А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Действительно если векторы г, гз,,г„линейно зависимы, то существуют числа с1.*т.,.,св такие, что с,г, ' сзгт + +слг„= 0 и тогдз соответствующая физическая величина а" ,. а" . ам будет беараамерной. Определение 2. Размерно независимые параметры пи аз, ,ал из системы пари«втрое аиот,...,а, (й < л) образуют максимально рпзмерно независимую подсистему параметров, если й = и или любая подсистема й 4- ! параметра будет размерно зависимой. Очевидно, что й равна размерности линейного пространства векторов ги гз,...,г„. Поскольку векторы г, — зто тройки чисел из трехмерного линейного пространства, то мзксимальиое число линейно независимых векторов в нем не больше трех й < 3. Рассмотрим пример.
Пусть имеются четыре физические величины с размерностями ллины, скорости, плотности и вязкости (а) = Е, (о1 = ЕТТ, (р) = О зМ, (д) = Б 'МТ Покажем. что величины а,о,р образуют максимально размерил независимую подсистему. ГЛАВА ! УРАВНЕН(!Я И Л10ЛЕЛИ Лействительно, величина а о~у' будет безразмерной. если ее размерность (а"оия', = Е" З З'М'Т " равна нулю Отсюда получаем систему уравнений О О О. о . Д вЂ” 3- 'т —,т Эта система имеет только нулевое решение и величннь а.о.р — размерив незаансимьь Они образуют максимально размерно независимую систему, так как величина и имеет размерность (и) = Е !МТ ' и ее можно выразить череа размерности а,о,а.
Лля этого иэ равенства )а) (о)~)р) .= )и) получаем систему уравнений а+д — 3т = — ! ! -д =- — ! и, решая ее, получим а = !. д = 1,, = ! ю (и) = )а)(о)(гт) Отсюда также следует, что комбинаиия аор Йе =— и является безразмерным числоь.. Оно называется числом Рейнольдса (Яеупо!дз О ! К этому же результату легко прилти, если сопоставить рассматриваемым величинам их векторы размерности г1( 1, О, О ) гз( 1, О, — ! ) гз( -3, 1, О г,( р и Тройка векторов г!.гз,гз образуют в трехмерном пространстве максимально независимую систему векторов, а четвертый вектор линейно выражается через них ге = г~ -!-гя ьгз.
Теперь перейпем к формулировке П - теорема. Всякое физическое сооюношение (!.!8) между и+ ! Размерной величиной можно зонисаюь е виде сотношения между л о! — й безразмерными величинами где а!.ат,, аь — максимально размерив иеаависимая система величин нз набора аргументов функиии !. а"=а .(~) ( — „) .
(«) В. Подобие фнзичесних явлений. Критерии подобия, Одно из важных применений П - теоремы — теория подобия, широко используемая при проведении эксперимента Пусть нам нужно экспериментзльным путем установить значение величины а" натурного объекта по измеренной на модели величины а". Если для величин а,", ...а", модели и а",, ,а'„' натуры совпадают соответствуюшие этим значениям безразмерные числа П!, , П„ », то пользуясь П - теоремой можно по измеренной величине а" пересчитать а" гП щ ТБОРИя ПОДОБИЯ И РдзМБРНОСТИ 59 Безразмерные числа ПьПт,,П, ь называются критериямн подобия. Два явления одной физической природы извиваются подобкыми, если их критерии подобия соответственно одинаковы. 9, Примеры применения П - теоремы, Можно предложить слелуюшую последонательность действий использования теории подобия и размерностей применительно к конкретным задачам ! Выбрать определяющие параметры задачи а!,ат,,а,.
', Выбрать систему единиц (например БМТ) 3. Найти все размерности определяющих параметров и искомой величины 4 Из числа определяющих параметроа выбрать максимально нозмажное количество размерно независимых параметров а!, аг 5 Записать выражения размерности остальных аргументов и искомого параметра через размерно независимые параметры а!, ,аь. 6. Для искомого параметра а и аргументов аь п...а, составить безразмерные комбинации П и ПБ,П„ь. 7. Записать соотношение П .
теоремы. В задачах идродичамики часто используются следующие размерные величины. линейный размер скорость, плотность, кинематическая вязкость, поверхностное натяжение и ускорение силы тяжести. Б,о.р, э,о,л Из них можно составить следующие безразмерные ьоибинации Бор Ке = †.
— число Рейнольдсв(йеупаЫз 0.), и розь рте = — число Вебера (Уггейег), о Ег = = — число Фруда (Егоцбе) ,г~ь Число Рейнольлса характеризует эффекты сил вязкого сопротивтения, число Веберз— эффекты поверхностного натяжения, а число Фруда — волновые эффекты на поверхности тяжелой жидкости Часто возникает необходимость пользоваться критериями, не зависищими от скорости или линейного разлюра.
