А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, закон (4.9) монсно записать так /р( — )НР=/ (рд-';ВН р) ЫУ Если заменить в (4.3) подынтегральную функцию А нз дА, то под интегралом в правой час~и получим ГЛАВА 4, УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКИХ СПЛОШНЫХ СРЕД Г Ю'з р)х — ! =РЕ-О" р (,ц ! (4 10) Такая форма позволяет легко записывать уравнения в любой криволинейной системе коорлинат.
Для этого лостзточно спроектяровать соответствующие векторы на орть системы координат и воспользоваться соответствующими формулами дяя коыпонеит лнвергенции тензора (см 41.3, часть 2) В декартовой системе коорлинат уравнения количества движения имеют вид )дг 'д ! ' д,' (4 11) 34. Закон изменения йннетнческой внергин.
Из уравнения (410) можно получить закон изменения механической энергии Для этого нужно умножить обе части уравнение на о, и просуммировать их по 1 = 1,2,3. Затем воспользоваться тождествами /ддй Ы оз дри д(з,ри) до, д(о,рг,) Г,д)!, ' ВГ 2' ' ух, дх, сдх, дх, После подстановки получим уравнение изменения кинетической энергии в лифференциальной о ме фр с( оз дййрч) р — — = р(до7 + — и — В ги Ш 2 дх, (4.12) Левая часть уравнения — изменение кинетическон энергии среды в еаиииие объема.
В правой части первое слагаемое — работа в единице времени (мощность) внешних массовых сил тяжести, второе слагаемое — мощност~ внешних поверхностных сил и третье слагаемое — мощность внутренних поверхностных напряжений, Чтобы получить закон изменения кинетической энергии в материальном объеме У нужно проинтегрировать обе части уравнения (4 12) по объему 1г и воспользоваться теоремой Гаусса-Острогрздскаго и формулой (4.3) лг Е = Ла .1- Л| в 4 Лг Е„„„= Гр+ЫУ.
1 лы' = )'р(Еб7др. Л',.'„= — ) р, очду. , ш (4.13) Здесь Еумг, ЛА,'~, Л',1„'1, — мощности в объеме у внешник массовых сил тяжести, внешних поверхностных сил и внутренних поверхностных напряжений Мощность внутренних поверхностных напряжений Л'1,'1, определяет потери механической энергии. Длн нлассических молелей сплошных сред величина Л„'„ < 0 Противоположная ей по знаку величина П = -Л„, называется лиссипируемой в объеме У механической энергией Она опрелеляет ту часть механической энергии. которая переходит в другие виды энергии, например, в тепло. Диссипируемые энергии в единице объема и в объеме Р не могут быть отрицательными и отсюла получим дифференциальные уравнения движения в тензорном, не зависящим от системы координат, виде 242 МОДЕЛИ ИЕСЖИМЛЕМЫХ ЖИДКИХ СРЕД 37 Рчоч > О, / Ряочбц > О Мошность силы тяжести 74 можно представить как изменение потенцизльиой энергии силы тяжести Е„„ Ейэ = —, Е, — ~ рах,г(1' = ~ Рйзг(1' г гг) с(Еч йг где з — координата, направленная вертикально вверх, Если лвижение среды происхолит в области, на границе которой поверхностные силы работь ие совершают, то закон (4.13) можно представит~ как закон изменения полной механической энергии Š— = -О, Е = Е „„-ь Е„ дЕ (4.14) Заиетим, что рабата внешними поверхностными силами не совершается на твердой стенке и на свободной поверхности.
На твердой стенке вследствие условия прилипания П = О ыошность равна нулю о,р„п = О. Нэ свободной поверхности Г обычно задается условие отсутствия касательного напряжения тчы = О, а нормальное напряжение Игю равно постоянной величине Ро. Тогда г(р оье и = эзро ю и;Родб = Ро— г г Так как объем несжимаемой срелы не меняется иРУДг = О, то КяГ~о, =- О и ззкон (4.14) также имеет место $4.2 Модели несжимаемых жидких сред Для построения моделей жидиих сред нужно установить связь между девиаторами скорости леформации и напряжений. Для изотропиых срел это соотношение не должно ззвисеть от выбора направления осей деиартовой системы координат. В тензорно линейных моделях такая связь зздаетсн соотношениями (4.! 5) 5„= 2Коч, д! = — Рбч ч- з„, з котором К может зависеть от второго и третьего инвариантов теизора о (первый инвариант в несжимаемой среле равен нулю).
