А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Будем предполагать, что область Я < а(г) внтгра пузырька заполнена совершенным газом. Внешння область Я > а(г) заполнена ндеальж!й несжимаемой жидкостью. Коэффициент теплопроводности жидкости сушественно выше вв' эффицнента теплопроводности а газе. Поэтому будем считать. что температура в жидкосИ является пастонннай равной Т . Капнлярнымн эффектами также пренебрегаем. Тогда задача о колебаниях пузырька ставится так. Уравнения состояния н теплопроводностн в области Я < а(!); (д Т 2 дТЛ дт Нр(г) рпрт) = р„у(рот„). л —. ч- — — ) = Рс,— —— (хдйт Я дЯ) л сд д! В этом уравнении давление следует считать функцией только времени р(!) (усломм гомобаричнасти) (9).
действительно, градиент давления, равный Рцоув(, пренебрежязи мал, вследствие малости плотности газа. Это прелположенне позволяет избежать решен!В уравнения движения газа н тем самым упростить систему уравнений. Вместо уравиемвв неразрывности достаточно удовлетворить условию сохранения массы газа Рцу = Ро"о ю Р/Ро = цо ц ° Р = Ог Рг)~ ) /У где Р средняя а объеме пузыря плотность гзза.
Функции Т(г,Я) должна удовлетворять следуюшим условиям — =О, то,п)=-т дТ ВЯ !я=о (Бэ) Умножая этн величины на коэффициент 4,!8 х Ю,И, получим значения термодннамичешпяд характеристик воздуха в системе единиц С65 95.5. ТЕПЛОВАЯ ДИССИПАПИЯ ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ 121 Из равенства давяения в жидкости (320) и газе на границе пузыря следует условие р(Г) = р( = р -!.РГПЗ/2)а + аа1. х (5.9) Здесь р/ — паотность жидкости В уравнении переноса тепла можно исключить плотность газа Р Для зтого разделим обе части уравнения на с,РТ = -„~-,р(г). Тогла уравнение примет вил й — 3 -!- — — = — !п((Т/Т,) — — !п((р/р !. 7 (5.10) Итак, задача свелась к решению уравнения (5.!0), граничных условий для температуры (5 8), давления (5 9) и плотности (5 7).
Из них можно определить функции Т(!. Я),р(г).а(!) и из уравнения состояния плотность р(Г, Я). Ниже будет дано решение для случая колебаний пузыря .с малой амплитудой. 72. Линейные колебания гааового пузыря. Решение вмше поставленной задачи ищем в виде действительнык частей комплексных функций а = ао (1 + А е'гтг), р = р (1 .1- Р егп'), т = 7 (1 ЕООЯ)еп'), „=„()жл'(Я)егн). й (!У'(Я) е — !7(Я)~ — !Пб(Я) = — Рй — Р, (5.10) / !7(0] = О, д(ао) = О, (5.8) Р Е 37(йг/йт)А О.
йа = у/~р /(р/аег) (5 9) Р' = — ЗА, (5.7), Р— р' — Р = 0 ю д = Р Ч- ЗА. Здесь йо — частота Миннаэрта (3.23). Общее решение уравнения (510) можно получить в виде сумиы частного решения Л =:!Р н линейной комбинации двух независимых решений однородного уравнения т д= — 'РжС,зй(Я ~й/й)/ЯьС,сй(Я,/й/й)/Я. Вычислян постоянные С! и Ст нз условий (5.8), найдем 7 — ! ( зй(хчг) Ре) 1 6 = — Р 1 —, Ре = азой/й. х = Я/ао, т (з .сзЫ Гре!/) ' (5.1!) где Ре — безразмерное число Пекле. Здесь А « ! и Р «1 — постоянные числа, а Р и Р' — функции одного аргумента Я.
Подставляя зги выражения в уравнения, будем учитывать толька линейные члены. Уравнение (5.!0), граничные условия дли температуры (5.8), давления (5.9), плотности (5.7) и уравнения состояния р/(РТ) = р, /(роТ, ) преобразуются в линейное обыкновенное дифференциальное уравнение для функции д(Я) и соответствующие условия глАвд 5 твплопврвдАЧА в вязких жидкостях и гдздх 122 Отсюда уравнение д = Р+ ЗА с помощью табличного интеграла л з(у абз = л сЬ з — з(у з приведется к виду 3 ! д = — Р [1+ — (Лрес15 ч»урн — 1)~ = Р о ЗА.
Ре Добавляя к найденному уравнению уравнение (5В) получим следующую систему уравнения Р + З.У(йт/йот)Я = О, Р ~ — — — (Л Ре с(5 чг! Ре — 1)] + ЗА = В. Г! 3(у — !) уре Из равенства нулю определителя получим уравнение для частоты колебаний пузыря 3 — З~ — ) !1 — (ь» Реву(учу!Ре — 1)1 =О. / Й Лз Г З(т- 1) (,Й,/ ~ (5.12) Корнем его является комплексное число й = й, -!-(йу, через которое находится зависимость радиуса пузырька о. времени — А Неаие' ') = Ае "'соей,Г. о — ое и! -и! па Л = 2яйу/Й».
Поскольку числа Пекле завясит от й; Ре =- Ре(Й), то (5.12) представляет собой сложное транспендентное уравнение относительно й. Удобно ввести число Пекле, выражающееся через частоту 5(ннназртз. 2 Рео = оооо/Д = )( — 2. !Зур„а -)/( „д Тогда корень уравнения (5.12), частота и декремент затухания будут функниямн чила Рео: й„(Рео), й„(реп), Л(реа). Рассмотрим наиболее важныл для приложений случай Рео ~ 1.
