Новаковская_I (1124206), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пегрулна щювсрнть, что пплучснный нябор келяегс» сртогоналышгм базн- сам щюс тра«став. Нонне фуищин йг всегла можно норм«ровать: < й! ! йг >= ! мй В лапь вафлям мы буллы полагать базис оргонормнровавным. Пресбразоввню! фукклий гкльбертова прсиранстеа лр)т в лруг а мд» ют прн помощ« операторов. (Онределег «е) Опш»пщ Д вЂ” это отсбрмкеп«е пласта функггнонаюншп пространства !. в (вообще говоря) другое фу«юг«о«люксе пространство Мг л!у >=',й>,(/>е!.,!»>оМ. П.в) иначе юворя, оператор л — это за«он, сопсспмхяющкй алкой функп«» (вектору)г'щ~угую фупкпкю й. Есгш пространства В н М совпадают, тс пзворат, чю оператор л отображает ггространшас в саба (втер»тором может быть умножение функпнм а число х результат действия шпд'о сперщора «а функцию есть нова» фушлшя.
значенн» коюрсй во всех ючках отчнчеются в а раз от лскслнсй. Прупгй пример — оператор дифференцирования, сопосшвлвюгдяй «алгдсй лнфйерсшируемой фу«кап» ее щюпзводную. Простейшим» оператор»ми, которые могут бмть апре»елены дл» широчайшею класса функщюнельных пространств, явлеюю» «упокой м едмннчный операторы. (Олределеине) Нуйшэш оператором называется оператор, «лтормй сошжтавлязт любому аюему «ргументу нуль ю сбпастн значенпйг б! у >=б. (Определение) д)йщлчнмм оператором нвзыюшш ошратср, «отормй сошмтаааяет любому своему аргументу его же: ) ! / >=!,Г >.
Поскаль,у прострвнспм, с которыми ммеет дела квмповщ мсхеннш, лннейнме, спервтсрм, сакранкющие зго шюйспю, мшмлсны а сссбмй «ласс. ((Дгредешкке) Оператор Л, щмобразующнй функцнн слного множещна (!.) в функлмн другого мгюкмспш (Н), называется лйнййлый, сев« для чюбык эяеменпю (впггоров нлк фувюшй)7 н й нз ь к юмплексньш чапек пи )У сор ааедлвво слепу ющее равен спю: А(щгч)ф>=щ)! ! > )Й|б» (глс л ! ! > .
) ! й > е Н ). По!кольку часто гфя холп ск работать с функциями, шщу немыми в результате перетек» пс одного, е последошпюл,но пескокьквх оператпроя, тп нсобхадкмо устагювнть единый порюск нх пр«менщпш. (Олрсдптемы) Произведение онер»торов Дй есть оператор, действие которого на про«эвольную функпкюу щктош в пшысловательнам дейспнгн онсраюра й на эту функлюо, аз»тем оператора )) гш фунщгню! й >--й!Г >: в г! го Нрн з юм ва втором примере в «ачеювс)(з) мы маглк взять любую фуююню, и получи тн бы тот жс результат: лй(' = йл)'. В первом случае можно была бы пооьпатьсл найти такую)(з), чюбы ленное усвоена была выполнено, но жо была бы псключеннсм нз обшей такапомср- нсспг А по опрелеленню комыутщгуююнмп назызвяи операторм, рюультат лейсг- юи коюрых на ггйзбую функцию не зависит ог того, в юной послелоаагсль- всстн н» применнлп.