Для ньютоновских жидкостей К предполагается постоянной величиной Для неиьютоиовских несжимаемых жидкостей К может зависеть от второго и третьего инвариантов. В вязкопластических средах в качестве вторых ииваРиантов тензоРов скоРостей дефоРмаций о и напРЯжений Е вводит (/ = ;2оос, и Г = в~з,гз„/2 Тогда из (4.15) вытекает следуюшее соотношение между иивариантами ГЛЛВд 4.
КрдВНЕНИя ДВИ)ВЕНИК гКИДКИА СП.ТО!ДНВ)К ь ВЕД' 38 Зависимость (4 !б) можно приближенно заменить яа зависимость межд) наибольшим касательным непряжением н наибольшей скоростью сдвига тв,„= ц„„К н найти зависимость К(и „1 нв эксперимента Если связь (4 !5) установлена. то, подставляя ее в уравнения движения ОВ!!) н прнсоединвя уравнения (4.61 нли (47) почучнм замкнутую систему пяти уравнений для определенна функция р,р,гьст,оз, Несмотря на кажущуюся простоту, соотношения (4 !5) апнсывают сложные нелинейные ззвнснмостн напряженного состояния среды от скорости дефорл~ацин Перейдем к описанию четырех, наиболее употребнтел,ных, молелей жнлких сред. 35.
Идеальная жидкость. В соотношения (4 15) грнннмаем, что К = 0 Тогда тензар цт булет шаровым рч — — — рбч, (4.!7) Касательные напряжения на плошадках в идеальной жидкости отсутствуют, т е Т = 0 Эта простейшан модель введена Эйлером. Модел~ не содержнт нн одного феноменологнчес. кого параметра Онв хорошо описывает инерционные эффекты жнлкости н применяется для изучения течений с болыпнми скоростями. навитацконных течений, сушественно нестацнонарных течений, течений со свободными граннцамн, лля описания волн нз поверхности тяжелой жидкости Однако эта модель не описывает трение на границе жидкости с двнжушемся в яей твердым телом Днсснпнруемая энергия рчсп тождественно равна нулю, потерь механической энергии нет.
Этн эффекты учитываются в более сложных моделях. 36. Вязкая ньютоновская жидкость. В соотношения (4.15) принимаем. К = м, тле р— феноменологическая постоянная Она называется коэффициентом лннамнческой вязкостн. Тензор напряжений определяется так рч = — роч + 2моч ю Т = мО Для сленгового течения около тверлой стенки о, = Ду, о = с, = 0 полу ~нм закон Ньютона для тренин вязкой жидкости о твердую поверхность р = 0 - = р„= ~а.уВу С помошью этой формулы измеряется коэффициент р. Елнннцей измерения р в системе г СГС принята 1П вЂ”.
! —, называемзя правом. Коэффициенты вязкости р для некоторых см с жкдкостей прн температуре 20'С приведены ь табл. 1.1 Таблица ! ! Вещество и, г,г(см.с): Вешестзо р, г/(см с) т Ацетон , 0,00337 ! Ртуть ' 00159 94,2. МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕА1В1Х ЖИДКИХ СРЕД 39 Диссипируемая энергия вязких жидкостей в единице объема вычисляется так риоч = 2ио„о,, = ТН = РНЗ = ТтУР Для коэффициента К предполагается следуюшая 37. Идеально пластическая среда. зависииость от инварианта К: К = т,УС. Отсюда получим соотношение Рч = -Рбч 2тз о,гУУ, Т =- зчоч = Т1,' =- т,У.
38. Вязкопластнческая среда. Зависимост~ коэффициента К от инварианта 1/ такова К=„ч--,,!и, реологические соотношения иыеют вид Рч = -Рбч ж 2!Р + т,г777оч, Т =. РГТ Ч- т,. Э-и саотноше ~ия лля обшего трехмерного течения введены Генки 1Непсйу Н.2., 1925К Среда определяется двумя параметрал~и.
