А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рис 32: Течение в трубе переменного сечения. 36. Течение жидкости в трубе переменного сечения. Кавитаиня. Прн установившею ся течении жидкости в трубе переменного сечения объемный расход жидкости О раве» произведению скорости о на плошадь сечение 5 и явлнется постоанной величиной.
Раб смотрим два разных сечения трубы с плошадью сечении 5, и 52 (рис. 3Л). На основания интеграла Бернулли имеем для этих сечений следующее соотношение (От т) 12ф2 Р1 гр ты21 =Рте р +022 252 252 Отсюда видно, что давление в сечении 2 палает, если повышается уровень трубы а» или понижается площадь сечения 52, Нв этом принципе работают водоструйные насоса) Сечение 2 можно сузить настолько, что давление рт упадет до нуля.
Тогда в этом сечена» в жидкости образуютсн пузырьки (каверны), заполненные паром. Это явление казываетса кавитацией. $3.4 Движение сферических тел в жидкости 36. Кинетическая энергия жидкости. С помощью формтлы от = б)чтфдга»Ф) и тв оремы Гаусса - Остроградского интеграл кинетической энергии потенциального течеиш несжимаемой жидкости можно привести к интегралу по поверхности тела 2 2,/ дп где П область вне тела, дй — ее граница. Для сферических тел кинетическая энерги» имеет вид Еч =-- / Ф вЂ” б5 р Г дф 22 дЯ я Подставляя в интеграл найденные выражения лля потенциалов 1316) н 23.16), получим: а) кинетическую энергию жидкости, создаваемую сферой, меняющей свой ралиус са скоростью а е„ = 2яроэат, 23.2!) 93.4.
ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ В ЖИДКОСТИ 89 б) кинетическую энергию жидкости, которая вызываешься поступательныи движением твер- дой сферы со скоростью ао Е„„„= -Л1'ао. М'= гр)', 1г = — а 1 4гз 2 о 2 ' 3 (3.22) Примення аакон сохранения энергии (З.б), можно нанти закан движения сферического тела в жидкости 37, Частота колебаний сферического газового пузыря в жидкости.
Колебания сферического газового пузыря в жидкости можно исследовать, исходя из закона сохранения энергии (3 61 Кинетическая энергия определяется по (3.21), а потенциальная энергия по (3.13). Пренебрегая потенциальными энергиями силы тяжести и поверхностного натяжения для потенциальной энергии получим 4:газ 3 Точке минимума потенциальной энерги Е„„ соответствует положению равновесия р = ро, 1' = )о. Из сравнения рму и энергии поверхностного натяжения о5 находим, что такое приближение для Е„„ справедливо при а » Заур Частот> й колебаний пузырька малой амплитуды около положения равновесия можно вычислить, подставив в уравнение энергии разложение потенциадьной энергии, в ряд по отклонению радиуса а = дож х Е„„(ао + х) = Е„„(ао)л тЕял„(ао)х', Еэ = 12кздоао, 2тдазхт -Г 21Еяк „(оо)лт = Е.
Подставлня сюда к =- Аао соз йт, получим 2ЯА ао(да>ой>Ми йл ж ЗтдааОСОЭЗ ПГ) = Е. Правая часть уравнения не зависит от времени Леван част~ не будет зависеть от времени, если (3.23) Эта формула определяет частоту колебаний относительна крупных пузырьков а » За/р, и называется частотой Миннаэрта. Для пузырьков в воле о = 70днусм и атмосферном давлении р = 1Оедиусмт получаем следующее ограничение на радиус пузырька а » 2х!0 зслг. Для более мелких пузырьков поверхностное натяжение становится существенным и частота пульсаций должна вычисляться по иной формуле (см упр. 1О).
Полная энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, выражается через безразмерную амплитуду Я и частоту колебаний й пузырька Е = 2;грАтаой>. (3.24) Для идеальной жидкости н полнтропного процесса в газе она сохраняется. Будет показано, что в вязкой жидкости и теплопроволном газе энергия теряется, и амплитуда колебаний будет уменьшаться (см разлел 44. и раздел 72.). ЕДЛВЛ 3 ИДЕЛДЬНЛЯ НЕСжИМЛЕМ.4Я жИДЯОСтЬ 90 38. Движение твердого шара в жидкости. Присоединенная масса. С поьгашью >равнения энергии можно получить уравнения движения твердого шара в жидкости С помощью впрах ений для кинетической (3.2т) и потенциал~ной энергий (3 и ) получим Е„, + Е„, =.
Е. Е „ = Г ЬМ т Л!')ГО, М = РОУ. М' — ГР>, Е ° = (РΠ— Р)йаэ р 2 ' ' ' 2 Дифференцируя по времеки закон сохранения, получим уравнение двнжекия тяжелого шара в жидкости (Л! ч М')йо =- (- Ро .~- Р)Е 13 В правую часть уравнения отнесены сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда, направленные вертикальна, соответственно вниз и вверх В левую часть перенесена сила, действующая со стороны жидкости иа твердое тела. равная — Л зн Уравнеике движения шара в жидкости отличаеуся от классического закона Ньютона тем, что вместо массы шара стоит сумма мзссы шара и массы МС которая называется присоединенной массой При движении шара в жидкостк с постоянной скоростью сопротивление равно н>лю Этот факт называется парадоксоч Эйлера-Даламбера э модели идеальной жидкости, Упражнения 1 В воде на расстоянии 1и расположены 2 источника с объемными рзсходачи 1л(сек и 2лг'сек В какой точке между источникачи скорость воды будет нулевая> 2 Для поля скорости идеальной несжимаемой жидкости в полупространстве у > 0 известны дае компоненты скорости и, = х Ф ау, о, = 0 Плоскость у = 0 является твердой непроницаемой для жидкости границей а) Найти компоненту пэ,.