Иню.ла удобяо работать с юмраторвмн, непосредственно задаезя нравяло оооо!отставя. Например, лействне оператора Л умнопюнн» на.т ва щю. пзпюьнро функцию 4 щ определено вмрюкенпем! Лр(з) = «р(к), а лсйств лс оператора б днффермюпрованв» па этой переменной — выражением: бр(к) = пй В ряле слу юев удобнее работать с ~виюю!ы щэюь с~юйглм опера!прон В эскюрном пространстве й" любой линейный оператор ммкег быть ареюпювен в анде ююдрапюй матрнцм размерности (лки). Если в просгран. стае зююн базнспьй набор (й,), то числа (пнтстравы) Лг) =<В~ ))б ьп~й Лй Иг ((.!2) ВаэЫВЮОЮЯ йй)йМЧйпмйЩйнюнайй ОПЕРатОРа Л На фУНКПНКК бь, а ИК СО- еокуппо пь - матрица А с эггсментамн Аз — матричным врелстаюеннсм опе.
ратора Л. Вали в базви (йз) язве«тло матрнчаое вредстввпснне лннейного оператора Л, зо, зна» разложение пронэяоювой функаии (зю базнсу (йг ) Х=,) сгйг, гюгко огфеделнть рюуюют гвйсгенв оператора Л на функпюо~! Коэффнниснты Ь; мюкно айти, нег!о!газоны свойство лнпейностн оператора Л (!.9) и записав функцюо /' в анде бу=~.гзбйэ (совр -зтпд1 (з(пд сосО ) (1.15) ,(„Л„з ... Л„„— 2 ординатамиг Л.л (1.20) или н»ачс гоааРя ЛзЛ=ЛЛ1=(. (1.21) (1.(б) ломнопив это выраление на 8, и ироннтыридоюв сю. '=еб ~Л~у Х','8 ~Л~8,>=Х(с,.
Идз) Очааилна, в разных базисах оператор Л будет прел«танкан разными иатрицами (Опредюеггие) Матрицы А' и А, авпанные щюабйюованиж подобия А'= ВАВ (1Л4) назыаеюгоя полобнмми лруг другу, тле й — матрица нсрехою ат базис» (яг ) к базису (й'„), а А и А' — матрицы оператора Л в этих базисах. И»пример, нас юпересуст дейспию оператор» й поворота пр пи» чало»ой стрелки на угол д вокруг аси Ог на функцию, заике»мую аг нсрсмсннмх х ну.
Чтобы анрелынпь (мзунь ат такой операции, нада знать, как измен»юге» при эюм аргументы (» и у) функции. А их изменение легко записать, зна» матрицу поворота в пласкоспг (тЩ: (к) применение которой к про»э»оп»нот у нектару 1 1 ласт ес»мй юккер с ко. У Матрица К н есть матричное пралстмюение оператора но»орат» в плоском» (хду), где а «ачаепю базисных юкгоров выбраны орты пс ае»м Ох и Оу. В заенснмастм ог кон»репюй задачи н конкретною вида операюр» цсззесаобрат~го быюст испо»ьзовать либо ю, либо друюс его представление. Прн работе а мюрнчным предста»осинам нсабхалимо помнию слелуюнпю нобата» матриц: (1) Сдсд матрицы - это по опрелслению, сумма ее лиагоггхчьных моментов: пл = Л„дл. 1 (матриц» рюмсрности (л и)), 12 (2) йсли матрица С есть результат церсмноиени» матриц А и В, пз сс элементы: с, =(Ав)хе =Л.дмв» ((.М) (5) след драк»»с»стыд деу» »гркц нс заиисьт от нор»лкя юмиоми™ лей: гг(АВ; = )'( ~д)„„=,У'Л'Лыдм =Л Л,дмА г =,У (Лд)м =гг(ВА) (1.18) з Слебсмеиег Сгмл прои»мления нескольких матриц не меюмтса прн циклнчеакой нерастановкс самномителей: ! (АВС) =.