р — динамический коэффициент вязкости, т,— предельное напрнжение сдвига. При г, = 0 получаем вязкую жидкость, при и = 0— идеально пластическую срелу. Предельное напряжение слвнга имеет размерность давления. За единицу измерения -., в системе СИ принят пасналь !Па = 1НУм =-10гйсмссЕ Единицу измерения коэффициента вязкости П можно выразить через паскаль секунду Н! = 0.1Па. с В табл 12, приведены данине этих характеристик для смесей глнпернна с мелко размолотым порошком мела н глины, а также смазки фаэтол . Таблица 1.2 ' Т ..ь''! Вешества ! 2,9 4.39 ( 1.7 Глина с Смазка В лвижушейся вязкопластической лефорыации равна нулю ЕГ =. О. В среде может быть жесткая эона, в которой скорость этой области второй инвариакт Т неопределен и При течении а идеально пластической среде второй инвариант тензора напряжений по. стая ген Максимальные напрянгения на плошадках близки к постоянному значению г,. Диссипируеыая энергия идеально пластической среды такова ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКИХ СПЛОШНЫХ СРЕД 40 подчиняется неравенству Т < †, Окончательная формулировка реологического соотношения, учитывающая наличие жестких зан.
будет такой з„.= 2(рч- РО)а, ~ Т=П-р(У О > О. (4.18) (У = О. Т < -„. Это соотношение можно разрешить относительна компонент тензоря деформаций и выра- зить их через компоненты тензара напряжений Полученное соотношение будем называть обратным соотношением девиатаров напряжений н дефорллацнй Т вЂ” т, 2р " Т>т„ (4.19) и=о. Диссипируемая знергия в ядре равна нулю, а в области (У > 0 определяется так: ,Га„= ТО = рОХ т,О =- (Тз — ОТ)Уу (р„) = 0 5 0 ОпРеделить вектоР напРЯжений Р„ на площадке с ноРмалью и = дг' — зуУ' + дай.
Ответ: р„= — !ау -г Блй Упражнения 1. Какоиу условию должны удовлетворять три вектора а, Б с, чтобы из них можно было образовать треугольник. Ответ: ач-Ь+с=О. 2. Найти матрицу С, определяющую следующее преобразование базисных векторов у, у Д, Д с Проверить является ли матрица С ортогональной уг 010 л) Ответ С = О О! ! 00 3. Найти матрицу поворота системы ноординат на угол а относительно оси хз. уг сова — ыпа 0 тл Ответ: С = в!па соха 0 0 0 1 4 Вычислить суммы Бш БоБн, Бчбмб».
Ответ 3, 3, 3 5 В некоторой декартовой системе координат компоненты тензора уловлетворяют соотношениям: а) Уа = У, б) Уч = -Ун. Показать, что условия симметрии а) и антисимметрии. б) тензора выполняются н в любой другой декартовой систелле координат б. В точке М в декартовой системе ноординат компоненты тензора напряжений заданы матрицей 24.2 моддди ндсжимддмб(х жидких срдд ",. Записать закон преобразования тензора (1.!6) в матричном аиде. Ожееж. Т' =- СТО', гле Т и Т' — матрицы тензора г в исходной и преобразованной системах координат, С вЂ” матрица преобразования (1 4), Сп — транспанированная матрица. Ь Написать в матричном и тензорном видах обратный закан преабрззования компонент тензора ! Смеем' Т =- СпТ'С.
Гч =- с,тсО1,', 9 Напряженное состояние в неноторой лекартовай системе координат Ох,хзхз опрелелено тензором / 2 — 2 0 Орч)= ( -2 М'2 О 0 О хм2/ Вычислить компоненты этого тензара р,', в лругой декартовой системе координат. преобра. зованной с помогцью матрнцм С ( О 1/т/2 1/чг т! С = !/ъ'2 !/2 -!/2 )с -!/Л 1/2 — !/2 Решение. Закон преобразования (1 !6) удобно записать в матричном зиле (упр. 7) 0 1/ъ'2 !гь'2 тг / 2 -2 0 тг / 0 1/ь'2 -1/мгг тг (Р„) = 1/ъ'2 1/2 — 1г2 — 2 м2 0 ~ 1/м'2 1г2 — 1/2 ), — 1/ь'2 1/2 — 1,'2 0 0 — и 2, 1,'ч'2 — 1г'2 — 1/2 2 — ! 1-1- м2 10 Найти проекцию вектора напряжений Р,, (з.4) на нормаль гй Омееж.
р„„=- рчл,лг. и, Показать, что закон преобразования тензора напряжений можно получить, васпользовавюись выРажением Р „=дол;л, (УпР. !0). Реюение Так как р,„- тензор нулего ранга (скаляр), в любой системе коорлинат он записываешься одинакова. р,' л',л, '= р,, л, л, . Согласна закону преобразования вектора (1.12) л', =- с„л... л' = с л получим Поскольку направления осей произвольны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
