А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Упражнения !. Радиус мыльного сферического пузыря увеличился в 2 раза. Как изменилась толгдинг его пленкиз 2. Достаточно ли геоиетрическаго подобия для механического подобия течений? Глава 2 Гидростатика 22ал Равновесие жидкостей нод действием силы тяжести 1О. Уравнения гндростатикн. В гидростатике изучается равновесие жидкостей и газов При равновесии о = О, позтому вязкая жидкость неотличима от илеальной.
Уравнения равновесна (или гидростатики) имеют вил йгабр Рд. Пользуясь уравнениями гидростатики, можно построить изобарическис поверхности (поверхности постоянного давления р(г,х,у,х) = сопя(). Векторное поле у пересекает изобаряческую поверхность в каждой тачке по нормали к ней В обычных условиях вектор й имеет постоянное значение и направлен вертикально вниз В проекциях на горизонтаяьные оси х, у и вертикальную ось г уравнения принимают вид др др др — =О. — =О, — =-РУ. дх ' ду ' да для однородной жилкостн р = сопя уравнения гидрастатики легко интегрируются Р=Ро Руа где Ро - давление жидкости на уровне а = О.
При обычных условиях изабарическими поверхностями являются горизонтальные поверхности х = сопя. и. Уравнение свободной поверхности. Гранина раздела фаз жилкости и газа называется свободной поверхностью. Если пренебречь поверхностным натяжением, то на свободной поверхности давление жидкости равно постоянному значению, равному давчению газа. Таким образом, свободная поверхность является изобарической поверхностью. Поверхност~ волы на граниде с воздухом в обычных условиях является изобаричесиой, с постоянным атмосферным давлением на ней и представляет собой горизонтальную плоскость перпендикулярную вектору й' 12. Закон Архимеда.
Рассмотрим силу А, которая будет действовать на тело, со всех сторон окруженное жидкостью (рис. 2 П, ОЗ ГЛАВА 2 ГИДРОСТАТИКз Сила, как результат давления окружающей жидкость вычисляется так А = — ) рлд5 = — ) !)и — р г)йд5, )эь' .г т' где ВУ вЂ” граница объема тела У'. й — внешняя к тел! нОрмаль. Применяя обобщенную теорему Гаусса-Петроградское) (раздел )9, часть П и пользуясь уравнениями гидростатики получим А = — / гад(ро — рйг) дУ = / руйсЛг', .Ь' )т Рис.
2.! Закан Архимеда 13. Равновесие в иемнерциальной системе осче та. В системе отсчета, движущейся с ускорение! ю относительно инерциальной системы, на единиц' массы жидкости будет действовать дополнительна! сила, равная -ю. а суммарная си,та будет рави; У =й Есяи неинерциальная система отсчета движете поступательно равноускоренно относител~но пеннер циальной, то в уравнениях гндростатнки нужна за менить постоянный вектор й на другой постояннЫ! вектор д ' Свободная поверхность жидкости, находя щейся в равновесии, булет перпендикулярна вектор у'. Этот вывод можно проверит~ на следующем экс перииенте. На тележке закрепляется сосуд с водой При движении тележки с ускорением и поверхност волы будет плоскостью, перпендикулярной вектаР у' = д — цн (рис. 2.2!. Рис.
2.2 Поверхность воды в тележ ке, движущейся с ускорением. где й — елиничный вектор направленный вертикальна вверх На элементарный объем ду тела действует сила дЯ = руйдУ. Величина силы рави! весу жидкости рйдУ в объеме дУ. Сила дА направлена по вектору Д вертикально вверх Суммарная сила А направлена вертикально ееерл, равна лесу вытесненной жидкости з проходит через центр тяжести объема У, заполненного жидкостью, (См. упр. б!. Этот результат составляет содержание закона Архимела.
