А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Полученная формула показывает, что линия действия г.чаевого момента сил давления жидкости на погружгнное е нее тело проводит через центр тяжести евгтесненного телом обьема жидкости. Глава 3 Идеальная несжимаемая жидкость $3.1 Общие свойства 22. Уравнения Эйлера. Модель ндеальной жидкости вводится с помошью соотношения (!.)б) н снстеьгы уравнений ()!7), в которой нужно положить ввзкость равной нулю и = О рббгг(г =- рб — йгабр, (3.!) Шнб= О Этн уравнения называются уравненнямя Эйлера.
Ускорение жндвлстн ь~ожно представить в следуюшем виде бр/а! = дб/д! ч- (л') б = дб/дг е О(о /2) ч- гать х К (3.2) После подстановки его в ураннення Эйлера получим уравнении движения е форме Громекн- Ламба (Громека И.С, ! агпб Н.) л(дб/дт 4 СГ(ОЗ/2) ж ГОГО Х б) = бтзб(ли — Р), (и = — ба) б)тб= О. (3.3) Из уравнений Громекн-Ламба можно сделать важное заключение, что вдоль линии тока установнвшегося течения тяжелой ндеальной несжнмаемой жидкости сохраняется величина р Е р(пз/2-ь бз! = сопл!, (3.4) где б — ускорение силы тяжести, з — декартова коорднната. направленная вертнкально вверх, ба — потенциальная энергия единицы массы жидкости. Действнтельно, запнсыаая для установившегоСя двнженнн проекцню уравненнй на линию тока д(р ж р(оз/2 + бе) ) 73 замечаем, что пранзводнав вдоль линии тока от выраження р ч- р(оз/2 + бг) равна кулю, что н требовалось показать.
Полученный закон (3.4) называется интегралом Бернулли (Вегсоц)Б Р., )733) 53.!. ОБ(((ИЕ СВОЙСТВА 23. Уравнение для вихря. Применяя к векторному уравнению (3.3) операцию гот, получим д(гоген)/дг ч- го!(гагу х б) = О, Воспользовавшись векторным тождеством гаг(гога к д) = [дч)гогу — (гагстст)д, получим уравнение Гельмгольца (Не)тбо(гг, )555) для вектора вихря В = )гогу (3 5) дВ(дг ч- (55г) " — (аьу)д---. О ч дссдг =- (ЛТ)д, Рассмотрим жидкую линию Е(г) (линия, состоящая из одних и тех же частиц жидкости) Если в начальный момент времени линия Е(О) совпалает с вихревой линией (линии, касательная к которой направлена па веятору вихря) и вектор вихря 2 подчиняется уравнению Гельмгольца (3 5), то линия Е(Г) будет вихревой линней ва все последующие моменты времени.
Действительна, как видно из рис. 3.(, элемент жидкой линии дг меняется са временем по закону д(дг)ггдГ = (дг7 )д, то егть па тому же закону (3.5), что и вектор вихря Л, что и требовалось показать. Эта утвержление называют теоремой о вмароженности вих. ревых линий в поток — додг 24.
Теорема о сохранении циркуляции. Теорема Лагранжа. Пусть имеется жидкий замкнутый контур С(!), движущийся с жидкими частицами в соответствии с системой уравнений Эйлера (3 !). Тогда циркуляцив скорости по нему Г Рис. 3.(; Изменение эле- мента жидкой линии. Г= ~ ддг= ~ о„дхтогду+о,дг сгп с!и не изменяется са временем. Этот результат называется теоремой о сохранении циркуляции. Действительно. вычисляя производную циркуляции дГ Г ( дб „д(дг)) ~ — дг + д— дГ У ~ дс дг / сгп д(дг) и подставляя вместо ускорение правую часть уравнений Эйлера (3.!) и д — = ддд =- дг д(от!2), получим под интегралом полный дифференциал функции — р,'р — рйг — ' от,г2.
Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен тождественно нулю, что н требовалось доказать. С помощью зтога результата можно доказать Теорема Лагранжа. Если е начальный момент е идеальной несжимаемой тяжелой жидкости вихрей не было, то их не будет е любой последующий лгомент времени. Г7АВА 3 ИДЕАг7ЬНАЯ НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТД 80 б Действительно, по теореме Стоксэ (рнс. 3.2) пиркулкцня равнй 38 потоку вектора вихря через плошади> 5, натянутую на контур В на.
чальный момент вихрей нет и циркуляция равна нулю. Она. по теореме о сохранении циркуляции, будет равна нулю во асе последующие мо. менты времени. Контур произвольный, гюэтому и плошадка, натянутаа С-- нз нега, будет произвольна. Поток вектора вихря через произвольную плошадку может быть равным нулю только тогда, когда вихрь в каждой Рис. 3.2 Теорема точке равен нулю. Стокса. (3.6) Е и» ' Еяч* = Е, где Е„„„— суммарная кинетическая энергия фаз.
Е„потенциальная энергия системы. Потенциальная энергия является функционалом границы раздела фаз Он играет важную роль при определении равновесной межфазной границы и анализе ее устоичивости 1. Будем предполага~~, что фазы представляют собой несжимаемые идеальные жидкости. Дли фазы 1 запои изменения энергии (1.13) имеет вид !х НЦ) 81 (3.7) Диссипируемлн энергия идеальной жидкости равна нулю. з работа внешних сил имеет вил Лчм' = ~ я „г(Š— ~ р шг(Е, (3 8) где к =. — Ез+ С вЂ” потенциал ускорения силы тяжести, з — коорлината, направленная вертикально вверх. Для фазы 2 применим закон изменения энергии к части области П Граница ее дП состоит из межфазной границы д1' и достаточно удаленной границы г7(! .
Мы применим закон изменения энергии г(Ез з(е! т1!— б( у)' / (р,п,)о„йЕ (3.3) эг к конечному объему жидкости П, часть границы которой ЕП пулем удалить в бесконечность. Интегралы по поверхности др имеют противоположный знак по сравнению с 26. Уравнение сохранения энергии. Рассмотрим уравнение изменения кинетической энергии (1 13) для двухфазной системы, состоящей из фазы 1, заполняюшей конечный объем 1С и фазы 2, заполняюшей оставшуюся часть всей области системы Выведем закон, по которому изменяются различные вилы энергий фаз при изменении межфазной гранины. Все характеристики фаз 1 и 2 будем помечать нижним индексам 1 и 2 соответственно.
Рассмотрим 3 случаи: случай 1 — фазы несжимаемые жидкости, случай 2 — первая фаза — несжимаемая жидкость, вторая — однородный газ постоянного давления и случай 3 — первая фаза сжимаемый однородный газ, вторая — несжимаемая жидкость. Во всех трех случаях получим запои сохранении в виде 93.!. ОБШИЕ СВОЙСТВА 81 соотзетствуюшими интегралами в (3.8), так как направления внешних нормалей у фаз 1 и 2 на межфазной границе дР противоположны.
На бесконечном удалении от межфазной границы среда покоится и на ней выполнены уравнения гидростатики рзи — рз = -р В силу несжимаемости фаз последний интеграл равен нулю и мошность внешних сил приведется к виду / Рзио 85+ ) рэо о5. (3.19) Сложим уравнении (3 7), (3.9) и учтем равенства (3.8), (3.!О) и граничное условие Лапласа (2.1). Тогда получим — = / (р! рйио„д5 — / б2Нс„й5. Т от „ Г от Е „„= / р~ — -ьр-~- / рт — оУТ Е, = ~(р! — рз)йзйу+о5, (З.П) и У где потенциальная энергия складывается из потенциальных энергий силы тяжести фазы 1, выталкивающей силы Архимеда и энергии поверхностного натяжения. '2. Фаза 2 — однородный газ постоянного атмосферного давления р,.
