А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 6
Текст из файла (страница 6)
о(г) ' из х бг — '6 . о," = г,,бх,. (3.3) Первые два слагаемые правой части совпадают с формулой Эйлера для распрелеления скоростей точек твердого тела, Б(г) — поступательная скорость в точке г, и — вектор чгловой скорости. Последнее — третье слагаемое Р' — определяет чистую деформацию. В абсолютно твердом теле о' = О.
ГЛАВА 3. КИНЕМ.АГИКА гКИДКОР( ДЕФОРМИРУЕЛ(ОИ СРЕДЪ| 30 27. Тензор скоростей деформаций, Деформапианн.е течение определяешься тензором 1 ич = -(и,ч ч-и| ) (34) Выясним как изменяется элемент сплошной среды аг Изменение вектора бх обусловлено тем, что конец л начало его движутся с разнымк скоростями й|П и и(г — бг) О~сюда с помошью (3.3) имеем дỠ— = В х бг -|- и . |а, .= с,,бх ) Ф Г (3 5) Умножая абе части равенства (3.5) скаляриа на век~ар бг, получим - а'бг бг — = бгй* = и, бх,бх, йг ч Учитывая тождества -абг 1 д - - |д(б (з д;бг( бг- — = — — (бгбг) = — ' = ,'бг) — ' аО 2ВГ 2 дт ' дг найдем относительное удлинение волокна срелы, направленного по епиничному вектору л ! грбг! бх, |бг' д| ' )бг( (3 6) Если единичный вектор и направить по оси х„он будет иметь компоненты Л(1,0, 01 Тогда из (3.6) получим, что относительное уалинение волокна направленного па оси х, бузет равно ап.
Таким образам. диагональные элементы тензора скоростей деформаиий ип,итг,изз — это относительные уплинения волокон. оправленных по соответствующим координатным осям х|,хз,хз. Покажем, что удвоенные значения компонент с неравными индексами 2иы,2иы,2азз равны изменениям углов В|з,Вы,йы ыежлу волокнами расположеннычи в направлении координатных асей соответственно х|,хт, хпхз и хз,хз. Для этого выбереч два бесконечно малых вектора р(Р.О.О) и Р(О,и,О) вдоль координатных осей х, и хз Запишем лля них уравнения (3 5) йр, 'д| = (чп х р), т а,|р, | = 1. 2, 3, Ц и,.
йи,|йг = 03 х й), е т ти, | = !Г2,3. | и, Умножив первую группу уравнений на и„а вторую на р, и просуммируем их по |. Тогдэ, учитывая равенство (О х р)й+ 55 х й)р =- О, получим г|(п". щ~ — =2и|зр~ г|| Подставляя а скалярное произведение и й = р исоа В|э и учитывая, что в начальный момент времени волокна перпендикулярны соя В|э = О, ып В|э = 1. для производной в начальный момент времени получим — риддгз(дт = 2и|зпг- 21 Диалогично можно получить равенства для волокон, направленных по другим взвил!но перпендикулярным осям Отсюла следует 2ою =' — ддюуд!.
2огз = — ддгз(дг, оотз = — гсдж'д! Удвоенные компоненты с неравкыми инлексами 2о|т,йо!з,2озз называются с коростами сдвига и определяют скорости изменения прямых углов между волокнами ноправяеннык по координатным осям 28. Деформации в главных осях. Тензор скоростей деформаций — симметричный тензор и для него можно применить все выводы. полученные для тензора напряжений а разделе 24 Его также как и теизор напряжеьий можно привести к главным осям направленных по главным направлеиинм единичных векторов з,.
эз. зз. в которых матрица тензора а будет имет~ диагональный аид О из О где и!, из. иа — главные значения тензора с Можно также рассмотреть эллипсоид деформаций и показать, что собственные значения «низ из яаляютсн экстремальными значениями относительных удлинений Если расположит их в псоядке возрастаняя и! < ит с из, то и! будет наименьшим, а из — наиболыиим относительным изменениеы волокон. Рассмотрим как деформируется частица среды, первоначально имеющая форму сферы малого радиуса е В процессе своего движения через малый промежуток времени д! она превратится в эллипсоид. В главных осях эллипсоид Ойдет иметь полуоси е(1 -!- и!д!), е(1 + итд!), с(1 + изд!).
Первоначальный объем частицы )са .= (4к/3)е~ через малый отрезок времени о! будет иметь объем 1'= (4ксЗ)ез((е (и!-из + из)д!). Относительное изменение объема ~астицы среды равно 1 д)! =и!" из ! из У' д! Наибальщая скорость сдвига ранна и,„= из — и, В главных оснх такую скорость сдвига булет иметь волокно, направленное по биссектрисе координатной плоскости хз = О 29.
Ииваривмты. Первый инвариант теизора скоростей деформаций а =и,,-иг и,=д(ча определяет скорость изменения объема частицы среды. Для несжимаемой среды он равен нулю, г тензор а наляется девиатором. Остальные даа инварианта тензора деформаций через свои собственные значения выражаются так (см раздел й ) (3 = и!изггз (з .= и!из е и!из 4 изиз, В классических (ньютоновских) жидкостях учитываются линейные скорости деформаций. Поэтому лля описании лвижения классической жидкости первый инвариант играет основную роль, а второй и третий имеют второй и третий порядок малости по скорости 32 гллвл з. кинвмлтикл жидкой двоормирутвмой срвды деформадий и не учитываются а уравнениях движения.
