А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для этого вводятся две продольные криволинейна( координаты х,у и поперечная координата г. Соответственно скорость будет иметь дя продатьные компоненты и,о и поперечную - ю. Для продольных компонент скоросб уравнения в кажлой тачке слоя х,у будут иметь такой же вид, как если бы зто быг( течение между двумя пластинами в направлении вектора градиента давления др дг, др дт, др ди до дх дг ' ду дг ' дг ' ' дг' " дг' и(г,) = иц и(гг) = иг, а(г|) = оь о(гг) = от (4. Ц После решения атой задачи находится поперечная скорость ш нз уравнения неразрывнос1 ди/дх -1- до/ду -1- дю/дг = О.
64. Решение. Введем момент силы Мот = 2гггт, действующий на единицу длины цилиндрической поверхности радиуса г. и угловую скорость й = о/г движения частиц па окружности. В зтих переменнык второе н третье уравнения примут вид ШТ 44.б. ПРИБЛИЖЕНИЕ ТОНКОГО СЛОЯ бб, Течение в тонном слое. В частном случае и, =- о, = О, г = 1,2 система уравнений (4 15) определяет течение Пуазейля между двумя неподвижными плоскастямн, рассмотренное в разделе 50 Полагая в решении г = — тр и заменяя О иа вектор расхода (), пол чим у дэ „- (г — г~)(гт — г) г)= — — Тгр, 8=ба 12р дз д=гт — г~ Здесь под б понимается вектор с двумя продольными компонентами и,а. Отсюда находится касательное напряжение в слое до г~ а гт — 2г г = р — = брг4 —. дг дз б = бГ< -1- - (г — — (г~ л гт)) . ю(г — г~)(гт — г) аг-б, гг 1 дз Ь (, 2 Для решения задачи в исходной системе координат нужно учесть, что скорость б в старой системе координат выражается через скорость с' в новой системе координат по формуле о = а'4!(аП -~-дт).
Соответственно нужно учесть связь расходов () и О' а старой и новой — г системах координат й = гг — 2(дг л- ат)Д. Таким образам. получим обшее решение задачи а течении в танком слое '= 2(аП 4 Ет) и б ~Π— -(й~ +дт)") з л (хг 2(г~ гт)). 1 1- 1 1 (г -г!)(гт — г) бт — Г7! г 1 Ь (, 2 Из уравнения гур =. рдзбгдгт найдем ) 3 гр = — — рр+ Г(аП +~)д.
12и 2 НаЛс-Ъсь ы 57. Течения Хелле-Шоу. Так называются течения, экспериментальна изученные Хелле.Шоу()(еред(яям, 1898) Вязкая жидкость течет пад лаалением между двумя близко расположенными параллельными пластинками и обтекает расположенные там цилиндрические препятствия. Такое течение, для препятствия в форме кругового цилиндра изображено на рис. 4.4. Для средней скорости течения < й >= Ог'Я получим Рнс. 4.4: Течение Хелле.Шоу. Ьт < б >= яггбФ, Ф = — — р, 12и ' то есть течение является потенциальным.
Течения Хелле-Шоу могут служить зксперимен. тал ной проверкой теории потенциальных течений на плоскости На первый взгляд кажется Рассмотрим обший случай, когда поверхности авижутся с произвольными скоростями б~(ии а~) и эт(ит, ст). Перейдем в систему координат, в которой ай л Уг = О. Тогда граничные условия булут выполнены, если к профилю Пуазейля добавить линейный симметричный профиль скорости Кузтта с равным нулю рзсходом. Таким образам, решение задачи будет иметь вид ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТР4 ГВ8 парадоксальным, что течения жидкостей с очень большой вязкостью оказываются такимд же, как потенциальные течения без вязкости.' 88. Движение слоя вязкой жндиости между двумя деформируюгдимиси поверкноств Мм.
ЕСЛИ ЗаКОН СбДнжЕНИЯ ДВУХ ПОВЕРХНОСтЕй ИЗВЕСТЕН Кг — Кг А(Г. К,У, Г). та, ПОДСтазаам в закон сохранения массы жидкости ВО„/дк ф ВОг!ду ф — = 0 дй выражения для компонент вектора расхода. получим уравнение для давления Давление из зтога уравнения можно вычислить, если дополнительно будут известны граничные условия. Интерес представляют две задачи. !. Жидкость заключена межлу двумя поверхностями, дефармируюшимися па заданном)) закону. з = кг((,к,у) и к = к2(г,к.у), и неподвижной цилиндрической поверхностью ддв которая ограничивает область переменных (к,у) б 5 (рис. 4.5). Ее масса постоянна, чтй выражается условием А((,к,у)с(куу = У = сопаВ 5 Через боковую поверхность д5 жидкость не пратекапу Отсюда падучим условие на контуре д5 типа Неймана др .О дп 2.
