А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 9
Текст из файла (страница 9)
$1.2 Классические модели несжимаемых жидких сред В механнке сплошной среды отличие жидкОй среды от твердой проявлнется в том, чв движение первой описывают с помощью вектора скорости. тогда как движение второй с помощью вектора перемегценнй В жндкнх срелах вводят тензор скоростей деформацц е, компоненты которого выражаются через компоненты вектора скорости так: Как н всякнй симметричный тензор второго ранга в трехмерном пространстве, тензор ' имеет трн ннварнанта.
Первый ннаарнант через компоненты тензора выражается так; )! ец ч-ьэзч-езз н для него полеаны следуюшне зквнвалентные выражения ), = бо, Гдх, = Йч Для несжимаемой жидкой срелы в силу уравнения (1.8) первый инвариант тензора равен нулю (! жуд = О,' Таким образом, тензар е для несжимаемой среды являет девнатором. Чтобы построить модель среды, нужно установить связь между девнаторам скорости деформации н напряжений. Для нзотропных сред это соотношенне не должа зависеть ог выбора направленца осей декартовой системы коардннат. В класснческн~ моделях такая связь задается в виде соотноюення зч = 2Кеч, рч = — Рбо ч- зч. рче, = 2Кене, Так как сумма квадратов е„еп всегда положительна, то нз тре) бовання В > О вытекает условие К > О, которое всегда должн1 выполняться.
Потерь механической энергии не будет только тогда( когда в среде отсутствуют деформацнн, то есть среда двнжетсд как твердое тело Ньютоновская вязкая жндкасть определяется линейным саот ношеннем, в котором К = Р— фекоменологнческая постоянная, Она называется козффнцкентом динамической вязкости. Тензор напряжений определяется так: Ш= Ои„га,г у Рнс. 1 4 Закон трения вязкой жндкостн. р;! -— — — Рбгг ч 2деч, (1.15) 'О лзух хругнх чкварнак «х тензора сч учеаннг Седова Л.И в котором К может зависеть от второго н третьего ннварнантов тензора е. Таким спасо бам, можно апнсать сложные механические свойства разлнчных полнмерных жидкостей металлов под высокнм лавленнем. смазочных растворов н других материалов.
Такие среда называются неньютановскнмн жидкостями. В зтнх средак скорость днсснпацнн энергнн ! единице объема вычисляется так: б! З УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ И ИДЕАзТЬНОЙ ЖИДКОСТЕЙ длг. сдвигоеого течения около твердой стенки имеем о„= Ду, о„- о, = О. Подставляя эти соотношения в П.)5), получим закон Ньютона для трения вязкой жидкости о твердую поверхность и =- О (рис )А) г = р„= ддо„(ду С помолшю втой формулы измеряется коэффициент у Единицей измерения и в системе СГС г принята ! П = 1 , называемая пуазом Коэффициенты вязкости некоторых жидкостей см сек приведены в таблице 1.
Таблица 1 Диссипируемая энергия вязких жидкостей в единице объема вычисляется так. роеч — — 2дечеч Нз условия положительности скорости диссипации энергии следует, что коэффициент вязкости положителен. Если и = О, то такая модель называется идеальной жидкостью. Тензар напряжений я будет шаровым (см. раздел 9 части() Рч = Рйг. (1.!6) Касательные напряжения на плошадках в идеал~ной жидкости отсутствуют. Т = О. Эта простейшая модель введена Эйлером (К Ец)ег, 1755) Она не содержит ии одного феноменологического параметра и хорошо описывает инерционные эффекты жидкости. Применяется лля изучения течений с большими скоростями, кавнтационных течений, быстро изменяющихся со временем течений, течений са свободными границами, для описания волн на поверхности тюкелай хсидкости.
Однако эта модель не описывает трение на границе жидкости с движушимся в ией твердым телом Диссипируемая энергия рчеу тождественно равна нулю, по~ерь механической энергии иет. $1.3 Уравнения движения вязкой и идеальной жидкостей Для получения замкнутой системы уравнений течения вязкой несжимаемой жидкости нужно подставить в уравнения движения (!.П) реологический закон (1.15) и добавить уравнение (1 8) Тогда получим следуюшую систему уравнений Рсгбгчс = РЯ вЂ” КгабР -~- 2РПш е, (1.17) фоо = О. ГЛАВА ( УРАВНЕНИЯ И А(ОДЕЛ 50 Эта система уравнений называется уравнениями Навье-Стокса Если в ней положить р =- О, то получим уравнения Эйлера лля движения идеальна жидкости.
Система уравнений (1.)7) записана в тензорной, не завнсягдей от системы координа$ форме. Первое уравнение — векторное (три уравнения для компонент), второе урзвненН~ — скалярное. Уравнения определяют три компоненты скорости оь ез,оз и давление р зависимости от координат и времени Длн написания уравнений по компонентам в произвольной системе координат лостзточий воспользоваться формуламн тензорного анализа лля компонент вектора ускорения, грзднен и ливергенций тензора и вектора.
Мы рассмотрим трн наиболее употребитегьные скстем координат: декартову, иилиядрическую н сферическую Декартова система координат х,у,г или хихз,хз. Компоненты вектора ускорении (),— ' с(о') ~Ь„до„дп„снㄠ— — .(о +о —,.... гд/„д( Ыдх "др 'дг' " Компоненты теизора скоростей деформаций й~, ! Гдов снзу'з е»„= еп = —., езз -- ем = — ( — -)- — /,. дх " ' 2 (, ду дх / " Компоненты вектора днвергенпии теизора скоростей деформапии 2)ЭЮ е) = суо„(2РЬ е) = суп„(20гн е) = До,. ( - . — ' - -, — ' - -,— Компоненты вектора градиента (йгайр), = †.-, (Вгайр) = †. (Егабр), = — . др др др дх' " др' ' дг' Дивергенния вектора скорости й(т В = е„„ч ею 4- еы = еп -~ а~ 4- ею Компоненты ротора вектора доя до, ~ъ доя (го) о)„ =- — я — — г, (го( о)„ = — — †„ я, др дг " дг дх ' до„до, (го( о), =.