В более сложных нелинейных моделях (иенаютоноасхих) жидких средах второй и третий инварианты входят в уравнеиив движения наряду с первым инвариантом Глава 4 Уравнения движения жидких сплошных сред $4.1 Общие законы динамики сплошных сред. 30. Обжив и отличительные черты жидких и твердых сплошным сред. В главе 2 было показано, что напряженное состояние сплошньж сред не зависит от свойств среды. Установленные свойства тензора напрвжений не зависят от того какой является среда жидкой или твердой.
Дифференциальные уравнения сохранения массы ().24) и динамические уравнения г2 3) универсальны и применимы к любой среде, Различные формы таких уравнений механики сплошной среды приводятся в этом разделе. Однако, этих четырех уравнений не достаточно, чтобы получит~ решение лля трех коипонент скорости, плотности среды и шести компокент тензора напряжений.
Длв того чтобы написать замкнутую систему уравнений нужно коькретнзировать модель сплошной среды Для этого нужно установить связь между напряженным и деформационным состояниями сплошной среды. Следует отметить сушественную разницу в полхолах для описания деформаций в твердом теле и жидкости Для описания дефорьгационного состояния жилкости были введены поле скорости и тензор скоростей деформаций В твердом теле обычно деформации небольшие и для нх описания вводят вместо поля скорости поле перемешеннн материальных точек, а вместо скорости деформапии — просто деформации. В этом н состоит различие в механическик моделях жидких и твердмх сплошных сред. Не смотря на это различие, способ построения теизора деформаций по полю перемешений аналогичен описанному в главе 3 построению тензора скоростей деформаций по полю скоростей Поэтому методы МСС олинаково применимы к описанию как жилкнх так и твердых сред.
Мы ограничимся рассмотрением вывода замкнутой системы уравнений для некоторых наиболее употребительных жидких сплошных сред Отметим также, что разделение сред нз жилкие и твердые является достаточно условным. При увеличении нагрузки процесс лефоомнрования в твердом теле может перейти в пластическое течение Такие среды, могтт иметь области пластического и твердого состояния Эти эффекты учитываются в поиведенных ниже моделях пластических и вязкопластических орел 33 глАВА 4 урдвнения движения жидких сплошных сред 34 31. Общий подход к выводу дифференциальнык уравнений движения сплошной среды. В разделах 15, и 22 были приведены способы вывода дифференциальных уравнений сплошной среды.
Их полезно дополнить общим подходом на основе формулы диффеаенцировзнин по времени ннтгерала, взятого по подвижному объему (см раздел 20 ) Пользуягь теоремой Гаусса-Остроградского, формулу (1 34) можно эааисать так (4.1) Введем понятие полной произволчой по времени от функции А(их,) Она учитывает закон движения материальных частиц х,(11, г = 1,2,3. По правилу лифференциравания сложной функции г( дА г(х, дА — А(г, х;(г)1 =- — -г — ' —. дг й! д»,' Заменян дх, — =а,, ш получим вмражение 1Я дА дЯ вЂ” = — 4 ц —.
й! дт дш (4.2) которое называется полной производной по времени от А. Второе слагаемое (4г2) называется конаективной производной. С помощью формулы полной производной (4 2) произволную интеграла (4.1) можно записать так й ~ЯД!' = ( ~ — еАйтй) ЦУ (4.3) 32.
Закон сохранения массы. В раздел 15. главы 1 было вывелено дифференциальное уравнение сохранеяня массы. Ввиду его важности покажем как оно выводнтсн с помощью формулы дифферекцированин интеграла по материальному объему сплсшиой среды. Сохранение массы вещества в материальной области У с помощью формулы (43) можно записать в виде — — = О или — ч- фэ'(раП .= О др д(ро,) др дс дх, дг (4 4) Это уравнение называется уравнением неразрывности Его можко записать также в виде г(руш+рб)тй= О (4.5) где р — платность вещества в момент времени Г в точке пространства с коордкнзтами х, Учитывая, что эта равенство имеет место для любого материального абьема, получим дифференциальное уравнение ОЕШИЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНЫХ СНЕД. Для несжимаемой среды плотность частицы сохранятсн, что выражается уравнением Зг(ДГ = О.
ТаКИМ ОбРаЗОМ, ЗаКОН СОХРаНЕНИЯ МаССЫ В НЕСжИМаЕМОй СРЕДЕ ЗаПИСЫВастеа В аиде двух уравнений Ир'(т =. О, йтст = О. (4.б) Если среда однородна и несжимаема, то р = сопят, бшп = О (4.7) д(пА) ., ДА УЗ, — + рАйкб= р — А ( — ч-дб(чб Зт дт (дг и, пользуясь уравнением неразрывности (4.5), упростим г((рА), ЗА — -!- рА б)т О = р —. Зт д( Таким образом, формулу (4.3) можно записать в следуюшей компактной форме; — (' Лдсп — / р — ДУ. (4.8) 33. Уравнение количества движения. Дифференциальное уравнение количества движенив сплошной среды было уже выведено (см (2.8)) Покажем, как его вывести из закона изменения количества двкжения для материального объема среды в интегральной форме до дг,) — — рйтд)г е ~ р, ЗЗ.
зг (4.9) Злесь (? — количество движения срелы, заключенной в материальном объеме !' () = /рбДУ. Применяя формулу (4.8), получим Г дст — ( р — ду. дг / д Правая часть (4 9) — зто сумма сил. действуюших на среду. Первое слагаемое — зто суммарнан сила тяжести. Второе слагаемое, суммарная поаерхностная сила, приводится по формуле (!.ЗЗ) к объемному интегралу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
