А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Вторым механизмом может выть конвективный перенос частиц несущей средой при потере устойчивости движения и переходе к турбулентности. Расчет коэффициента диффузии в этом случае весьиа сложен н обычно определяется эмпирически. Коэффициент диффузии О, кииематическнй коэффициент вязкости и и коэффициент температуропроводности Д = Ду(рог) имеют одинаковую размерность В газах все они имеют один порядок величины и меняются а незначительных пределах 74. Вывод уравнений конвентивной диффузии. Количественной величиной распределения примеси в несущей среде является концентрация С. которая обычно определяется как отношение числа частиц примеси к числу частиц несущей среды В элементарном объеме Л' ~исло частиц примеси будет равно СМАК, где ИДУ вЂ” числа частиц несущей среды а объме ДУ.
Напищеи дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция С((,х,у,г) при ламинарном течении несущей среды. Наличие градиента нонцентрации обусаавливает появление диффузионного потока. Компоненты диффузионного потока являются линейнычн функциями производных д'Судх,дСуду,дСуда. Если свойства несущей среды и пассивной примеси не зависят от поворотов системы координат (изотропня среды), то диффузионный поток коллинеарен градиенту концентрации з сторону ее убывания )л = -ОКгабС.
Вторым слагаемым потока является конвективный поток, переносимый движущейся несущей средой !..„. = СВ Полный поток вещества равен ! = -Обгаб С щ Со Выделим (ммсленно) в несущей среде произвольный конечный обьем У с границей ВУ и набдем бзланс числа частиц, входящих и выходящих из нега в елнницу времени. Число частиц, входящих в объем в единицу времени, равно -~!'ЯЗ. С дРУгай стоРоны, изменение числа частиц в единице объема Равно ЗСггдг, а в объеме У равно интегралу этой величины по объему Н Приравниваа изменение числа частиц в объеме к числу частиц, в него приходящих, имеем 1 "6 ГЛАВА 6.
КОНВЕКТИВНАЯ ДИФФУЗИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГЛЗАХ где и — вектор единичной нормали к поверхности 5. Преобразовывая интеграл па теореме Гаусса-Остроградского, имеем аС вЂ” в р = — /'6(т(д(С дс,/ Ввиду произвольности объема следует, что — = — Шт( = Фт (РйгабС) — бш(Со). дС д( Для несжимаемой жидкости 6(ай=- О, поэтому Шт (Сп) = (ййгаб)С -~- СОШ 6 = (ййгаб)С. При постоянном коэффициенте диффузии уравнение диффузии можно записать в виде — + (дйгаб)С = Р аЪС. дС д( Левая часть уравнения конвективной диффузии представляет собой полную производную концентрации по времени дС дС дС дС дС дС вЂ” = — +(йигаб)С - —, +о„— жег — ч. о,— да д( дг *дх "ду 'дг В правой части символ тз означает оператор Лапласа дзС дзС дтС ГаС = — -1.— дхз дуз ' да' 75.
Начальные и граничные условия. Для решения уравнения лнффузии необходимо задавать начальные и граничные условия. Рассмотрим поверхность, на которой происходит процесс растворения, в результате чего примесь поступает в несушую среду. На такой поверхности принимается эмпирический степенной закон длн числа частиц растворенного вешества в единицу времени я = АС, где й и т коэффициенты, не завнсяшие от концентрации. Тогда граничное условие записывается в аиде я =(и или дС АС" = -Р— дп Это условие часто записывается и двух предельных случаях.
1. Скорость химической реакции великз по сравнению со скоростью уноса реагируюшего вещества. Тогда условие на границе надо писать так С = О. 2. Скорость химического преврашения мала по сравнению со скоростью уноса реагирующего вешества Тогда условие будет таким: дСУдп = О. 66.2.
АНАЛОГИЯ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ И ТЕПЛОПЕРЕНОСА (27 Вб.2 Аналогия задач конвективной диффузии и конвективного теплонереноса 76. Критерии аналогии. Часта диссипативные эффекты а жидкости или газе незначительны, ими можно пренебречь. Тогда уравнение конвективного переноса тепла при отсутствии реакций 77. Диффузия примеси в неподвижной жидкости. ' Пусть при ( = О в покоящуюся чистую жидкость вводится в малой окрестности точки О некоторое количество примеси массы М так, что процесс дальнейшей диффузии можно считать сферически симметричным.
Требуетсн найти рзспределение концентрации С как фунции радиальной координаты и времени г. Плотность частиц равна ра, так что Сдо — масса частиц в единице объема. Решение задачи сводится к решению уравнения диффузии — = 0гзС. дС д( Для сферически симметричного случая уравнение имеет вид (бд) Решение будем искать в виде С = М)(Я ( 0,ра) Размерности входящих в зго соотношение величин а системе единиц 7 Ит (см. раздел 6.) следующие: )с)=(, (м)=м. (Я)=7., (г)=т, (0)=~ЛТ. (д,)=м,ч.. Используя П - теореыу имеем Л( Я С = — (6), до(0Г)ат ' чдт (6.2) Для безрззлгерной функиии инй из уравнения в частных производных (6)) получим обыкновенное дифференциальное уравнение им + '(27(+,г(2) +(З(2). = О. Оно имеет интеграл 2(зи'е(зи = с, 'Пример предложен А Н Галуаятнкказмм р р — =лат дт дг совпадает с уравнением конвективной диффузии, если коэффициент 0 совпадет с коэффициентам температуропроаолности Д = Л/(рог ).