и (САВ) =1 (ВСА) ((29) (4) йаргги А хаРактсРиспемскогс УР»»псин» м»ТРигю. по»У»»ен~ю нрпр»»ни»»и»ем нулю ее хара терисгичесюга о"рю~~~~~~ дм 2 Ат .- лм '12 ~ '(зэ называются щбйзййиныымц пючеггй»щй юпрюгы н не менюотсе при преобрезоианюы полабюг. Иначе юиора, собепюиные э»»хенн» матрмцм ие э»инсат аг базиса (5) Сумма всех «обет»синих я»юлий матрицм равна сумма се диагональных элежнтов, т.е. анапу: 1 Вазникыогцие чаато задачи — обращение и мюрюкснне лсйстаия авера- гора - требуют »»олени» соотеегсгауюаюх псзгяпл). (Оя(малакке) Оператор Л ~ незыяаеюя сбрйрлым оператору Л, если лля произ»альмой фуикцни/: (Л' Л)1/ >-.(ЛЛ' ) цд >=) 1 ' (А (ОР\'(ОР) = !' 0" (ОР) = Р'Р = ) (сырье)ммькс) Оператор щ~ яяя любых фузпгцнйуи й еа Очевадво, соприкснныс оьерато Матризгв сопрюкепного опара А, т.е., получаемая прн се трв зесмснтсв: И ( спзд мпд'! —.
пр р) 15 Например, обратным операто имеющую нулей) функцию е ле>О«В-'. Очевид о, если мм раба то матрица обратного пиорею рвюра 2. Эдсментм обратной где д„ь- минор зяеменз» Л « щнь. Как видим, обратяая метр ст, есян опредевитеяь марицы операторе ве выровщена Папример, матрипд, обре (зОу), — матрица поворота в то повомнам (по часовой стрспке <л'>ы =л„', В частности, матрица оцсратср», сопряженного са . О,б кой.' вороту наугоч, уяетза Заметам 'по обратная п сопрязманее ыкц\ вы посо)ютя сопиеве от. Ото зинич ый пример у(щщййдймайщрд((нпи щ)уйцщрдаййй, сеян есс ее зяемеи. гы — действитсяью«е числа).
(Онрсекзыкы) Оператор Р невы всю» унипщйймм вснп ап сопрюкен своему обратному опсркшру: 00 =О'О=). О.22> Прн действии унитарного оператора на функцию ее норма не меияегсег с б ) б >.—.е О( ~ О) >=с () 0+0) ) >=с (! 2 >. ) Ою мюйспю пазыщеюа нюмйриюящжзщ Произведение упигарю«я операторов йг (и РО) томе есть унитарный оператор: Риге одпп важный кавос операторов - озмщонряивгпще, пяи зрмитовы операторы, (Онрсбщсьнс) Оператор Л назыпычся мщ)щызыы, мыи он совющвет со свопм сопрезщнным е) (2)б =(еб~йг р>)'. О.24) Очевидно, еюбой оператор можно представки в виде: 2=-2 (Р Л 2' лцл. пр зюм 2.'=- -зрмнтова чвсщ оператора 2, а (Уи -..
- егоан- 2 2 тюрыщаеа часть. Именно уйййуййН ййЯ)бурй(А йтыйгй(ЩУЩ)йбитййпйусйж)мйайая(ОЩИЫ Роли и» оператора Л в функпни2( У «0) вымощено сщпиовюнне «)) Г>=.а()'>, (!.25) гдс а - компяекенсс чнсяо, то фуикггне,(згазывееюя й)й(йса(щоз! фуйщ)~Н) оператора 2, а е — сщпаезетвующмм ей й)б(убюизгыыымднанщгидй оверщсра. !) 28) .уз >=аз, уь >, )Г > а !з' > и аята б=<);(й!Р >-(<У () !Уг>) -.«< Уз)У > — аг<;з)У =-(а„а!) уя!у > Э ул В ы ь яююа я», а мул з»звнаюаим н !б , П !)-„>=О.
