А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 13
Текст из файла (страница 13)
6Аз = О, где 6А, и 6Аз — работы сил давлений р~ и Рз, а 6Аз — работа сил поверхностяого натяжения на виртуальном перемещении. Малое перемещение поверхности раздела фаз 5 можно описать с помощью смешения 6) (виртуальнага премешения) точек поверхности па нормали. Умножим обе части формулы Лапласа на Л' и проинтегрируем по поверхности 5. Тогда получиы принцип виртуал~ныл смешений, в котором 6А~ = ( р>%65, 6А = — ) Р,КЦБ, 6Аз = -о/2НВ 65 3 5 3 'Смирнов В.И Курс зысмеа мзжмагнки Т и.
стр 41Е М. "Наука', азат г ГЛАВА 2. ГИДРОСТАТИКА 65 = 5 — 5о = / 2НО5(Х -' 0(Х~)) (2.7) представлает собой изменение плошади поверхности при смешении ее точек по нормали на величину Ж, та есть бАз = — о65 Таким образом, БАз — это работа сил поверхностного натяжения на виртуальном перемещении поверхности, а об5 — это энергия поверхностного натяжения. В дальнейшем понадобится еше формула дифферендироеания плошади поверхности 5, произвольна деформируюшейся — = / 2Ноэг)5, сг5 Г сгг,) (2.8) 5 которая легко получается из формулы Гаусса (2.7) предельным переходом д5ДИ = )гпг (5 5о)уг)г, э.
= ппг Лгугдг о-о ю-о 17. Условие Дюпре-Юнга. Угол смачиваиня. Поверхности разлела жидкости и газа, к которым применимо условие Лаггласа, могут быт незамкнутыми На практике они обычно ограничены линией, вдоль которой соприкасаются три среды — как, например, в случае капли ртути, покоящейся иа столе. На линию контакта оказывают воздействия натяжения трех разных поверхностей, и, поскольку они не обладают массой, то результирующий трех векторов натяжений должен быть нулем: Угг + дгз ж оз~ = 0 (рис. 2.б а).
Это равенство называется усяовием Дюпреогз Юнга на граниде раздела трех фаз. В случае 3 )Ум) > )йгз', ч- )Уз,) условия контакта не могут 2 выполняться. Условия Дюпре-Юнга выполняютогз огг 1 твердое тедо ся для линзовидных капелек жира на поверхности супа, но не выполняются для поверхности раздела нефти воды н воздгха. Поэтому капля нефти растекается по поверхгюсти воды до тех Рис. 2.6: Условие Дюпре-Юнга пор, пока толшина ее слоя не достигнет размеров молекул. Подобным же образам бензин, содержаший смачиваемые добавки, не может образовать изолированные капли на некоторых твердых поверхностях и растекается по ней в виде очень тонкого слоя.
Напротив, обувь, смазанная жиром, "отталкивает воду", так как вода скатывается с ее поверхности в виде отдельных капел~ Условие Дюпре-Юнга можно также получить нз обшего закона механики о минимуме потенпиальной энергии системы в положении равновесия. Разберем вывод газ" жидкость 3 а 2 а) Покажем что интегралы в АА, и ААг зта рабаты. Действительно, р~б5 — зто сила. действуюшая на элемент поверхности о5, а р~Л'г(5 — это работа этой силы на перечешенин Л'. Интегрзл о риго5 является суммой всех работ, производимых силами давления р, на виртуальном перемешении поверхности 5 Аналогично показываем, что интеграл от Рг(-Н)зг5 является суммой всех работ, произволимыл силами давления р» на виртуальном перемещении поверхности 5. Последний интеграл, согласно известной из дифференпнальной геометрии формуле Гаусса (Паню) 922 РАВНОВЕСИЕ )КИЛКОСТЕИ .
