А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Эти грани являются проекциями наклонной грани и их площади равны 5ль 5пт и 5лз соответственно. Таким образом. по теореме о среднем для суммы поверхностных сил получим Р„Д5 = 5Є— 5л,р, — 5птрз — 5п л., 4 зг где чертой сверху обозначены средние значения соответствуюгцих величин. По теореме о среднем значении интеграл в левой части уравнения (2.3) бчдет равен произведению объема тетраэдра И5/3 на среднее значение вектора Р(ю — Е), где 5 — плошадь грани с нормалью 5, а й — высота, опушенная на зту грань. Таким образом, сокращая на общий множитель 5, получим следующее уравнение л — л(ш — Е) = Р.
— л~РП вЂ” пярт — «зрз. 3 Устремляя высоту тетраэдра к нулю Ь О. получим слелуюшее выражение для напряжения на любой площадке с нормалью Я Р„, = П,Р, Ч- ПЗЙ + ПЗРЗ. (2.4) Обозначим через Рн,рш,рл компоненты вектора напряигений р, (1=1,2 3) Они образуют матриду из девяти чисел Рп Рзз Рзз (2.8) формуле (24) можно вычислить напряжение р„на любой гзощадке с и, зная их, па нормалью л. Перейдем к другому базису выводу закона преобразований для чисел р, (Н =. 1.2.3 при переходе к (1.8): э,' = сйэ,. гз) 1,)~~э ГЛАВА 2.
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯННЕ 25 Зафиксируем площадку и соответствующую ей нормаль л. Тогда напряжение р„и нормаль и будтт векторами. В лвух различных базисах э, и э"' в соответствии с определением вектора (1.12) и обратным законом преобразования его компонент (1.9) имеем Подставляя в левую часть первого равенства два вторыл, получим (С„од Риг — Рч)П;Э', — — О Отсюда, в силу произвольности и,' и э'„ вытекает тензорный закон преобрааования (1 16) Таким образом, компоненты напряжений рь образуют тензор второго ранга р = р„э,эг - тензор напряжений Компоненты напряжения (2.4) на площадке с нормалью й можно выразить через компоненты тензора напряжений и компоненты нормали (2 6) Фэ), =роя,, 1=1,2,3. 22. Дифференциальные формы уравнений.
В рааделе 15 был приведен пример использования теоремы Гаусса-Острогралского для перевода закона сохранения массы в интегральной форме в дифференциальное уравнение Эту же идею можно использовать и для других законов механики. Покажем как из принципа Даламбера (2.3) и уравнения моментов в интегральных формак р(ю — г')ЮР = ( р„лд, Удк г х ( р(ф — Д)] о(г = / г х р, г(5, (2 7) ~р(ф — Р) — Ощ р] гПг = О, У~,—;ю - 1 (г х ~р(ю — ги)) — 01н(г х р) оу = О, где символами 01т о и Опдг х л) обозначены следующие векторные выражения др,, д)Т, дД О~ч р = — т — -1. —, дх~ дхз дхз ' д(г х рД) д(г х рз) д(г х рз) 0Ь(г х р) = ч- =гхО~У р, дх~ дхт дхз дг дг дг + —, х рП + — х рз + — х щ дх~ дхт дхз получить дифференциальные уравнения.
Для этого применим теорему Гаусса-Остроградского к поверхностным интегралам в правых частях. Для первого интеграла эта формула уже была выведена ранее (1.ЗЗ) Подынтегральную функцию второго интеграла ьюжно также записать в виде трех векторов (г х р,) . и и применить к каждому теорему Гаусса-Остроградсного В результате каждое уравнение приведется к интегралу по объему 26 ГЛАВА 2 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Послелние производные от радиус-вектора г по коарлинатам равны единичным базисным векторам дг)дхг = э,. Поскольку подынтегральиые функции непрерывны, то интегралы па произвольным. как угодно малым, объемам ) могут быть разны нулю, если полынтегральные функции нули.
Отсюда из принципа Даламбера получаем уравнение движения в лифференциальной форме (2.8) РО — Р) — Р1ч и = 0 Из интегрального уравнения моментов следует г х (р(ю — Р) — Рш р) — (эП х р! -1- эг х Рг — эз х Р ! = 0 и, учитывая уравнение (2.6), получим следуюшее уравнение э~ х Рг .! Э2 х гуг'! Эз х )П = О (2.9! 23. Симметрия тензора напряжений. Воспальзуеьгся равенствами э! х э, = эг х эг = эЭ х эй = 0 и подставим в векторные произведения (2.9) выражения (2.5) Тогда получим э~ х эгргг+э! х эзр|з эг ха!Рн+эг эзргз ' эз ха Рп Ь аз х эгрзг = О С помошью свойства векторного проиаведения э, ха, = — э, х э,.
уравнение можно упростить эП х бг (Рю — Р~г) в эг х эз0222 -Рм) жаз х эг (тз! — Р~з) = О ю эз (Р22 РЫ ч-эД (Р22 Р22) -ь э2 Опг Рю) = О. Отсюда следует: р 2 — — Р22. Р22 =- рз2, Рз~ =Р~з, т.е тензор напряжений симметричный. Таким образом, симметрия тензора напряжений является следствием уравнения моментов сил 24. Эллипсоид напряжений, Каши предложил рассматривать равенство (2.6) как линейное (афинное) преобразование вектора л в вектор Р„.
Преобразование (2.6) переводит сферу )л! =! в эллипсоид, который называется эллипсоидом напряжений (рис. 2 3) Рис. 2.3; Эллипсоид 2.3; Э липсаил Матрица тензара рп является матрицей афинного преобразования. нагряжений Поэтому тензор иногда называют афиннором Эллипсоид напряжений дает простое геометрическое представ.