Такимн «ритериямн являются производные от первых трех Егз ьд Пз = —, = —, — число Галилея (Парйег). Нет йбз Егт рй(.т Во = —, = — — чисдо Бонда, 'ьуе а з а Мо = Во Па = — — число Мортона (Мог(оп). з т Р "в оз Например, если искомой величиной является скорость, то в аргументы функции не должны входить зависящие от скорости безразмерные числа Ве, %е нли Ег В этом случае в качестве аргументов нужно использовать Па,Во или Мо Пример ! Найти силу сопротивления шара при обтекании его потоком зязкоь жидкости Будем решать эту задачу по предложенной выше методике 60 Г,7АВА ! УРАВНЕНИЯ т! Л)ОДЕЛ! й)Ж гут г аббдгбг благу г а бггугг б ббуааг абай)ел Нег = Йет Йеа гьез Е ббубб г а бггуб 2ае Р Леа )<е 1.5 10 10 65 500 Рис.
!.7 Коэффициент сопротивления шара. !. Определяюшие параметры: а — радиус шара, ь - скорость потока вдали от шара р — плотность жилкости, р — динамическая вязкость жидкости, искомая зависимост Йа, о, р.р). где Р— сила сопротивления. '2. Система единиц ЕМТ 5 [.)=С, [с)=577, [р)=-,'), [,)=ун, [Р)=-",ь. 4. а. о. р 5.
[Р[ = [а[[о)[р), [Р) =- [р)[оэ)[ат) Р аор 6. П= — „, Ре= —. ро аа' л 7. Искомая зависимость: П = то[Не) Это соотношенке хоро~о известно а гидродинамике. Его записывают а следуюши обозначениях Р С„= „, =)[Не). хатурот Беэрззмерная величина С„ называется коэффициентом сопротивления шара Она вволитб через отношение силы сопротивления Р к произвелению плошади миделя яа [поперечна сечение наибольшей плошади) и динамического напора !~рот. На рис !.7 изображена зависимость коэффициента сопротивления С„ от числа Р нольаса. По осн абсцисс в логарифмической шкале нанесена числа число Рейнольд Неа =- ййе по диаметру шара При числе Рейнольлса Не < Не, = !О обтекание безотры ное При Не~ < Не < Нет - 65 обтекание стационарное с конечной зоной отрыва П Нез < Не < Нез ш 500 за шаром образуется нестационарный вихревой след.
В облас 4! 4. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ 6! йел < йе < Век -- 1,5 Рдь коэффициент сопРотивлениЯ пРактичесли постоанен С, = 0,4. Б окрестности значения йе = Неэ происходит резкое сниженке сопротивления -ела Зта область называется кризисом сопротивления. Следует зальетить, что картина течение в этой области настальло саожна, что до сих поР не сУгпествУет надежных льетолов длЯ численного решения этой задачи. Поэтому зависимость С„(йе) определяется из элсперичента Сплошная и штриховая линии соответствуют аналитическим решенияы Стокса (1! и Озеенг (Озееп) (2) для малых значений числа Рейнольдса Зависимости Стокса и Озеена имеют вид 121 3 Сны —, Сит йе' * йе ~ 8 Для всех чисел Рейнольдса до кризиса сопротивления пе < й „ следующей аппроксимацией С, = — ()т0,24!Ивваат) 4-0,42(1 . 1 902 1Оя)(Е "а] ' !2 йе длину отрывной зоны (см.
Рис, 1.7) при Ие ц (Ке!,Вет) можно вычислить по формуле з 1 5 — =-Л~ЗКе — —, а 4 4' а при Ве к (Вее,Рея) точка отрыва д в градусах вычисляется по формуле до = (102— н ! Зуйео.з') Все эти результаты получаются из эксперимента с помошью изложенной теории подобия и размерности. Пример 2. Найти скорость осаждения твердых сферических чдстии в вязкой жидкости. По изложенной методике находим ! Определяюшие параметры: а — Радиус шаРа, р — плотность жидкости, и — кинематическая вязкость жидкости, ро — плотность твердой частицы, й — ускорение силы тяжести. Искомая зависимость о(а,р,и,ро,д), где о — скорость осаждения частицы.
2 Система единиц !.МТ 3, (а! = Е (р! = г (и! Т ' (ро) сз (й! Тт, (о! — ! Т. 4 а, р, и. 5. (Ро! = (Р!. (д! = (и)т[Е! ас ро из 6 П = йе = —, П, = —, Па = Па = —. р ' даз' 7 Искомая зависимость: Ве = т(гчо/Р.Оа) Итак, применение П - теоремы позволило уменьшить число аргументов у исномой функции до двух Покажел! как, используя дополнительные физичесиие соображения, можно еше понизить количество аРгументов до одного Направим ось координат вертикально вверх На частицу лействуют силы тяжести Р, Архимеда А и, рассмотренная выше, сила вязкого сопротивления Р Проекции этих сил на ось координат таковы: 4гг а 4",г з Р = — — парой, А = — 'а рй, Р = ча р — С,(йе).
3 ' 3 ' ' 2 Г~7АВА !. УРАВНЕНИЯ И %ОДЕЛ Из уравнения баланса сил Р ж А ж Е = О получим го т о -~ -)=-'. — — )у! = — С„)йе). 3 р ) ой Выражаем через число Рейнольдса безразмерный комплекс, входяший в праную часть ог = 'д — = ЯезОа, Оа = з ая азя Тогда получим следуюшее уравнение относительно числа Рейнольдса — ~ — — 1( лфа Йе Ез)йе) З),л Отсюда видно, что искомая функция зависит тольно от одного аргумента Ве = ьг(П), П = — ~ — — !), В зй У З,А ),, причем ее можно пересчитать через известную уже функцию Сг)Пе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