б9 условия Дюпре-Юнга для наиболее часто встречающейся в практике системы жидкость, граничащая с газом на своей свободной поверхности и соприкасающаяся с плоскостью твердого тела (рис. 2 б б) Возможны слелуюшие лва случая. !) полное смачивание, когаа вся поверхность тела покрывается жидкостью или ее пленкой, 2) частичное смачивание, когда жидкость покрывает лишь часть поверхности твердого тела Чаше встречается случай частичного смачивания. При этом на линии смачивания, ограничивающей смоченную часть твердой поверхности, жидкость образует некоторый двугранный угол а, который называют краевым, контактным нли углом смачивания Обозначим твердую фазу индексом |, жидкую — 2. а газовую — 3 Введем энергии взаимодействия фаз ! и 2 0|з; ! и 3.
Иц! 2 и 3, (тзз. Сместим линию контакта параллельно самой себе на малую величину бх по поверхности твеодого тела. Тотал все энергии получат приращения Б(/|т = ошбж Б(Аз = — ошбх Б(|зз = отзсозпдх, где а — угол смачивания Из принпипа виртуальных работ получаем о|т — ош ш пззсоза = О.
Отсюда получим соотношение для угла смачивания соя о = (пы пы)/ою Это условие является фундаментальным соотношением, с помощью которого по известным энергиям межмолекуляриого взаимолействия на поверхностях можно вычислять угол сма- чивания и наоборот, измеряя тгол смачивания, можно получать информацию об энергиях поверхностей раздела фаз. !8. Плоская задача о равновесии. Из условия Лапласа раздел |4. и формулы для кривизны раздел !5. можно получить систему обыкновенных дифференпиальных уравнений, определяющих форму пилиндрической свободной поверхности я(х), находящейся в статическом равновесии под лействием сил тяжести и поверхностного натяжения (рис.
2.7) ор лду = а —, йз е(х оз йу йз — = — — соя й, — = — — зш В (2 9) ЫВ с(В ' ВВ т(В Здесь ось к горизонтальна, а ось у направлена вертикально вверх. Поставим задачу вычисления свободной пилиндрнческой поверхности у = /(х) тяжелой жидкости, примыкающей к вертикально расположенной твердой стенке х = О. Угол смачивания равен а Должны выполнятся условия прил=О:В=я/24ш ярих х В=т,у=б. Из первого уравнения найдем Дз/йВ =. !з/у, ! = ч/и/(лй). Подставляя это выражение в последнее уравнение, получим Ду/дй = -1тйз!п В Разделяя переменные, находим интеграл т Рис.
2 7. Капиллярный поль- ем жидкости на смачиваемой вертикальной пластине ! г 2 -у =! соври-с ГЛАВА 2. Г)!ДРОСТАТР»КА' 70 Постоянную с найдем из условия В = О при В = т. Таким образом, получим с = !т !т'2 2 соя В при 0 < о < г/2, (2АО) 1> — з1п о ПРИ гт < тг,г — (т — 2 ып о при о > г/2 Уравнение свободной поверкности можно получить в явной аналитической форме. Длн зтого запишем уравнения 12.13) и (210) а следуюшем безразмерном виде г!Х = с1ддг!У, У = тг2 + 2созВ, Х = х/!, У = ВЛ.
После замены переменной 3 1 — 2»з созВ=) — 2Г ~с(2В= . У=2ът! — Г, 2»ч ! — »у' уравнение у рошается АХ ВХВУ 1-2»' г!г ыу г»! 1 — П 2 (,г 41 ! — 1/ (2. Н Отсюда находим требуемую зависимость ! = Чг! — Ут/4, ( аГСШГ = — (П вЂ” /1 . т (2.12! 2 1 — г) Х =- -2г + агстйг, Зависимость Х(У) изображена на рис. 2.3 Парамет) г изменяется на интервале г (0,1) Значению г = ( соответствуют Х = О, У = 2 и В = О. Значению г = чг2/( соответствует точка контакта с вертккальной стенкгй Х = -0,533: У = ь 2 при нулевом угле смачивання о 0 Значению ! = ч'3/2 соответствует точка контакта с верта( кальной стенкой х = — 0,415; У = 1 при угле смачивани( а = гг/6 На рис. 2.9 изображены решения задачи о капилярно! подъеме жидкости на твердую плоскость, расположенну~ под произвольным углом к горизонту В = Во при нудеж»( угле смачивания.