Граничные условия С = О или дС(дп = О соответствуют условиям термостата или отсутствию потока тепла на теплоизалированной стенке. В этих случаях будет полная аналогия между задачами конвективного переноса тепла и конвекгивной диффузии. Решения, полученные в задачах переноса тепла, можно распространить на соответствующую диффузионную задачу. Верно н обратное утверждение. 128 ГЛАВА б. КОНВГКТИВНАЯ ДИФФУЗИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ Из условия глалкостн функции при,»= О нмееы сг = О. Дальнейшее интегрирование дает (6.3) и сте Найдем постоянную ст, из условия сохранения всей массы примеси М = Аяро ) СЯтдЯ = 4яМс / (те с гчдб о о Подставляя сюда значение интеграла С'Е С Ид(= 2от, о найдем постоянную сз от = 1г'(8я ). Подставляя постоянную в (6.3) и затем в (62), получим решение поставленной задачи М С= е Гчм.
8,(тд()зУз (6.4) 78. Диффузионный и тепловой потоки к поверхности сферической частицы, двн. жушейся в жидкости. Рассмотрим задачу конвективной диффузии к поверхности сферической твердой частицы радиуса Я =1, движушейся в жидкости с постоянной скоростью и. Уравнение конвективной диффузии и граничные условия имеют вид (о О')С Вгзс, С(л=„= О, С~я = С В безразмерных переменных ЯУ = Яга, б= ир эта задача имеет вид (6.5) Ре(оо ч')С = гзС, Ре = иауд, С(я г = О, С(ж С Здесь Ре — безразмерипе число Пекле Рассмотрим случай малого числа Ре ~ 1. В пределе Ре О левая часть уравнения равна нулю и задача сводится к решению уравнения Лапласа дтС 2 дС гзС= — ч- —,— =О, С1л г=О, С(л =С дйо Я' дйг Решение задачи таково: С = С,(1 — (гй').
Отсюда найдем концентрацию и поток массы к частице в размерных переменных С = С,(1 — оггЯ), Уа = / — ~ с5 = ВС 4ла. Г ВС~ з дй л Замечательным свойством распределения концентрации С(1, Я) (6 4) в разные моменты времени Г является подобие графиков С как функции радиуса Я. Такие распределения на- зываются автомолельными (самоподобныьги), а задачи, приводяшие к таким распределениям — автамодельными задачами. у62.
АНАЛОГИЯ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ И ТЕПЛОПЕРЕНОСА 129 Применяя П-теорему, для абшего случая получим для потока массы вешества к частипе следуюшее выражение У = Уа)'(Ре, йе), Ре = иаггО, йе = иаг'и. Причем из приведенного выше решения следует, что у(О,йе) = 1 Если число Рейнольдса мало йе ж 1, то в уравнение конвективиой диффузии (6.5) следует поставить поле скорости из решения уравнений Стокса (см.
Раздел 45.). Анатиз решения задачи коивективной диффузии в этом случае позволяет установить следующие асимптотические свойства функции !(Ре,О) 1-!- 2Ре 4- а(Ре), Ре Е!. ) 0,625рецэ-!-0,46-1-а(1/Ре), Ре ьь!. При всех числах Пекле и малых числах Рейнольдса достаточно высокую точность имеет следуюшая интерполяцианная формула ~(ре, 0) = 0,5-1- (0,125 60,243ре)ЧЗ. Упражнении ! Изобразить графики С(Г, Я) (6А) при различных постоннных значениях времени Г. 2 При фиксированном й изобразить график зависимости С(!„й)(6.4) и найти максимум. Что увидит наблюдатель, находяшийся иа расстоянии Я от источника концентрации.
Омоет Проходит волна концентрации. В момент времени г = гвг'(6О) концентрация примеси в тачке Я будет наибольшей. 3. Используя аналогию задач канвективной диффузии и канвектнвиога теплопереноса поставить и решить задачу определения поля температуры около тела, помегцеиного а неподвижную жидкость с меньшей, чем у тела температурой. Литература [1[ Седов Л.И. Механика сплошной среды, В двух томах. Изд. 5 — е. Мл Наука, 1995 !!08 с. [2[ Ландау Л.Д.„Лифшиц Е.М. Гидромехаиика Мл Наука, 1986. 733 с. [3[ Кочин Н,Е., Кибеле И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. В лвух томах. Мл Фнзматгиз, 1963.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
