А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 8
Текст из файла (страница 8)
то р,'с,гсп — р, г =. О, чта является обратным 'г' л законом преобразования тензора (см. упр. 6). 12 Тензар напряжений в декартовых осях Ох!хзхз имеет компоненты 9ч)= ! 0 2 Определить главные напрнжения и главные оси тенаора напряжений. ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКИХ СЛЛОШНЫХ СРЕД Реюелне Согласно п. б. главные напряжения Л определяются нз характернстнческого уравнения ! ! — Л 2 ! = — Лз ч-ЗЛ ч.бЛ вЂ” 8= 0. 2 -Л) Главные значения являются корнями этого уравнення р, = — 2, р, = ), рз = 4. Главному значению соответствует главное направяенне э) = л)рч-пг)ч-лзд. где л), лг, лз удовлетворяет снстеме уравнений (3 — р))л) -г лг — лз = О л) -р)лг ч- 2пз = О . л, ч- л' ч. л, = ! г г г л) ж 2лг — р,лз = О Отсюда находим а) = ()/т'2)Π— Г)).
Аналогично находим эг .= ()гъ'З)Оà — ! — е) н эз = (Чэ'б)(-2) — !' — Д). Глава 1 Уравнения и модели ф1.1 Уравнении движения жидких сплошных сред Характеристики инаивидуального объема среды (масса, количество движения, знергия и др.) выражаются интегралами типа А(т,хг)г(УС Произноднзя от интеграла, взятого по индивидуальному объему У, булет определяться формулой (см. разделы 20 н 31 части !) — ~ А(г,х,)г(У = ~ — г(У + / Ао„г(Б лг дт Рис. !.1; Индивидуальный (жидкий) объем г Вт Здесь первый интеграл учитывает изменение функции А во времени, а второй, взятый по границе дУ, — изменение инливидуальной области.
Символом др обозначена граница области У, о„ вЂ” проекция скорости на внешнюю нормаль к границе дУ. Пользуясь теоремой Гаусса - Остроградского, формулу (1.1) можно записать так )' ('дА — ! Аор = ! — 41т(АВ)) ЛУ. (1.2) Введем понятие полной производной по времени от функции А(г,х,). Она учитывает закон движения частил среды х,(г).
г = 1,2,3. По правилу дифференцирования сложной функции дА г(х, дА — А(г,х,(гИ = — - -ь — '— г(Г дт Ш дх, 44 1. Формула дифференцирования по времени интеграла, взятого по подвижному объему, Общие законы механики сплошной среды применяются к индивидуальному объему У. Так называется область У, которая состоит из частиц среды и движется вместе с ними (рис.
1.!). 4) 1 ЯРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКИХ СПЛОШНЫХ СРЕД и с помоцщю замены дар дГ = о, получим выражение ЛА дА дЛ вЂ” — -!- о,—, Ш дг 'дх,' П 3) которое называется полной производной па времени. Первое слагаемое правой части равенст. еа (13) — частили пРоизводнаа по вРемени, а втоРое слагаемое называетсЯ конвектианой пРо. извозной Используя формуты полной производной П.З) подынтегральиую функцию в (12) можно преобразовать так.
дА/д! . д(Ао) дх, дАуд!+огдАгдх «Лдпгдх, = дЛВИ+Айсб. Таким образом, производную интеграла можно записать так 1 Ас(У = 71 ~ — +Абгар) гПС Л/ П.4) 2. Закон сохранемия массы. Сохранение массы вещества в индивидуальном объеме У с помощью формулы (1.2) можно записать так — у! р(т, хг)гПг = у! ~ — -!- 41т(рД) ЦУ = О, гзе р — плотность вещества в момент времени ! в тачке пространства с координатами х,.
Учитывая, что это равенство имеет место для любого яндивидуального объема, пол)чим дифференциальное уравнение — -1- Ьщ(ро! = О. др (1.6) дг Это уравнение называется уравнением неразрывности. Его можно записать также в виде дрр31-1- р бгтй = О. (!.7) Если среда однородна и несжимаеча, то уравнения будут такими: р = сопз1, Ьтб = О. (1. 8) Если заменить в (1.4) подынтегральную функцию А на рА, то под интегралом в правой части получим г((рА) цй Уг(р — + рАфтб= р — +А ~ — + рб)чб гИ ц( (, ц! и, пользуясь уравнением неразрывности (1.7), упростим г((рЛ) ЛА — + рАсщб= р— сИ ц! Таким образом, формулу (1.4) можно записать в следующей компактной форме — ! рАЛУ = уг р — г(У аг .l / д! (1.9) В правой части величина рб)г равна массе жидкости, содержащейся в индивидуальном объеме дУ, и является постоянной величиной. Позтом) дифференцировать ее не надо С помапщю формул (1.2) и (14) общие интегральные законы механики можно записывать в форме дифференциальных уравнений.