Тогда из уравнения Лапласа (2.!) выражаем давление р! на межфазной границе, подставляем его в выражениие для мощности внешних сил (3.8) Нию = / ШУ(р!нЯ85 — /(р, + 2бН)охй5 = — — "~ гН У бу Преобразуя оба интеграла с помошью формул Гаусса-Остроградского и Гаусса (2.8), получим закон сохранения (З.б) со следующим выражением потенциальной энергии Е„= ~(р!)Езду и- а5.
(3.12) 3. Фаза ! — сжимаемый однородый газ, давление в газе меняется по адиабатическому закону р| ро(!г!18) В выражении (3.9) лля Н™ в первом интеграле применим формулу Остроградского-Гаусса, во втором интеграле подставим рз = рг — 2аН и преобразуем его с помощью формулы Гаусса (2 8). а в третьем интеграле учтем, что на бесконечном удалении от межфаэной поверхности будет справедливо уравнение гидростатическаго равновесия лги — рз = — р . В результате все слагаемые (3.9) для НЗ!ю представляютси в виде производных по времени Я" ") бг/ ' / " йг(, (7-!) (,У) бг У бг л' (ртк — рт)о,в5 = — (-р )7). и'( Первый интеграа преобразуется помошью формулы Гаусса (2.8) несжимаемых фаз в виде (3.8), вид бг, бУ~ с помошью теоремы Гачсса-Осгрогралского, а второй — с В результате получим закон сохранения энергии лля двух в котором потенциальная и кинетическая энергии имеют ГЛАВА 3 ИДЕАЛЬНАЯ НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ 32 Таким образои.
-Ятм' прелставлвет собой скорост~ изменения потенциальной энергии -Х "=Е, =( рздхд)г, а5ч р Гт ) з~ ро)'о /1'ай' ' (--1) (,1) (3.13) а уравнение (3 9) принимает вид закона сохоанения энергии (3.5) 26. Плоскопараллельное течение. Функция тока. Если компонента скорости по оси г отсутствует а, = О, а две другие компоненты не зависят от коардиты х, то такое течение называется плоскопвраллельным. Из уравнении неразрывности да,рдх т даз!ду = О для этого случая следует, что можно компоненты скорости выразит~ через одну функцию я((,х,у) (функцию тока) о, = дф/ду, о„= — дфг'дх Функция тока обладает важными и полезными свойствами (см.
упр. 4 и 5) Отметим двв из них 1) Расход жидкости (2 через любую линию Е соединяющую точки А~(хну,) н Вт(хз,уз), равен разности зна~ений функции така в точках Мз и М1 О = ф(г,хг, уэ) — ф(т,ха уг). 2) Функция тока постоянна нз линии тока (Линией тока называется такая линия, у которой вектоа касательной в каждой тачке коллииеарен вектору скорости о ) Вихрь плоскопараллельнаго течения В имеет тол~ко одну компоненту, направленную по оси з 1 Гдо дгг,~ 1 дт дз В(О,О,,),, = — ( — 2 — — ' ) = --Ьф, Ь = — +— 2 (, дх ду,) 2 ' дхт дуз Для плоскопараллельного течения уравнение Гельмгольца (3.5) имеет вид ди,/М = О, откуда следтет, что вихрь в гастице жидкости сохраняется.
анаяитической функцией компяексного переменного х = х ч-(у. Здесь й(х,у] и ф(х,у) потенциал и функцкя тока. Производная дйггпз определяет скорость течения сПРМх .= с„— гах Комплексное числа э„-ь М, называется комплексной скоростью. 21. Комплексный потенциа плоскопараллельного течения. Поле скорости плосиопаоаллельиого потенциальиога течения несжимаемой жидкости удобно описывать комплексным потенциалом йт(з) = й(х,у) + (ф(х,у), 33.г метод контрольньдх поверхностей Примерами течений, описываемых комплексным потенциалам, являются следующие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
