n . ¥²°³¤­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿ª®°°¥ª²­®±²¼ ¢¢¥¤¥­­»µ ®¯°¥¤¥«¥­¨©.1.27. ³±²¼ 1 { § ¬ª­³² ¿ ¦®°¤ ­®¢ ª°¨¢ ¿, 2 { ¦®°¤ ­®¢ ª°¨¢ ¿ ± ³±«®¢¨¥¬ [ 2] [ 1] ¨ \±®­ ¯° ¢«¥­­ ¿" ± 1 .„ ²¼ ª®°°¥ª²­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª°¨¢®© 1 n 2 (½²® ¡³¤¥² ®¤­ ¨§¤¢³µ ¢®§¬®¦­»µ ¦®°¤ ­®¢»µ ª°¨¢»µ ± ­®±¨²¥«¥¬, ° ¢­»¬ § ¬»ª ­¨¾ ¬­®¦¥±²¢ [ 1] n [ 2]).1.28. …±«¨ ª°¨¢»¥ , 1 ¨ 2 ­¥ ¯°®µ®¤¿² ·¥°¥§ 0 ¨ ª°¨¢ ¿1 [ 2 ®¯°¥¤¥«¥­ , ²®(1) Arg(z) = Arg(z);(2) 1[ 2 Arg(z) = 1 Arg(z) + 2 Arg(z).1.29.

„®ª § ²¼ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼ ¯®­¿²¨© ±¢¿§­®±²¨ ¨ «¨­¥©­®© ±¢¿§­®±²¨ ¤«¿ ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢ ¢ C .1.30. °¨¢¥±²¨ ¯°¨¬¥° «¨­¥©­® ±¢¿§­®£® ª®¬¯ ª² ¢ C , ­¥¿¢«¿¾¹¥£®±¿ ­®±¨²¥«¥¬ ­¨ª ª®£® ¯³²¨.1.31. ³±²¼ K { ª®¬¯ ª² ¢ C ¨ f : K ! C { ­¥¯°¥°»¢­ ¨¢§ ¨¬­®®¤­®§­ ·­ ­ K. ’®£¤ f(K) { ª®¬¯ ª², f { £®¬¥®¬®°´¨§¬ K ¨ f(K). ‚ ¦­®¥ ±«¥¤±²¢¨¥: ­®±¨²¥«¼ ¢±¿ª®£® ¦®°¤ ­®¢ ¯³²¨ ¢ C £®¬¥®¬®°´¥­ ®²°¥§ª³, ­®±¨²¥«¼ ¢±¿ª®£® § ¬ª­³²®£®¦®°¤ ­®¢ ¯³²¨ ¢ C £®¬¥®¬®°´¥­ ®ª°³¦­®±²¨.1.32. ®±²°®¨²¼ ¦®°¤ ­®¢ ¯³²¼ ¢ C , ­®±¨²¥«¼ ª®²®°®£® ¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¯«®±ª³¾ ¬¥°³ ‹¥¡¥£ .12‹¥ª¶¨¿ Â2R ¨ C -¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼ ¨ª®­´®°¬­®±²¼ ´³­ª¶¨© ª®¬¯«¥ª±­®£®¯¥°¥¬¥­­®£®.³±²¼ E C z ­¥ ¯³±²®, f : E ! C w , w = u + iv.2.1.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ z0 { ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª E. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, E;zlimf(z) = w0 , ¥±«¨ ¤«¿ ¢±¿ª®£® " > 0 ­ ©¤¥²±¿!z0 > 0 ² ª®¥, ·²® ¨§ ³±«®¢¨© 0 < jz z0 j < ; z 2 E, ±«¥¤³¥²jf(z) w0 j < ".…±«¨ z0 2 (E [ fz0g)o , ²® ¯¨¸¥¬ zlim!z0 f(z) = w0 , ®¯³±ª ¿ E.2.2.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f(z) ­¥¯°¥°»¢­ ¢ ²®·ª¥ z0 (¯®¬­®¦¥±²¢³ E), ¥±«¨ z0 2 E ¨ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ®¤­® ¨§ ¤¢³µ: «¨¡® z0 {¨§®«¨°®¢ ­­ ¿ (².¥. ­¥ ¯°¥¤¥«¼­ ¿) ²®·ª E, «¨¡® z0 { ¯°¥¤¥«¼­ ¿²®·ª E ¨ E;zlimf(z) = f(z0 ).!z0®«®¦¨¬ f(z) = u(x; y)+iv(x; y), £¤¥ z = x+iy, u = Re f; v = Imf.2.3. “¯° ¦­¥­¨¥. „®ª § ²¼, ·²® lim f(z) = w0 = u0 +iv0E;z!z0¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ E;zlimu(x;y)=u¨lim v(x; y) = v0 .0!z0E;z!z02.4.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ®¯°¥¤¥«¥­ ¢ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ z0 = x0 + iy0 . ƒ®¢®°¿², ·²® f ¿¢«¿¥²±¿ R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ z0 , ¥±«¨ Re(f(z)) = u(x; y) ¨Im(f(z)) = v(x; y) ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ (x0; y0 ) ª ª ´³­ª¶¨¨ ¤¢³µ ¯¥°¥¬¥­­»µ.®«®¦¨¬ z = x + iy. “±«®¢¨¥ R-¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ f¢ ²®·ª¥ z0 ®§­ · ¥², ·²®f z0 (z):=f(z0 +z) f(z0 ) = u z0 (x; y)+iv z0 (x; y)= u0x j z0 x + u0y j z0 y + o(z) + i(vx0 j z0 x + vy0 j z0 y + o(z))= (u0x + ivx0 )j z0 x + (u0y + ivy0 )j z0 y + o(z)@f=: @f@x z x + @y y + o(z)0z013¯°¨ z ! 0.

 ¯®¬­¨¬, ·²® g(z) = o(h(z)) ¯°¨ z ! z0 , ¥±«¨h(z) 6= 0 ¢ ­¥ª®²®°®© ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ z0 , ¯°¨·¥¬lim g(z)=h(z) = 0.z!z02.5. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ‚»° ¦¥­¨¥@fdf jz0 (z) = @f@x z0 x + @y z0 y;¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¥¥ ±®¡®© £« ¢­³¾ «¨­¥©­³¾ · ±²¼ ¯°¨° ¹¥­¨¿ f ¢²®·ª¥ z0 , ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «®¬ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ z0 .Ž²¬¥²¨¬, ·²® df ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿ ¤¢³µ ª®¬¯«¥ª±­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ z0 ¨ z, ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ z0 ®­ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®©R-«¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾ (².¥. ´³­ª¶¨¾ ¢¨¤ ax+by, £¤¥ a; b 2 C{ ¯®±²®¿­­»).‘®£« ±­® ½²®© (±² ­¤ °²­®©) ²¥°¬¨­®«®£¨¨, ¨¬¥¥¬: x = dx,y = dy, z = dz = dx + idy, dz = dx idy = dz, ®²ª³¤ dx = (dz + dz)=2, dy = (dz dz)=(2i).Žª®­· ²¥«¼­® ¯®«³· ¥¬:@f dz;df jz0 (dz) = @fdz+@z z0@z z0£¤¥, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾,@f = 1 @f i @f ; @f = 1 @f + i @f :@z z0 2 @x @y z0 @z z0 2 @x @y z02.6. “¯° ¦­¥­¨¥.

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