идеююму пяютвеннсму <ай<званные функыи Б , ))о паскюипу л бь ' .ювчению [а), могу а . мо т быть не арютснввыг г ЛР)т ИРУ У е собственными лнв ленного операторе и* линейные камбиивции тяпке будут соре<ты»ными лнв с геы ьп самым собственным значением: з Л ~ се )гг . = ~с!А )гг:= ~ага )У» ' = а ~<я ггз >, г=г ь=! е=г з=г го манна палобрзть тзкие дине" нейные «аыбиивци», юторы будут е бй азвнмно орпеяу)м ортогонвлизвцпи извцпи по ГрзмуГОГОНЗНЬНЫ, ЕВПРНЫСР, НСПОЛЬЗОЯЗИ ПРО ЯЬУЮ ИЗ»Гати !.4)-г!.7). У!оэтму в лап>незнаем, работая а нормированный набор. Боксе тета, зтО пО»нып ня по любам функции из мюк !.з макет быль нрелагявленв в виде р»злспсинв па собст»а иным фуньциям , 'Гг > оператор»: )!'>и Л„)ц )Л > !)29) е г причем козффицнеитм Ьг определены и»татре»вы»: Ьг =< Л ! Г' > Строга гаяоря, е«ви у опсрвт р» ви оп о мть вырспдаююе с юы и, отвечающие вмракдеиы й вном случаев м»триц» будет брйю ет нзльной, тоаько если фунююи, отвач сабспююгыя ные нв неарпзтиелизовмпюя соболю ьы ункциюг, иыс ванювв Она)дну .йбйпнйл»Р;Фуиюлнй ! ! ) боди йлсрвцйм ..! н-!) .Ицсю™нййь~~~ ю огтй «Лы ьЖяйып !)!Оказамагьсаеа) а йийг ))„в д бал п,бсгмиаюй фУпкнни ! Уг > Оае)индию л! ~~ >" г)Л 3»=3 и О"ВО=а (1.30) -- «„В (1.31) 1З Санно»с»асина (а) ссви саба ванные значения оператора Л невыромлснм, то и ма»рнца В «юясмя диагональной; ные значения Л (а„и а„) аовпалают, т.с.
сушсьтвует ):крема выромлснвсе ""бете ""бствеянос значение и насти Л Л монет быть ненулевым м (т.е. иенулевыблок ыатр цы В размерности ь(Л-Ц неднюонюьиьм элементов . о ). Но »тат блок (хак и ми могут быть еп» ь( — ) не б введен к лию.опальному ася матрица В) армию, ввод и, в значит мопс» ьпь привел в ююей линейной «ом Виду переходам к м»а»астстеу т а ' . Поскаюку любая линейявн «амбннапия а торов (,1»). освою бсоюиному значению, будет оператора А. отвеюющ ы, нл аю ю вы, пленному со о в а там ме саба»асиным »паче синем, то диагона. сараеве»»иой лля оператора а т В хранит лиапюальюють и визання согпаетствуилц .
В хранит илцего бло«а матрицы В сохранит матрицы А (при умыв«и, чта в результате прео (ч' тд) лись взаимна ортгональными). матов оператор и диагональному виду, мамПрасбрюонанис, пркваюацее зрмвтав оператор н д на выбрать унитарным нне, при котором фуню»им )(и аапаазююлетая (Онредгюяие) Преобразаявнне, при к ап 3 оператор а=, глг. — О ВО, . Π— унифункнвя!1». -О')р>, а оператору уюпарнос — »уе- „ в »гс- „езоввние имеет слелУююне Вй(й!ряб (1) сохранит зрмимюсп операторов: если л" =(О ВО)" =О'3"О'" =О'ВО =а (2) сакрюмет юммугзционныс сна»во»асина: осли нсходяо О ВО=а, О'ВОмр, 1= О»ОО.= О" ( 1 В)О = О' ВВО- О'ВВО = О лОО ВО О Вбб ВО л)) Р, ПП с,гхйюыст о «сг ообствевныс значения оператора» сели 3!)>ма)(>, О'ВО.=Л, О')(>(б> и» й2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