б) Найти функцию тока Ф в) Изобразить линии тока г) Вычислить компоненты вектора вихря, д) При каком значении параметра а будет существовать потенциал поля скорости и каково его выражение> 3. Даны потенциалы векторных полей Ф = зйхз!пи, Ф = и -' а) Выбрать потенциал, кшорый определяет поле скорости ипеальнай несжимаемой жидкости. б) Написать для этого течения интеграл Бернулли, в) Вычислить функцию тока г) Вычислит~ расход жидкости через параболу о =-хт, проходящую ат точки 10,0! до точки (1.1) д) Вычислить вектор вихря. 4.
Пусть и,(Г, х, у), ок(!. х. Ф), о, = 0 — поле скорости плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости. 1) Доказать, что существует функция Фи,х,и) (функция тана) дэ ээ такаЯ. что о„ = 3-, оэ —— — У; 2) Доказать. что а) через любую линию, соединяющую точки А(х>ид) и В!ха,рз), в единицу времени протекает количество жидкости, равное Ф((,хт.ут) — Ф(г,х>, и,). (эта величина называется расходом через аннию АВ); б) вектор касательной к линии Ф(г,х,у) =-сопя!(!) коллннеарен скорости ь, в) Ф(г,х.у) = сои*!(г! является линией тока; г) го1й= 2 ~ = (0,0,-3тзФ), 93.4. ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕД В ЖНДКОСТИ 91 д) а,Отгй = О! е) а,=О; ж) г= —.-О.
аг б. Доказать, что для стационарного течения а) якобиан -~~Я~ щ О; у б) чтф =/!Ф)! а) иа линии тона вихрь постоянен. 6. Построить линии тока для течений с комплексными потенциалами а), б). в) и г) раздел 27. 7. Струя воды в поперечном сечении имеет форму прямоугольника с тодщниой 1см и шириной Гйсм Струя натеивет на пластяну под углом йб' со скоростью 1м/сек.
Предположить, что течение плоскопараллельное. ускорение силы тяжести равно нулю, жидкость идеальная а) Изобразить схему течения. б) Найти скорости растекающихся на пластине струй воды при их бесконечном удалении. в) Вычислить силу, действующую на пластину сос тсороны струн. 8.
Из сосуда с отверстяем плошади 5 вытекает струя идеальной жидности плотности р са скоростью и. Определить реакцию струи на сосул. Силой тяжести пренебречь. Оювеж Р = риэ5. 9, Сферическая полость расшяряется в идеальной жидкости. В нача.чьный момент времени ее радиус равен 1см, а скорость изменения радиуса !м/сек. В полости давление равно нулю, давление вдали от сферы равно атмосферному, ускорение силы тяжести отсутствует.
а) Написать закон сохранения энергии. б) Определить наибольший радиус расширения полости. в) Можно ли пользоваться интегралом Бернулли для вычисления лавления в жидкости? г) Найти распределение давления в жидкости в момент времени, когда полость достигает наибольшего радиуса. 10. Тазовый пузырек пульсирует в жидкости !его ралиус меняется периодически ао времени а = ао +а соэыт). Написать закон сакоаиення энергии.
Вязкостью и силой тажести пренебречь, давление в жидкости вдали от пузырька считать постоянным, а для давления газа внутри пузырька принять закон позитроны с показателем л. Полную энергию представить в виде суммы кинетической и потенциальной энергий. Потенциальную энергию разложить иа сумму энергий 1) газа, 2) жидкости и 3) поверхностного натяжения. а] Написать уравнение колебаний радиуса пузырька б) Из соображений размерности определить зависимость частоты пульсаций от радиуса пузырька, характеристик газа и жидкости. в) Вычислить частоту пульсаций, при условии, что поверхностное натяжение несущественна. Пря каком условии это возможно'. в) Вычислить частоту капиллярных пульсаций, то есть при условии, что поверхностное натяжение является основным фактором, апределкющеы частоту. СЛАВА 3.
ИДЕАЛЬНАЯ НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОС?Тз 1!. Тележна с жидкостью движется с постоянным ускорением ш в горнзонтальноц направлении. Найти угол к горизонту свободной поверхности жидкости. С каким ускоренна~ относнтеяьно тележки начнет всплывать пузырек воздуха в этой жидкости !2. Вычислять силу, действующую на неподвнжный шар е ускоренном потоке жидкостн, Ускоренне силы тяжести считать равным нулю. 13. Прк каких условиях верен интеграл Беркузьтнз Доказать, что на линии тока интеграл Бернуллн выполняется н для вихревых течений. 14.
Сфера радиуса 1Ослг обтекаетсн потоком илеальной несжимаемой кндкостк, ускаре. нне снлы тяжести отсутствует, давление на бесконечности равно атмосферному. Прн какой скорости обтекания начнется кавнтацняз 15. Кр)говой цнлнндр ралиуса 5см обтекается потоком нлеальной несжимаемой жндкостн. Ускорение силы тяжести отсутствует, давление на бесконечности равно зтмосферномуг Прн какой скорости обтекания начнется кавнтацняз 16 Вычислить давление в жидкости вне сферы, радиус которой меняется по закону а =. по юге(ПШГ. ВЫЧИСЛИТЬ СРЕДНЕЕ За ПЕРИОД ЗаВЛЕННЕ В жИДКОСтИ. ООЬЯСННтЬ Эффввп Бьеркнеса (В)егкпез У )г частицы, находящиеся в жидкости, притягиваются к пульснрующейг в жидкости сфере 17 Вычнслнть давление в жидкости вдали от твердой сферы, центр которой движется по закону хо = е щп 1, уа = ао = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