Тогда «орень уравнения (5.12) можно получить в аиде й = йо [1+ — — ((ч-Й т.о(1/Рео)1. 3('у — 1) 2 /2Рео Отсюда с точностью до малых значений порядка !/Рео получим' Й„=По[1+ ' ~, Й„=йо —, Л= З(у — Йу 3(, — й Зи(-- и (5.13) 2ч'2Рео! " 2ч'2Рео' у»2Рео ' 'Прнзезеннз» ровнузз ла» Л лолу евз Чевмэнон н Пзессетем (И Сйзрюзв. МЬ Р!еззе!. уау!! Эта зависимость описывает затухающие колебания радиуса с частотой й„ и декрементом затухания равным 35.5 твпловдя диосипдция гдзовых пузырьков 123 Сравним декременты затухания пузмрьков воздуха в воде за счет вязкости жидкости Л„ (4.П) и за счет превращения механической энергии в тепло Лг (5.13).
Пользуясь численнмми значениями гермодинамических характеристик воздуха (5.б) и воды при давлении р 1Окдян/смт, получим Рео 1,03 !О!а, Л„ 9,2 х 1О за ', Лг 0,025?а гз, Л )Лг З,б х 1О за где радиус пузырька а следует выражать в см. Отсюда видно, что для ластатачно крупных пуыпькоа а > 1О зсм низкая лиссипация менее существенна чем тепловая, а для более мелких пузмрькав а < 10 зсм наоборот существенней становится вязкая диссипация энергии. Упражнения 1.
В шприц, диаметром !см, помещено Всма вязкой жидкости Под действием силы, равной !ООГ. поршень выдавливает жидкость за 20свк. Длина иглм Зсм. диаметр отвеостия 1мм. Каков коэффициент динамической вязкости жидкости? 2. Объяснить, почему для измерения температуры тела недицинским градусником нужно держать его не менее 5 минут; если вынуть градусник, то ртутный столбик не опускается; вернуться же к начальной отметке (обычно 34') можно только стряхиванием и практически мгновенно, 3. Найти декременты затухания колебаний газовых пузырьков в жидкости при малых числах Пекле за счет тепловой и вязкой лисснпаций энергии. Найти нх отношение.
указание, Воспользоваться разложением ч Реес(Ь чг! Ре — 1 =. !!греч- 4~~Ре .! 0(рез) и подставить его в уравнение (532). Ошвеж. азоио 4тгг -Лг "г ! Д Л,-- (,— П вЂ”, Л„= —,,' Й аогйг Л 4 и Глава 6 Конвективная диффузия в жидкостях и газах $6.1 Постановки задач о конвектнвноа диффузии 7З. Некоторые сведения о смесях жидкостей и газов. Рассматривается движение среды (жидкости или газа) с заданным полем скорости В(г,х,у,а), которую назовем несушей, предположим, что а несущую среду в момент времени Г внесена некоторое количество вешестаа, в результате чего образовалась двухфазная среда или попросту смесь несущей среды н внесенного вещества.
Если количества внесенного вещества настолько мало, что не оказывает влияния на поле скорости несущей среды, то внесенное вещество принята называть пассивной примесью. В зависимости от размеров частиц внесенного вешества смеси подразделяют на гомогениые и гетерогенные. В гамогенных смесях частицы вешества являются малекуламн, а в гетерогенных смесях частицы имеют макроскопические размеры, существенно превышаюшие межмолекулярное расстояние в несущей среде (порядка )О асм а газе и )О тем а жидкости). Промежуточное положение между гомогенными и гетерогеннымн смесяма занимают мицеллярные растворы и коллаидные смеси. Иэ эксперииентов и повседневной практики известно, что в гомогенных смесях неоднородное распределение внесенного вещества в различных точках пространства будет меняться со временем, даже если несугцая среда находится в состоянии покоя. Этот эффект называется диффузией.
Причиной диффузии в гомогенных смесях является случайное тепловое движение молекул. Чем меньше подвижность молекул внесенного вещества, тем меньше «озффициеит диффузии О. Лля гомагенных растворов (например, поваренная соль в воде) 0 ш 2 )О зсмт,'сек. для газовых смесей 0 ж 2 (О 'смтг'сек. В мицеллярных рас. творах и коллоидах (разиер частиц по порядку величины ие превышает (О ~сы) диффузия объясняется броуиовским движением.
Коэффициент диффузии 0 для сферических частиц радиуса а в несугцей жидкости с динамическим коэффициентом вязкости И находится по формуле Смолуховского дт 0 = —. бчии' где д =- ),Зб.!О 'ьзргггград — постоянная Больпмана (Воаагпапп), уб ! ПОСТА ИОВКИ ЗАДАЧ О КОИВЕКТИВНОЙ ДИФФУЗИИ (25 С увеличением размера частиц коэффициент диффузии уменьшается. Дла растворов с частицами размером а = )О чем коэффициент диффузии весьма мал: 0 = 2- (О эсмз гсек.
Ддя больших частиц, взвешенных в несущей покоящейся среде, механизм молекулярно- теплового случайного движения диффузии будет отсутствовать. Однако, могут появиться другие механизмы диффузии. Например, прн осаждении частиц под действием силы тяжести возникают флуктуации скорости частиц, вследствие их гндродинамическаго взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
