А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 18
Текст из файла (страница 18)
а) Вычислить среднее за период давление в жидкости б) В какой области среднее давленые в жидкости растет с удалением от центра сферы? (В этой области частиць: в жилкасти притягиваются к сфере), 18 В фейнмановскнх лекциях по физике приведена задача (40.3) вычислить импульс жидкости прн дьнженнн в ней шара со скоростью к. Приводятся таное решение. Потенцнал поля скорости жидкости равен Ф = -зоо взят, тле Я,й — сфернческне коордннаты. Вектор з скорости жидкости имеет янд о = щт(3гЕйсозд-гЯЗ), где г — радиус.вектор, г — единичный зл вектор, направленный по скорости движения шара.
Можно проверить, что интеграл по сфере от вектора о равен нулю. Весь нмпульс равен сумме интегралов по сферическим слоям н слелавательно тоже равен нулю!? Иайлнтс ошибку в этом рассуждения. 19. Трехосный эллнпсонл заполнен идеальной жидкостью н находится в постоянны покоя Затем эллипсоид начннает вращаться около олвой своей осн. Скорость вращения досткгает 1О оборотов в секунду. П С какой угловой скоростью вращаются жкдкне часткцы идеальной жкпкосткз 2) С какой угловой скоростью будут вращаться жидкие частицы, если эллнпсоид остановить? 3) Что можно сказать о поде скорости жидкости в момент остановки эллипсонда? Глава 4 Движение вязкой жидкости ф4.1 Общие свойства 39.
Уравнения. Существует несколько различных форм представления уравнения НавьеСтокса. В декартовой системе «оордннат их можно записать в векторном виде Ий'т р ! — у! =- — йгабр+ огай+ рй, бгчй= О. ~йг) (4.!) Ускорение частиц жидкости иногда удобно представить в форме Громекн-Ламба (3.2). В проекциях на оси декартовой системы координат хо г = (,2,3 уравнение (4.!) имеет вид р( — '-го,— г) = — -ьмгйц+да, — '=-О. (, д! гдхг) дхг ' " дх, Приведенные уравнения можно также выразить через компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций /%, до, ( др, гпе (,дг 'дх;) дх, ' дх, и = — рб, + 2ле, е, = - ) — '+ — ') . 2 ),дх, дхг) (4 2) г'йй'т о ( — ) = -йгабр'+ (ггуй, Щчй = О.
(,йг) (4.3) 40. Граничные условия. Дяя вязкой жидкости порядок уравнений движения выше, чем для идеальной, и число условий больше. На ~нем с вывода граничных условий иа поверхности раздела двух фаз ! и 2.физические характеристики фаз будем помечать также индексами ! н 2. Ограничимся рассмотрением случая отсутствия фазовмх превращений 93 Иногда удобно ввести модифицированное лаление р' = р хйх. Тогда уравнения (ку,.з) будут иметь вил уравнений с отсутствующей массовой силой тяжести ГЛАВА 4 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Для скорости движения фаз должны выполняться условия непрерывности вектора скорости.
Иначе говоря, непрерывность касательной скорости и отсутствия протекания через поверхность раздела фаз. (а», = (бг).„(Гу)„= (бг). = (У., (4.4) где () — скорость движения поверхности раздела фаз, индекс г означает проекцию вектора на касательную плосность, а индекс л — проекпню на нормаль. Условия для напряжений иожно получить как следствие условий равновесна элемента сплошной среды бесконечно малой толщины, расположенного на границе раздела, Если коэффициент поверхностного натяжения а переменный, то нужно учес~ь дополнительно» касательное напряжение, равное градиенту касательного напряжения '7а Таким образом, условие равновесия примет вид (ЗТ,! + р г)- Ь Тга = О, (умг * р„г),г, а(!гЯ1 + 1)йг) = О.
(4.5) Здесь инлексами ! и 2 помечены нормали, направленные внутрь фазы ! и фазы 2. соответственно. Последнее равенство является обобщением условия равновесия Лаплас~ (раздел !4.) для движущейся вязкой жидкости, Я! и Яг - радиусы главных кривизн !г ланной точке поверхности, радиус Я,, 1 = 1,2 считается положительным, если центр 1-то~ кривизны находится в среде 1.
