А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 23
Текст из файла (страница 23)
$5,3 Теплоперенос в жидкостпк 66. Примеры решения задач теплопереноса в жидкости. Пример 1. В кругтай трубе радиуса и течет вязкая несжимаемая жидкость со средней скоростью б. Течение ламинарное. Стенки трубы поддерживаются при постоянной темвературе Та. Определить установившееся распределение температуры в жидкости (2). Р е ш е н и е Вводим цилиндрические коорлинаты г, г.
В трубе установятся независящие от времени и продольной координаты профиль скорости Пуазейля (раздел 82.): а, = и = 2о(1 — гата ) и распределение температуры Т(г) Подставляем выражения ДТ дт бтт !Лт — = а — = О. ДТ = —,".- — —, 2ечеч = 4ет, =!бб г /и' Д! дг ' Цг! ' гбг' ГЛАВА 5. ТЕИЛОПЕРЕДАЧА В ВЯЗКИХ ЖИЛКОСТЯХ И ГАЗАХ Пб в уравнение притока тепла (раздел 65.). Тогда получим для температуры следующее уравнение Лту 1 ЛТ )ббтà — + — — =— .с .
Лгт г г(г Лаз Решение, конечное при г = О и удовлетворяющее условию Т(а) = То, имеет вид Пример 2. Сферический слой а < Я б Ь заполнен несжимаемой жидкостью Нг внутренней границе Я = а температура меняется па периодичесному закону Т = То ь Асазйт. Нд внешней границе Я = Ь температура постоянна Т = То. Найти периодическое по времени распределение температуры в слое.
Рассмотреть частный случай Ь = оо. Р еш ение. Уравнение притока тепла при отсутствии лвиження жидкости и внутренних источников тепла примет аид дТ дз 2д — = Ьгду, гб = — + — —. дг ' дда Я дЯ' Ищем решение в виде действительной части функции с комплексными козффнциентами Т То+а'пги(Я)ггЯ.
Тогда для функции и(Я) получим следуюшую краевую задачу ((Пгд)и(Я) = иа(Я), и(а) = аА, и(Ь) = О. Решение ее имеет вид зб((Ь-Я) (йтФЕ зЬНЬ вЂ” а) и (П(Ь)1) ' В частном случае Ь = со решение упрощается и = аА ехр ~ — (Я вЂ” и) тгГПг(2Ь)(1 ж ()~ . Отделяя действительную часть и подставляя его в выражение для температуры, получим т = то + -Ае 'л е~хгпггты соз((п — (Я вЂ” а)ьгп)(25))г). Я Решение представляет собой температурную волну. Характерная толшинз течпературиого слоя, на которое волна проникает с внутренней границы равна 5 = чгд7Й. 67. Теоаоперенос в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости. Если химнчесних реакций нет, то уравнение переноса тепла (раздел 65.) имеет вид пТ Дог — = Лот Т-1- 2ие, е, .
гд и и' Рзссмотрим нак упрошается это уравнение, если движение происходит в тонком слоаг Распредеяения продольных компонент скорости в слое приведены в разделе 56.. откУдй з5.3 ТЕПЛОПЕРЕНОС В ЖИДКОСТЯХ дающие основной вклад в диссипиру. найдем компоненты тензора скоростей деформации, емую энергию, й — 2г др 1ди 2дг 1 да 2 де нз — и) 4п дх Ь вЂ” 2г др 23 аг о! + —. 2й (5.2) 4д ду Уравнение притока тепяа в тонком слое запишется в виде дТ даТ дог — — Л вЂ” = 4р(ег, + ег,). дт дгз (5.3) Здесь производные па продольным переменным отброшены как асимптотически малые члены при Ь/1 щ 1.
Для температуры необходимо задавать начаяьное и граничное условна. Условие на границе мажет быть двух типов: !) задается температура; 2) азпается патов тепла ЛВТ)дп Если происходит отток тепла через границу, область течения не меняется и условия на границе не зависят от времени, то через время порядка рв~ск(Л устанавливается незгвисимао от времени пале температуры Т(х,у,г). Оно нахалится из уравнения Гйу 4д — =- — (е„,+г ) дгт Л (5.4) с одним яз следуюцлих граничных условий Т(О) = Т~(х,у), Т(Ь) = Тг(х,у) Т(О) = ТПх,у), ЛВТ/дг5, = 4(х,у). или — = — (е,-не ). дТ 4п дт л гл (5.5) Пример 1. Найти скорость повышения температуры вязкой хлипкости в танком слое между двумя круговыми цилиндрами с радиусами а и Ь = и+ Ь, вращающимися со скоростями й, и йь. Границу течения считать теплоизолираванной.
Решен не. Вводим криволинейные координаты в слое. продольная координата х — длина дуги па окружности радиуса а и поперечная координата г — расстояние от внутреннего цилиндра. Через полярные координаты г,ф они выражаются таи х =- аф, г = г — а. Тагла для температуры Т(1,х,г) получим уравнение притока тепла (5.3) с начальным условием Т(О,х,г) То и условиями на границе ВТ/дг),.
о . ВТ/дг( =л О. Продадьный градиент давления в слое между цилиндрами равен нулю др!Вх = О и в нем (согласно разделу 55.) установится линейный по поперечной координате г профиль скорости. Па (5.2) находим компоненты тензара скоростей деформаций ол - гь Ьйл - ай. е., =. — е, = О. 23 23 Если же отгон тепла через границу достаточно мал, то в уравнении притока тепла (5.3) можно пренебречь слагаемым Лдтугдгз. Тогда получим уравнение для скорости роста температуры в слое жидкости ГЛАВА 5. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ )!5 Подставляя эти выражения в уравнение (5.5), получим изменение температуры при 5(а « ) в слое а — = —.(Ьй, — пй,) . д( рсчй Пример 2.