Углу Во = (2/3)я соответствует тачгй контакта с координатами (-0,415:1), а углу Во = к/3 ч точка контакта ( -О, 451; ч 3) 2 У 0 1 Х 2 Рис. 2.5 Расчетнан поверхность жидкости около смачиваемой вертикальной пластины. Высота д точки контакта с твердой стенкой над невозмушенным троанем получается полстановкой В = Во = х/2 е а.
При смачиваемой поверхности 0 < а < я/2 точка контакта с твердой поверхностью находится выше свободного уровня на величину д > О. а прн несмачизземой поверхности т/2 < а < я — ниже (6 < 0) 422 ривноввсив жидкос! вй При  — т поверхность уплощается Асичптотический характер зависимости р(х) при удалении от точки контакта можно получить из асимптотики ф! ° .. (2 12) при У - О 2 Х(У) = - щ У - 2 ь (и 4 - О(ут). Пусть в точке контакта свободная поверхность сотавляет угол Вэ с осью х Тогда. согласно решению (2.12), координату точки контакта можно выразить через угол до Это выражение можно привести к виду П 1 Х 2 0 Рис.
2.9: Расчетная поверхность жидкости около наклоненной плвс- гт — В / к — р) Хо = 4юп — — — 2 — |п (!й 4 ( тины Подставляя это вь1ражение и асимптотику Х(У) в решение х(1 = Х(У) — Хш получиьг — — = 4 э|и — 4 |и )У/ (419 — р юО(У ).
х . зк — Во ( / т — доХ! з 4 ), (, 4 Разрешая это уравнение относсительна У, получим требуемую асимптотику для свободной поверхности -шг ~я — до . т г — Ва у = 1А(йа)е Ш А(бо) = 4 тй ! — ! ехр ( -4 Ип ( — ) ) . Измерение краевого углз смэчивания связано с большими трудностями.
так как наклон кривой вблизи твердой поверхности значительно изменяется. Изьгерить же коэффициент А асимптотики У(Х) на достаточном расстоянии от тверлой поверхности можно точнее. По полученной зависимости А(ВО) можно найти ОО и угол смачивания а. 19. Осесимметрмчная задача. Аналогично плоской залаче можно получить систему уравнений для осесимметричной свободной поверхности з(г) Из условия Лапласа раздел 14 и формулы лля кривизны (2.4) (раздел 15 ) получим следующую систему обыкновенных лиффереициальимх уравнений г'Ю з)п Р) г(г пз с(а г(з рдз = и ( — ч- — 1, — =. — — соь д, -- =- — — ып В.
(,дз ° ! ' дВ дй ' до др ' ' (2.13) Злесь ось з направлена вертикально вверх, г — по горизонтали от оси симметрии з. Полученная система уравнений определяет формы поверхности раздела фаз различных лвухфазиых систем. изображенных на рис 2.П. капля жидкости. лежащая или висящая на твердой горизонтальной поверхности, газовый пузырек в жидкости на горизонтальном дне сосуда или на горизонтальной крышке. Система (2.13) не имеет таких простых решений. ьак в плоской задаче, но для нее не сложно получать численные решения ГЛАВА 2. ГИДРОСТАТИК4 Вс с! г=! (- — — -/!, ВсГ Вг, Ва= — сдг.
Вз гг Отсюда следует уравнение для функции з(г) при г/!»1 Вз 192 — — — — — = О. ,1,2 г,у, !т Убывающие на бесконечности решения выражаютск через бесселеву функцию мнимом аргумента второго рода Ко(г/!), для которой известно асимптотическое разложение пр! гЛ» 1. Отсюда найдем з(г) =А(а,аЛ)]!е ы'(г/!) !гт, г/!»1, где А - безразмерная постояннав, также как и в плоской задаче; однако, в асесимметричнав случае А зависит не только ат угла смачивания а, но еше и от отношения а/!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