ГЛАВт) 1 УРАВНЕН!ЗЯ И Д(ОЛЕЛ)~ 46 3, Уравнение количества движения. Закон изменения количества движенкя для ин( дивидуааьного объема среды можно записать так б!З Г, l — = ! рддрэ ) Р,ЛЗ а / (1.(Щ Злесь Ц вЂ” количество движения среды. заключенной в индивидуальном объеме 1' 0 = / рбП'.
г Применяя формулу (1.9), получим а'й Г и'а — =~ р — пр. Дт / гИ г Правая часть (1.10) — это сумма сил, действуюших на среду, Первое слагаемое - это сумма массовых сил, равная силе тяжести Рис. 1.2. Вектор напра- среды в индивидуальном объеме. Второе слагаемое — это сумма жений иа плошадке. поверхностных сил (рис. 1.2) Суммарная поверхностная сила с памоюью теоремы ГауссаОстроградскога преобразуется так: 0У„)о5 =- / Эш р г(У э' Таяны образам, закон (1.10) можно записать так; ) р ( — ) б)' = / (рй + Гнч р ) б!т и отсюла получим дифференциальные уравнения лвижения, которые удобно записать в тензорнам виде г'и'ай ( — ) =ря (,ат,)- ((.П) Здесь символом р обозначен тензор напряженяй. а Пшр — его дивергенция.
аи арч р — = Л вЂ” -1- — ~, и =-д,х, =- — яг, г =1,2,3, б! дх, дк,' где и — потенциал вектора ускорения силы тяжести д (рнс. 1.3) 4. Закон изменения кинетической энергии несжимаемой среды. Из уравнения (!,П) можно получить закан изменения механической энергии. Для этого запишем уравнения движения в проекциях на Оси декартовой системы координат 411 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКИХ СПЛОШНЫХ СРЕД Умножим обе части уравнения на ст и просуммируем их по г = 1,2.3 Затем восгользуеьшя тождествами ВЛО брт ~ 3 бц. ВЕ Рь) (Ю, рис 1 3 Потенциал уско- С помощью уравнения неразрывности (13) и тожпества для рения силы тяжести симметричного тензора рч Ею 1 ггдо, до,'г ' Вхг ч2 [,бхг бх„) получим уравнение изменения кинетической энергии в диффе- ренцизльной форме г(от д 1 г'счг, дог 3 р — — = — [[рНбц ч- ро) ог~ — рчец, е, = — [ — ' ж — ' (1.!2) Левая часть уравнения — изменение кинетической энергии среды в единице объема В правой части первое слагаемое — работа в единицу времени (мощность) внешних массовых сил тяжести и внешних поверхностных сил, а второе слагаемое — мощность внутренних поверхностнык сил.
Симметричный тензор е„ называется тензаром скоростей деформаций. Чтобы получить закон изменения кинетической энергии в индивидуальном объеме 1', нужно проинтегрировать обе части уравнения (1 12) по объему У и воспользоваться теоремой Гаусса-Остроградского и формулой (!.9) (1.13) Е„„„= )" дзузц(3 Ь !'! = [ (р()бц -~- Р;,) лгогй5, Я(о =- — 3" рчечд1С дг т Здесь Яи' и ФШ - мощности в объеме !г внешних сил и внутренних поверхностных снл соответственно. Мощность внутренних поверхностных сил Я(п равна сумме потерь механической энергик и является отрицательной величиной.
Величина с обратным знакоьг называется скоростью диссипации энергии 0 = — гчьз и всегда положительна. При конструировании моделей сплошных срел нужна учитывать, что скорость диссипации энергии в единице объема, равная рчеч. всегда положительна. Она равна той части лгеханической энергии, которая переходит в тепло и другие виды немеханической энергии. Иногда этими потерямн механической энергии можно пренебречь и пользоваться упрощенной моделью идеальной жидкости, в которой потерь механической энергии нет Длв изолированной системы, нахоаящейся пап действием внешних потенциальных сил и состоящей из разных частей, закан изменения энергии можно пояучить, суммируя уравнения энергии аля каждой части системы. В результате суммирования внешние поверхностные силы исключатся, и закан измененяя энергии приведется к виду г( — (Е „„-!-Е„,) = -О, О = Рг,е,щу > О, (1.14) ГгТЯВЯ !. УРАВНЕНИЯ И ЛОДЕЛ где потенцнальная знергня Епм включает в себя патенцнальные энергнн внешннх массова снл, поверхностного натяження н, возможно другие вилы энергии (пркмеры смотрите разделах 21, 25, 41).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