Найти установившееся распределение температуры в слое вязкой жидкости между двумя вращающимися круговыми дисками. Диски рзсположены з параллельных плоскостях а = О и а = 5 с центрзми на оси з. Радиусы дисков равны о, угловые скорости вращений равны й( и йт.
На поверхностях дисков поддерживается постоянная температура То. Решение. Продольный градиент давления в слое между дисками равен нулю и аналогична предыдущей задаче в слое установится линейнмй по поперечной координате а профиль скорости Аналогично находим по (5.2) компоненты тензора скоростей деформаций йэ — й( е„„= г 25 е, = О. Таким образам, уравнение (5.4) для температуры Т(г, г) н граничные условия имеют вид ВТ н(йт -)( э чт — — — — ) г, Т(г.О) = Т(г,й) = Тэ да( Л (, й Решение краевой задачи таково: Лз Т = — ~ — ) г 2(Ь вЂ” 3). д г'йт — й(Л 2Л~ 5 Поток тепла, постугающий от жидкости к дискам, равен Л(ВТ(дЯ„'=о = ) и(йэ — й()з гз(й.
2 $5.4 зевлоперенос в газе 68. Модель вязкого теплояровадного совершеняаго газа. Для совершенного газа теплоемкость сч при постоянном обьеме — настоянная величина, внутренняя энергия равна счТ. В систему уравнений совершенного газа входят: 1) уравнение состояния р = рЯТ. др 2) ураинение неразрывности — ч- рб(чг = О; ((( дй 3) уравнения движеняя р — = -йтабр+ р(хйэ рйй (И 4) уравнение притока тепла, Его можно записать в одной из следующих фарм АС( р — ' рщчу, д( — ' э ЛЬ Т е 2ре, е, = дй„м, д( чч= йр Ы( дэ РТ вЂ”, д(' 45.4. ТЕПЛОПЕРЕНОС В ГАЗЕ 1!9 где // = срТ вЂ” энтальпия, з = сг !п!Тр( т( — энтропия, с„- коэффициент теплоемкости пРи постоЯнном Давлении, 7 = ср/сг. Итак, выписана замкнутая система шести уравнений для определенна шести функций р, р,Т.а(,оз,аз от координат х(,хз,хз и времени ( 69. Формулы длв расчета удельных теплоемкостей газов.
Удельные теплоемкостн газов и удельную газовую постоянную Я можно выразить через универсальную газовую постоянную В~ для одного моля газа Во = 8,3!4Джмоль 'град ' = 2капмоль 'град '. Теплоемкасть одного моля газа ооределяется одним из следуюших соотношений уй — одноатомный газ, з о су = уй — двухатомвый газ, 3 о Зйо — многоатомный газ. Удельная газовая постоянная и удельные теплоемкости находятся так. Я Вс/М сг сок/М ср сг ч Я где М вЂ” молекулярный вес газа. Зги характеристики нетрудно вычислить и для газовых смесей. Например, для смеси из двух компонентов формулы вычисления таковы Я = — В(+ — Вт, н(2 н( л( «» ягз се= — сш+ — сгз, ср сь фй, нг лг сг = — 2 — = 0,156 ; Я = — = 0,0625 †; ср — — сь + Я =- 0,218 5 1 кал 2 кэл к аз 2 32 ' г град' 32 ' г град' Р ' г град' Пример 2.
Вычислить удельные теллаемкасти азота. Решение. Аналогично, находим 5 1 кэл 2 кап кап с! =-.2 — -О,!78; В= — =00714; с =~-'-Я=О,25 2 28 ' г.град' 28 ' г град' ' г град' Пример 3. Вычислить удел~ную теллоемкость воздуха, условно приняв, что он состоит из азота на 77% и кислорода на 23%. Решение. Из формулы лля теплоемкости ср смеси газов получим сг = 0,23 0,156 ' 0,77 0,178 = 0,173— г грал Получеаиое число совпадает со значением теплоемкости, приведенным в таблице 2. 70. Примеры расчета удельных тенаоемкостей газов.
Пример !. Вымолить удельные теллоемкости кислорода. Р е ш е н и е. Применяем форму ту для теплоемкости одного моля деухатамнаго газа с уйо. а 3 Умножаем эту величину на число молей в одном грамме кислорода 1/32. Тогда получим ГЛАВА б. ТЕПЛОПЕРЕДАг)А В ВЯЗКИХ 'КИДКОСТЯХ И ГАЗАгф, 120 Аналогично для удельных теплаемкостн ср и газовой постоянной воздуха получиМ «ал «ая с = 0,23.0,218 4.0,77 ОЕ25 = 0242; Я = ел — сг = 0070 г град г град ср — †!0,12 х !Π†, сг =- 7,23 х 10 , Я = 2,89 , 7 = срусг = 1,4, г .
град г.град г. град Вычисленные теоретические значения мало отличаются от значений измеренных зкспрв. нментальна. Для решения задач теплопереноса в воздухе необходимо также знать шв плотность Р, кинематическую вязкость н н коэфицлент температуропроводности лр, отнв сенный к ср. Приведем значения этих величин для воздуха при нормальной температуре 2О С см Л смг р= 1,2х 10 г)см, и=о,!5 —, Ял= — -=.0,19— сек ' ' рсь ' се к (5.8) $5.5 Тепловая диссипация газовых п)гзырьков пульсирующих ° ЖИДКОСТИ. 7!. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о колебаниях сферического газового вуь зырька а несжимаемой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
