А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ТЕНЗОРНЗЯ АЛГЕБР4 П Тензор опрелеляется как инвариантный объект, не зависяший от выбора системы отсчета Для текзара первого ранга (вектора) Г это означает равенство (!.12) Это равенство для вектора Г означает, что в любой системе координат его величина и направление остаются неизменными, хотя значения компонент Гь Гт,та меняются Для тензора второго ранга равенство, определяюшее его как инвариантный объект, будет таким (1.13) В (1.13) выражение з",э, есть тензорное (или диаднос) произведение векторов, которое часто обозначают э, З з,. Его не следует путать со скалярным произведением двух векторов э", и эп которое будем обозначать э", э, а их векторное произведение обозначим как з, к эп Диалы э,з", в (1.!3) следует понимать как базисные векторы в девятимернам линейном пространстве; порядок следования базисных векторов в диадах з,э! сушественен, то есть диады э,эз и э,э, определяют разные базисные векторы.
Таким образом, тензор второго ранга Г можно охарактеризовать мэтрицей из 9-ти чисел :и или столбцом из трех "векторных" элементов !!,гз,гз (! .14) Мзз (аз = (а Числовые ги и "векторные" Г„г,/ =-1,2,3 элементы преобразуются в соответствик с апределяюшим тензор равенством (113). Перейдем к выволу закона преобразования компонент тензорая первого и второго рангов 5. Закон преобразования. С помашью обратного преобразования (1.9) найдем э!, =-э~с, г и равенство (1.12) приведется к виду Приравнивая коэффициенты при базисных векторах. получим следуюший закан преобразования компонент вектора г,' = сп(г, г = 1,2,3. (1.15) Отсюда видно, что тройка элементов (п(з,(з преобразуются с помошью той же матрицы с,г, что и базисные нектары в (18)) Поэтому закон преобразования (115) называется ьовариантным законом Аналогично из определения тензора второго ранга (1 13) получим ковариантный закон преобразования его компонент П.16) ГЛАВА 1 ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 12 Из законов преобразования ковтпонент тензаров (113) и (116) вытекают опрелеления тензаров первого П,!2) и второго (! )3) рангов.
Поэтому часто их берут в качестве определений тензоров первого и второго рангов По аналогии с (1.!2) и (1,13) ьюжно дать определения тензоров третьего, четвертого " т д. рангов. Л!ы ограничимся рассмотрением тензорав нулевого, первого и второго рангов. Тензор первого ранга будем отлэечать стрелкой г, а второго ранга — волной снизу б. Приведение тензора к главным осям. Рассвтотрим тензор второго ранга г с симметричной матрицей га = Ги. Такой тензар называется симметричным и для него можно найти базис э',,эг,э' и матрицу С преобразования ПА) так, что в новой системе координат этот тензор будет иметь диагональную матрицу Числа Л),Лг и Лз называются главными значенияьти тензора 1.
а аси координат новой системы координат называются главными осями тензара. Процедура определения главных значений и главных осей тензааа называется приведение тензара к главным асям Опишем алгоритм процедуры приведения симметричного теизара к главным осяи Он ничем не отличается от известной из курса линейной алгебры процедуры приведения «вадратичнай фермы к главным осявэ.
Составляется система уравнений (тп — Лэ )хт э гпхг -.'- !шхз = О ггЮ (Иг Л)хг+ Изхз = О гзэхт -' тзгхг + (тзз — Л)хз =- О. (1.17) Число Л, для которого сушествует нетривиальное решение системы хыхг,хз, называется собственным значением.
а вектор хт,хг,хз называетсн собственным вектором матрицы (н Система имеет отличное от нуля решение хт,хг,хз только в том случае, если определитель ее равен нулю ) (гп — Л) гп гш 5)(л) = ) г, ((гг — л) (гз = О ! (зэ Ггг (Гзз — Л) Раскрывая определитель, получим нт'бическое уравнение относительно собственных значений Л матрицы (о —.!' — ))Л вЂ” )г.!+)3 = О (1 ТВ) , .')ш тгз ' 1 гц г)з '' ,гп тш )з = беп,г„ (1 19) , Гы тзз, ! Гзг Гзз )1 :(ш тгг 'Иэ срввнення О )5) н О )6) внэно ш ы ен ы веюорв т н 'веюорв' т, лреобрвэ)ютс по рятны эвхонвн Зто оэнвчвет.
ч о столбен тре невзоров в О.)4) е вляетев тенэорон второго ранга Тенэорон лв ветен е олбеп "венторовб нонпоненты ко орых обяэвтельно попоны ютс прелеле ю П )3) Уравнение П.13) всегда ивтеет 3 действительных карня Л),Лг,Лэ, та есть три собственных значения. Они и будут главными зна.ениями тензора. й! ! ТЕНЗОРНАВ АЛГЕБРА Рассмотрим случай коша главные значении не равкы друг другу Тогда для кажлого из иих надется собственныи вектор «ьхт,хз Полученные три собственные векторы можно нормировать и то"ла получим три единичных вектора Можно показать, что все векторы взаимно ортогонаяьны. Эти три еанничных вектора э, '= снэ~ ч- с,гэз л-сюэз и являются искомым базисом, а компоненты базисных векторов с,, образуют искомую матрицу С Направления векторак э, 'являются главными направлениями )осями) тензора Рассмотрим второй случай, когда два собственных значенил иваны Л, = Лг, а третье собственное значение Лз м Ль Тогда по третьеь1у собственному значению Лз находим единичный собственный вектор хилз,хз и третью строку матрицы С сз, = хьсзз = лт.сзз =- хз Собственные вектора, соответствующие собственному значению Л, находятся из первого уравнения системы Н )7), а второе уравнение будет тождественно первому.