На тнго, со есел сторон окруженное неподвижной тяжелой жидкостью, дейстеуе со спюроны жидкости сила А, разная весу вытесненной жидкости, напраеленн противоположно вектору ускорения силы тяжести й Линия действия силы А пролодигй через центр тяжести масси вытесненной жидкост~. Закон Архимеда можно пояснить так. Мьгцченно заполним объем тела У жидкость Тогда на объем У действует сила А со стороны окружающей жидкости и сила веса рй' Жидкость находится в равновесии, поэтому сила А уравновеи иваетсе весом вытеснение)й жидкости руу', что и требовалось показать 422. РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТЕЙ... др , др др — = гъдг, — =О, рЫ. дг ' дс) ' дг Интегрируя первое уравнение, получим р = угждгз ч-((РСа).
Из ВтОрОГО ураВНЕНИя, Набдси, Чтс д(ггдСЭ = О ( = ((а). НаКОНЕц, подставляя в третье уравнение, получим для ((а) уравнение д( — = -рд ( = - рда -1- с. да Отсюда найдем распределение давления в жидкости Рис. 2 3: Поверхность воды во враюаюшемся р с — рдлч- -р дг 1 сос)ле. 2 На свободной границе имеем условие р = р„ откуда получим с ра Р 3 г = —.1- — г . ре 22 Свободная поверхность врашаюшебся массы жидкости является параболоидом. Постоянную с можно вычислить из закона сохранения массы жидкости в сосуде Рассмотрим сосуд цилиндрической формы радиуса )1 с отметкой дна з = О. Предположим, что свободная поверхность расположена выше поверхности дна а = О. Тогда масса жидкости гл вычисляется так т = р / 2пгбга(г)г(г = рк †'Вт -1- — В'~ .
!(с — р, З ьд ре 4е о Отсюда нахолим с и уравнение свободной поверхности с — р, ш ьР(1~ ш кр г' т 1 рд (я))з 42 ' рх))т 2д (, 2 $2.2 Равновесие жидкостей под действием сил тяжести и поверхностного натяжения 14. Условие Лапласа. На поверхности раздела жидкости и газа. а также лвух жидкостей действуют силы поверхностного натяжения, которые определяют скачок давления на этой поверхности 1 У 1 1 т р! — Рз = 2оН, И = — — -1-— 2 ь)(! Юг,~ ' (2.!) Во врашаюшерся с постоянной угловой скоростью ш системе отсчета в формулу Е' =- й — ю следует подставит~ центростремительное ускорение И, направленное к оси вращения н равное по величине кдг, где г — расстояние до оси вращения Направление вектора К' и, слеловательно, направление нормали изобарическнх поверхностей изменяются при изменении г.
Свободная поверхность жидкости не будет плоскостью. Для ее определения запишем уравнения равновесия жидкости в цилиндрической системе координат г, н,а (рис. 2.3.) ГЛАВА 2. ГИЛРОСГАТИКЯ Это соотношение называется формулой Лапласа (Дар)асс). Здесь о — коэффициент поверх! ностного натяжения, его величина зависит от того. кзкие жидкости находятся в контактВ й, и )гз — радиусы главных кривизн в ланной точке поверхности. радиус )г„ г = 1,~ считается положительным, если центр 1 - й кривизны находится в среде 1, величина )( называется средней гауссовой кривизной Главные радиусы кривизны вволятся следующим образом, (( точке М поверхности в построим нормаль л и касательный вектор т Рассмотрим плоскость Р(о1.
прохоляшуа( через вектор нормали пол углом а к вектору г, При пересечении поверхности 5 с пдоскостью Р(а'1 образуется кривая б(а) с радиусом кривизны в точке Л(, равным )г(а). Функция кривизны 1гггу(п) имеет два экстремума при при о = а~ и а = от = яг2 та!, соответствующие двум главным направлениям. Экстремальные значения 12, = ы(ог) йз =)((аз) называются главными радиусами кривизны Например, сфера радиуса а нмевй радиусы кривизны )(, = ))з = а круговой цилиндр радиуса а иммеет — ))! = а и ((з = оо. п Р! Рз= Рис. 2 4: Условие Ю! ' Ляпдаса т )и — где )(~ — РадиУс кРивнзны напРавлаюшей (Рис. 2.4).