Жидкость вытесняется двумя поверхностями Рис. 4.5. Вытеснение жиднасти двумя поверхностями кг(г,к,у) и к = кг(г,к,у), ограниченными подвижной цили1 дрической поверхностью д5, так что на границе д5 давлен ра постоянно. Тогда на границе д5 нужно ставить усло типа Дирихле Пример. Два круглых саасмо расположенных диска одинакового радиуса а погруж в вязкую жидкость н медленна сближаются с относительной скоростью А. Определ испытываемое дисками сопротивление, когдз расстояние А между ними мало. Решение. В силу симметрии давление в жидкости можно искать в виде р(г,г),г ~ ;гкхг го уз. уравнение для давления и граничное условие примут вид дгр 1 др 12мй — — — — р(а) = ра дгг, д, Аз 'Приеелеияея фптпгрефии еисперимеите лля е ения Хеллецйлу етятя ил инги М.
Члл Отие "Ап Агм( еГ 2~во Меосе г982" 94. д тбчр ниб жйдкостй сг) сВ(збодн()Й грднйпбй !09 Полученная краевая залаяв идентична задаче для течения Пуазейля в круглой трубе, и поэтому решение строится аналоГично Зйд р — ро = — (г — а ). ),з Йитегрируя давление по поверхности диска, получим силу. действующую иа него со стороны жидкости, а У Збд г 2 Зйр г'г' Р / (р р )2(с ~~ (г2 аз)2 Дг Зг ~ ) -/ Лз —,з ~4- 2,) < а о Злдйа 2йз 59. Течение в тонком слое прн отсутствии градмента давлении. Предположим, чта в тонком слое в направлении скорости течения градинта давления нет. Тогда в нем, реализуется рассмотренное выше сленговое течение Куэтта с линейным законом изменения скорости поперек слоя [г — г!)(ат — а!) а(г) = о2 -!- д где г — координата, направленная поперек слоя жидкости, а! и от — значения продольной скорости на нижней г = г~ и верхней г гт границах слоя.
Напряжение в жидкости р„, = д(от в о!)гд в поперечном направлении слоя не меняется. На нижнюю границу слоя действует са стороны жидкости касательное напряжение р„, а на верхнюю действует -ргю Наиболее важными примерами таких течений являются течения между двумя осесимметричными соосно вращающимися поверхностями, например: !) между двумя параллельНыми плоскостями, вращавшимися относительно аси перпендикулярно направленной к ним оси г. скорости на нижней и верхней плоскостях равны соответственно Й~г и Йгг, а напряжение в слое жидкости равно р„= д(Й2 — Й!)г/й, 6 = 22 — г!. 2) между двумя соосно вращающимися круговыми цилиндрами: скорости на внутренней и внешней поверхностях цилинлров равны соответственно Й!г и Йтг.
а напряжение в слав жидкости Равно Р г = м(Йтгт — Й2г!)ГгЬ, Ь = г2 — гь Здесь г,г,ф — цилиндрические координаты, й — толщина зазора между поверхностями. Вследствие осевой симметрии давление в жидкости не зависит от угла. Поэтому градиент давления в направлении угловой переменной равен нулю. Аналогично можно вычислить напрнжения между вращающимися сферами, конусами н другими паверхноствми. $4.7 Течение жидкости со свободной границей 60. Эффект Марангонн.
Коэффициент поверхностного натяжения на границе между жидкостью и газом может быть неоднородным по своей величине. Эта может быть вызвано ИО Гбдвд 4. движение вязкой жидкости несколькими причинами. Одна из них состоит в том, что с ростом температуры Т коэффициент поверхностного натяжения убывает. Скорость убывания определнется коэффициентом — 3 = г(а/бТ = — 0.15 эрг/(смз град). Другой причиной может быть зависимость коэффициента поверхностного натяжения от количества поверхностно-активных веществ, адсорбирующихся нг поверхности раздела фаз. Эта зависимость апределяетсн формулой Гиббса (СпЬЬз) Цп/пГ = — ЯТ. где Т температура па шкале Кельвина, Я' = ЗВ!7Дж ьюль ' град ' — универсадьная газовая постоянная, а величина à — количество поверхностно-актнвных веществ, в полях на единицу площади. адсорбируюшихся на поверхности раздела фаз.
Изыенение поверхностного натяжения создает напряжение нв поверхности и, всчедствие граничного условна (4 7), вызывает лвижение жидкости. Этот эффект называется эффектом Марангони. Рассмотрим задачу о течении в слое жидкости над бесконечной горизонтальной плоскостью высоты й, которое создается постоннным градиентом коэффициента поверхностного натяжения. Пуст~ х е ( — со,оо) н у и (О,Л) — декартовы координаты. Вектор скорости, а силу симметрии, имеет одну компоненту о(у). направленную по оси х, и уловлетворяет следующим уравнениям движения дзо др др и — = †. — = — РК дуз дх' ду Скорость должна удовлетворять условию прилипания на дне о(0) = 0 и, на свободной поверхности, компенсировать касательное напряжение ддп/пу = оп/йх (см.
условие (4.8)). Давление р(х,у) на поверхности дол кно равняться атмосферному давлению р(х,й) = р,. Приведем решение поставленной краевой задачи Из второго уравнения и условия для давления найлем р = р, — руу. Подставляя выражение длк давления в первое уравнение, получим уравнение для скорости дзо/дуг = О. Решение, удовлетворяющее условиям на дне н свободной границе, имеет вид о = у(пп/пх)/д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