При отсутствии движения ры = — р~йг, р,г = -ргпг, соотношение переходит в формулу Лапласа (раздел 14.). Из первого граничного условя (4.5) вытекает следующий вывод: наличие градиента Оа создает касательные напряжен в жидкостях, а значит их течение. Течение жидкости, возникающее за счет переменно поверхностного натяжения, называется эффектом Мараигони (Магапйоп1, 1872) (см. раздей 60.). Из общих граничных условий (44) н (4.5) можно получить условия для следуюцпг( двух наиболее распространенных частных случаев. Если жидкость граничит с твердмм телом, то на ией стввитсн "условие прилипанияя равенство скоростей частиц жидкости и скорости () твердого тела в каждой точке гранияд На поверхности разлела жидкость-газ (йаприиер, вода-воздух) условия выводятся тазг Вектор напряжений в жидкости ры выражается через давление и тензор скоростей дф формаций с помощью соотношения (4 2): р„= -рп, т 2пе,!.
Отношение динамически~ вязностей газа и жидкости — малая ведичина (например, для воздуха и воды это отнощй нне составляет 1,8 х 10 з). Поэтому в векторе напряжений в газе можно учесть толькв лаяленне р, . р„г = — р„пг, а вязкиии напряжениям» можно пренебречь. Таким образоМ лля первой фааы (жидкости) приходны к следуюгцим граничным условиям оы = (й|, (р ~1-,л Тта= О, (Ун)ю '-р: .ьа(1УЯ ч- 1УЯг) = О (4.7 Разберем полробнее, как поставить граничные условия на оризонтальной поверхносю у = М ограничивающей сверху течение жидности с однонаправленным по оси к поле! скорости п(х.у) Будем предполагат~, что поверхность у = й является поверхностью раздезг фаз жидкость-газ, и иа ней коэффициент поверхностного натяжения зависит от х Направи( 54 1, ОЕШР(Е СВОйСТВй 95 нормаль Е вертикально вверх, то есть в сторону газа.
Вектор напряжений р„ имеет две составляющие. направленные по осям х н и, равные соответственно р„„ = рдо/ду и — р. Так как и = — Еь то вектор рт противоположен по знаку вектору р„ и, значит, имеет составляющие по осям х и у соответственно — рдо/ду и р Для первой составляющей из граничного условия (47) следует Л(эг/ду — — г(о/бх, а для второй имеелг р — р, =- о(1/Е, — !/Ет) = 0 Таким абрааоч, граничные условия примут внд о„= У,. рдо/ду = с(о/бх, р = р-,. (4.8) Второе уравнение количественно описывает эффект Марангони: сдвиговое течение з жидкости имеет напряжение сдвига равное величине аа/Нх . Рассмотрим второй случай; условие на поверхности сферического газавата пузырька радиуса о.
движущегося в вяакой жидкости Выберем направление нормали и, внешнее по отношению к газовоиу пузырьку. Тогда оно будет направлено в сторону нормали и! В сферических координатах Я,У для осесимметричного движения условна (4 7) будут имет~ вид Жя '! оя = а Ч-Ег со*У, Рве+ (с(о/НУ)/а = О, Р, — Р и2Р— ! = 2о/а.
(4.9) дИ ! Второе уравнение (эффект Марангонн) определяет величину касательного напряжения на поверхности пузыря. Суммарное касательное напряжение может превзойти силу йрхимеда и возникнет явление, кажущееся парадоксальным: пузырьки при вертикальном градиенте температуры могут тонуть, а не всплывать Для нестадианарного движения тел в безграничном потоке жидкости удобно ставить задачу в системе координат, в которой жидкость на беснонечиостн покоится В этой системе координат нужно требовать, чтобы снорость на бесконечности стремилась к нулю )(а бесконечности в жидкости устанавливается гидростатическое распределение давления.
41. Уравнение изменения кинетической энергии. Вывод теоремы Лагранжа. Уравнение изменения энергги можно получить с помощью преобразований уравнений движения (4.1). Эти преобразования аналогичны приведенным в разделе 4. для произвольной сплошной среды и в раздел 25. для идеальной жидкости. Для двухфазных систем вместо закона сохранения энергии, рассмотренного в раздел 25., в вязкой жидкости получим закон изменения энергии в зиле — (Е„„„ ч- Е„ ) = -О, г( (4.!О) где Π— скорость диссипаиии энергии. Патенииальные энергии массовых сил тяжести и поверхностного натяжения для вязкой и идеальной жидкостей будут совпадать. )Тннетические энергии е идеальной и вязкой жидкости будут отличаться, так как вязкость влияет на поле скорости жидкости Закон изменения энергии можно применить для доказательства теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия вязких жидкостей под действием сил тяжести и поверхностного натяжения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