о/и!. (2.2,' В этан случае радиус кривизны можно определить по формуле 1 г( — — — Вз = тгбхз+ дуг, )гг г(5 (2.3) где  — угол между касательной кривой В(х) и вектором, направленным вертикально вверх (см. Рис, 2.4). Радиус кривизны кривой В(х) в точке х можно выразить через производные у' и у следующим образом. Праднфференцнруем равенство у'(х) 1КВ по з 1 г( — у(х)= —— ба сод В Ыз и подставим в него соотношения д, !х н у'(х) 1 — В'(х) = — Вн(х) = —, — = 1+ гйлВ Вз г(а (1-ь (В')з)ыт ' созз В 1'огда получим ! ВВ уэ дз (1+(ВГ)з)згз (2.
4) 1 5. Формулы для вычисления радиусов кривизны. Для плоской задачи уравнени поверхности имеет вид у = В(х) и не зависит от третьей декартовой координаты з. Така поверхность называется цилиндрической. Кривая на плоскости с уравнением В = у(» называется напрввлиюшей, а прямая линия паралледьная оси а называется образующей Поверхность получается движением образующей по направляющей. Первое главное направление на цилиндрической поверхности нахо.( дится в плоскости х,у, а второе направление расположено паоал4 1 лельно осн з н ему соответствует радиус кривизны направляющей4 Рг В равный беснанечности: лз = оо, 11))з = О, Условие Лапласа (2.1)~ Рт 2 примет вид 622 РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТЕЙ,, бу Рассмотрим уравнение асесимметричной поверхности е = /( ). где л — координата. направленная нертикааьно вверх.
а г — расстояние от оси симметрии Осеснмметрнчная поверхност~ имеет два главных направления: по образующей и по направляюшей Им соответствуют два радиуса кривнзнь, 'Рн и )(з. Первый радиус кривизны Р~ равен радиусу кривизны образующей кривой с уравнением у = 1(х) и вычисляется по таким же формулам (2 3) н (24), что и для плоской задачи. Второй радиус кривизны )(з вычисляется с помо~пью формулы Менье, ' смысл которой можно проиллюстрировать на примере сферы радиуса й (см.
рис 2 5). В точке Д( сферы построим нормаль л и по главному направлению касательный вектор т. Через точк>* М и вектор т проведем две плоскости, плоскость Р через нормаль л и плоскость Р(В) под углом )У к плоскости Р При сечении этими пяоскостями образуются окружности радиусов Р и йо =- Юсов д. В результате приходим к формуле Менье йч = Р сов ф (2.5) Формула Менье справедлива для любой поверхности. С помощью формулы Менье второй радиус кривизны вычисляется так Проведем сечение поверхности л(г) горизонтальной плоскостью Рис.
25. К форму- л = сонат. В результате сечения получим окружность радиуса г, де Мецье Плоскость л = сола( составляет Углы д и 0 соответственно с ноРмалью и касательной к поверхности л(г) в точке сечения. Используя формулу Менье (25) и равество сов В = =- з|п В, получим 1 Шп й л'(г) Знак 4 выбиоается тогда. когда центр кривизны 1Яз находится в среде 1. условие Лапласа на осеснмметричнай межфазнай границе л(г) с помощью (2.б) запишется так г' 1 ып6> р~ — Рз=г ( — ш — ~, (,г, 16. Поверхностная энергия. Условие Лапласа может быть получено из принпипа виртуальных перемещений, согласно которому при любом малом отклояенни системы ат положения равновесия сумма работ всех сил, лействуюших на систему равна нулю: 6А ~ -' 6Аз ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