Собственным вектором будет любой вектор, лежащий в плоскости перпендикулярной уже найденному третьему собственному вектору В этой пдоскости следует выбрать любую пару двух ортогональных единичных векторов. Они и будут определять первую и вторую строку матрицы С. Наконец в третьем случае, когда все собственные значения равны друг другу Л! = Лэ = Лз = Л, тензор г имеет диагональную матрицу в любой ортогональной системе координат. Такой тензор называется шаровым. 7. Алгебраические операции иад тензорами. Операции над тензораии, в результате которых снова получается тензор, называются тензорными операциями. Сушествуют следуюшие тензорные операции. !.
УМНОжсинс тЕНЗОРа На ЧИСЛО: Гч = С Гл. 2. Слежение теизоров одинакового ранга гч = ач Ьч, 3. Тензорное умножение. В результате умножения двух произвольных тензоров получает тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Например, в результате умножения тензоров второго ранга а„ и Ь, получим тензор четвертого рангэ Гчэ, = а„бяь 4 Операция свертки — суммирование по двуи индексам В результате свертки ранг тензора уменьшается на 2. Например, при свертке тензора второго ранга получаем скаляр а = г„ 8. Инварианты. Функции компонент тензора. которые не иеняютси при преобразовании базиса, называются инвариантами тензора.
Например, инварнантом вектора о, является квадрат длины вектора о.о,. Три скалярные функции компонент тензара второго ранга (!.20) У, = г„, Уа = грйи У, = г,,;мгы получены в результате тензорных операций умножения и свертки. В результате получаютсл теизоры нулевого ранга — скаляры. Они не зависят от базиса и следовательно являются инвариантами.
ГПАВА У. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 14 Для симметричного тензора других независимых функциональна инвариантов нет В главных осях тензора г приведенные инварианты можно выразить через главные значения У~ -- Л '- Лз ° Лз. Уг = Л< « Лз « Лз, Уз = Л> Лз « Лз з , "з Характеристическое уравнение (1.19) не зависит от системы координат Действительно, его можно представить в зиле йег,)Т вЂ” ЛЕ , '= О, а в новой систече координат — в виде бе!) С (Т вЂ” ЛЕ)С~! = О, где Т вЂ” матрица тензора 1 в исходной системе координат. Определители матриц С и С равны друг другу, а произвеление нх определителей равно единице.
Поэтому уравнение совпадает с исходным, что и требовалось доказать Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения(1.19) — тоже инварианты Их можно выразить через главные значения тензора г У~ .= Л~ « Лам Лз, У = ЛгЛз « ЛюЛз « ЛзЛз Уз = Л!ЛзЛз.
1 . 1 У =Д У = (У' — Уе) Уз = -(УУ - ЗУУт 2(з) 2 ' ' б 9. Примеры тензоров. Тензоры нулевого и первого ранга имеют простую геаметричес. кую н физическую интерпретацию Тензорамн нулевого ранга (скалярами) являются многие физические характеристики; температура. плотность и другие скадар~не характеристики сплошной среды, заполняющей некоторую область пространства.
Инварианты тензоров более высоких рангов также являются тензорами нулевого ранга Примером тензора первого ранга является радиус-вектор тачии г(хь хт,хз) в силу равенств х.э., = х,э, ю хе = х се,. (1. 21) Тензораыи первого ранга являются такие известные из физики характеристики как скорость материал ных точек сплошной среды, напряженность электрического поля. Они характеризуются не только своей величиной, но и направлением.
Все поиведенные примеры физических характеристик являются ннзариантимми объектами в смысле данных выше определений теизора Кроме того. оии, как правило, зависят от точки пространства — радиус. вектора г(хи ха,хз) Такие тензоры называются тензорными полями. Более определенно поле тензороа нулевого н первого рангов называют скалярным и векторным полями соответственно (более подробно смотрите з),2). Из скалярного поля Ф(гП с помощью дифференцирования образуется векторное поле о, = дФУдх, Действительно, нз равенств (1 21), (1.9) и формулы дифференцирования сложной функции получим равенство (1 12) ВФ дФ о, = — = —,сз,, дх, дхе' э",.
=- счэ", 'ш о,э, = с„'с„счэ,' = о,'э,' =- б. Инварианты Уи Уз и Уз называются первым, втормм н третьим инаариантами тензора Первый инвариант, равный сумме диагональных элементов гь тензора, называется слепо м тензора. Пользуясь приведенными формулами можно выразит~ первый второй и третий инварианты через инварианты У!,Ут и Уз у!.2 ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ 15 Полученное векторное поле д иазызаетса градиентом скалярного поля Ф (см и 13 ) Аналогично, дифференцурая вектор о„ можно получить тензор второго ранга с матрицей оч = (йддхп Простейшим тензором второго ранга является шаровой тензор зп = Абч, где Л вЂ” скаляр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