ление тензора напряжений. В раздел 6, главы 1 было показано как привести тензор к главным осям и как найти главные значения и главные направления симметричного тензара. Прелположим, что они найдены и обозначим главные значения тензора напряжений че ез Р аьпг,аз, а единичные векторы главных направлений через э, о, эгз, аз о. Тогда в главных осях равенства (2 6) принимают вид рч — — а,бь ю (Р„)! = п,ль (Рь)г = пглм ОУХ)з = азлз.
(2.10) уравнение поверхности эллипсоила напряжений можно получить из условия лг-Ьлг+лг = 1 ((Р )!)г Нр )2)г ((Р )з) (и!)г (ог)2 (аз) 27 Отсюда ясно, что главные значения тензора напряжений аь ащ с з, а главные направления совпгзают с направлениями осей эллипсоида. Таким образом, псхтучаем слелующие свойствг тензора напряжений 1. Три главные направления а, , это, эз взаимно перпендикулярны и нзправлень по осям эзлипсоила напряжений. 2. Длины полуосей ззлипсоида напряжений ргвны ~лавным значениям тензора напряжений аь ат, аз. 3 На площадке с нормалью главного направления з, о касательное напряжение равно нулю, з вектор напряжений Р(лП коллинеарен э", о н равен по величине главному значению г„г = 1,2,3.
4. В главных осЯх э! о, это, эзо) вектоР напРЯжений Р„имеет составлаюшие а,п!, азат азчз, нормальная А', (проекция на нормаль л) и касательная (цроекция на плоскость перпендякулярную нормали) т„ составляющие имеют вид А'. =- а~п! ж агпт 1- азлз, т 3 -„, =,,лг,.зпт,~зла а(а,пт,с,пз..злз)з СВН) и Нормальные напряжения на площадках имеют три экстремальных значения, равные главным значениям он аз,аз. Наибольшее нормальное напряжение на площадке равно наибольшему абсолютному главному значению. тах)ЛГ„,, '= жах()а!(.
)ат(,(аз!). б. Наибольшее касательное напряжение на площадке равно наибольшей полуразности собственных значений 11,, 1, ! жах(т„) = шах (-(а — а!!. — )оз — сгт,', -1аз — а~!) . (2 "2 '2 Этот результат получен независимо Тестом (Оещ 3. 1900) и Мором (Мойг О 1900) и является основой теории пластичности. Для плоского напряженного состоянии результат был достигнут еще Сен-Венаном Перечисленные свойства 1-5 легко получаются из рассмотрения эдлипсоида напряжений. Свойство б можно получить из определения зкстремуьга функции тз в (2 Н) при условии а! + пт т+пгт. Используя метод множителей Лагранжа, задачу условного экстремума можно саесгн к условию безусловного экстремума функции 1' = тг '- Л(п.л, — 1). зависящей от полз, лт и множителЯ ЛагРанжа Л ДиффеРенциРУЯ 1 по независимым пеРеменным пн пт, пз н Л, получим систему четырех уравнений [а~ Ч- Л вЂ” 2а,(а~па ч-атптз азпзт))(Ш = О, г = 1,2,3, и, + пт ~- пз = 1 з 3 3 Решение ищем в виде, в котором лз = 0 Тогда получим следующую линейную относительно лил:, к Л систему уравнений 2аглт 2а~атлр г— Л = ат, 2а~азп"", 2атлз — Л = озт, т лэ -1-лт =!.
! т Эта система имеет следующее решение и, = лз = 1/2, Л = сй т . 2 з ГЛАВА 2. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 28 1 т -.' = -(от т э) — -(ог-.'от) = -(о~ — от)' 2 ' 4 ' 4 Аналогична найлем деа других экстремума: 1 Л = гт(оз, гт = — (гг) — ее\, 4 пт .= пэ = !22, — 3- пз - -пз —— !Т2, Л = отоз, т„= — (ет — ез) .
т е Наибольшее нз этих экстремаяьных значений на площадке равно наибольшей полуразности собственных значений. что и требовалось доказать. Следует отметить, что есть егпе три экстремальных значения, соответствующих нулевым минимальным значениям касательного напряжения на площадках главных направлений при и! лт = 0 и! пз и пт = пз О.
2Б. Девиатор и шаровая часть тепзора напряжений. Как и любой тевзор второго ранга тензор напряжений р„разлагается на девиатор зи и шаровую часть е г = — руэгг + з,„р = -(п~ + оя ч- с Н/3, (2.12) где р называется давлением. Подставляя найденные значения коэффипиентов нормали в выражение (211) получим следующее экстремальное значение для т„ Глава 3 Кинематика жидкой деформируемой среды 26. Поле скорости. Распределение скоростей в малой окрестности жидкости. Движение жидкой сплошной среды полностью описывается полем скорости В = о,з,. Компоненты вектора скорости о, зависят от времени ( и координат точки г(хпхг.хз). Рассмотрим точку г и ее малую окрестность Ет бг, бг(бхь бхг, бхз).
Распределение скорости в малой окрестности можно описать с помощью тензора дисторсии оы — — до;гдхг. С точностью до малых второго горялка Бгг поле скорости будет линейным по координатам бх, о, = о, ч-о„бх; о (3. П Теязор дисторсии можно разложить иа симметричную ц, = (о, г+вь,) гг и антисимметричную -;, = (о„— о,з),'2 части. Матрица ыь, выражается через компоненты вектора вихря го(Р !, ы, = -(го( ьт)., 2 ) ггдог дог 3 з=-( — — — ), г(дх, д„) (3 2) из О Если подставить оы — — ыч о сч а (3.)) и воспользоватьси выражением (3.2), то получим теорему Коши-Гельмгольца Б(г бгП =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