— . дх ду ' д'Ф дзФ дзФ Оператор Лапласа Д Ф = — у -ь — — -ь — „- дх дрг дг"' УРввнсннн впеРвые покУчсны фйвигзскн Ученныы Нввм (Кв зс . ЗВ!2). Ангнннскнй г ный Стоке 45гойсз, !545) нвк вывол уравнений в пояучн.з р*л ренский звзвч течения вязкой ыняюстн Цилиндрическан система координат г, ф н з (рис, 1 5). Физические компоненты вектора ускорения ( ),=-ч г(1, дг ' 'дг г дф 'дг (~.=' ' ф!)е дг г 'дг г дф 'дз' (~,-' Йо'г до, гйг, ое Ав до, — = — т о, — -1- — — !- о,— д!), дг 'дг г дф ' 'дз Физические компоненты тензора скоростей деформаций дг ' до, о, дф г' до, ез, =— де ее„=-— г 1 г'1до ое 1до,'г г гдф)' е,в = Физические компоненты дивергенцни тензорз ( )- де„! де,, де„е„, — еее Рм е дг г до дз ( )=' де,е !де з де,е 2е„е Рм е -,!е дг г дф дз ( )=' де„1 деог де„е, РН е д дф д Рис.
15: Цилиндрическая система координат. Физические компоненты вектора гралиента (ягайр), = †, (кгайр) др 1 др дг' г дф' (дгайр) др г дз Дивергенция вектора ! д(го,) 1 до до, йяо= — — ' д. ° дф д Физические компоненты ротора вектора гм до (го! ст)„= — — —, де дг' 1 (д(го ) (Ь,)! (го)6), = — ~— г ~ дг дф!' 1 до„дое (го( о) г дф де ' !д / дФ5 )дгФ дгФ Оперзтор Лапласа гзФ = — — (г †) ч- — — , г дг (, дг ) гг дфг дзг 5! з 5 рдвнвния движвния вязкой и идвйльной жидкоотвй Глйдй !. УуйВНЯННЯ и й(ОДЯЛ! 52 (а =--'ив .",е~яд— ,."я-, (",-",-) =О, (а =О Физические компоненты тензора скоростей деформаций ~Ъу оя оя еяя= —, ем= —, еа= —.
дЯ' Я' е' Я деля Зеяя Физическая компонента ливергенцин тензора (01т е lя Физическая компонента вектора градиента (дгабр)я = дргдЯ доя 2оя Днэсртсион» ВЕКтпра д1т и Еяя т Егя Ч Еэе дЯ Я' Физические компоненты ротора вектора (го!6) = О. дэф 2 дф Оператор Лапласа бф(?,Я) = —, ч- —— дЯэ Я дЯ Упражнения 1. Плоскопараллельным называется течение. в котором компоненты скорости н лавлеиие не зависят от одной из лекартовых коорлинат, например, а, а также о 0 (рнс !.6 а).
Написать уравнения Навье-Стокса плоскопараллельного течения. а) в Лекартовой системе коораинат х,у, б) в полярной систеьы координат х = г созд у = гып с!; в) привести примеры таких течений. Ответ, а) р ( —" ч-о,—" — о —" ~ = лу„— — —; 2п?уо, (, д( * дх г ду,) " дх г'до дг~„ до„) др до„ доэ р ( — Г т от — й -1- о.
— "( = ранг — — ч-2н?зо„, —" -1- =" = О. (т дГ "дх э дУ ( " дУ "' дх дУ (до, Ю, о„до, "э ! др г'де„ б) р — е о,— + — — — — = рф — — ч- 2ц (— ! д! ' 'дг где г) ' дг (,дг г'дое о, доз пе до„'1 1 др г'де„, , (Ь вЂ” + — 'от+от — — — 'Г! =Руэ — — — +2Р ~ — ' (,д! г дг г дб) где ~, дг дг' где г* 'е 2(дг г 1 дее, 2е„ др 1 дете 2е„, й ф — — ч- — з), . дб ° )' )д(го,) 1дьэ бы У = е„ч е э = - — ч- — — э = О. г дг где 2. Написать выражение лля скорости лиссипацин энергии в елииице обьема лля плоскспараллельного течсния вязкой жидкости Сферическан система координат Я,р,о. Ограничимся случаем сферической симметрии Б уравнения движения вхолят функции оя(г, Я) и р(1, я1, остальные компоненты скорост4 рвань нулю.
Физические компоненты вектора ускорения 4)З УРЛВНЕНИЯ ЛВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ И ИЛЕдЛЬНОЙ ЖИДКОСТЕЙ а) в декартовой системе координат х,у; б) в полярной системе координат х = г соя ф, у = г в1п ф Ответ а) 4м(ез, -1- ег„), б) 4р(ег, ж ез ), 3 Написать систему уравнений лля течений одного направления (рис 1.б б). Решение. Выбираем направление аси г декартовой системы координат по направлению скорости. Тогда поля скорости и давления в этой системе координат будут иметь следуюгдий обший вил а, аз=О, о,=а(гх,иг), р=р(гху,г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
