А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 14
Текст из файла (страница 14)
20. Свободные пленки. Если в системе уравнений (2.13) раздел 19. положить В =0 то получим систему уравнений для осесимметричных свободных пленок 99 з(п 9 Вз г Вг Вз — = — саз  —, Вд Вд' Вз 95 — = — эш 9 —. 99 99' (2.!4 Такие пленки можно наблюдать на простом эксперименте. Если опустить два проволочньп кольца в мыльный раствор воды и затеи вынуть их, то, разводя кольца, можно увиден тонкую мыльную пленку, натянутчю на калька.
Если центры колец будут расположены !й оси их симметрии, то пленочная поверхность булет осесимметрнчной (рис. 2 10), Найде! нз первого уравнения Вз/Вд = г/з)п 9 и подставим это выражение во второе уравнений Тогда получим уравнение †„ = — созд;; †;;Э, которое легко разрешается (2.1$ Подставим Вз/од = г/з!пВ в третье уравнение н, используя полученное решение, найдем, Вз а Вй — = -г = — — ю л (9) = — ( !п 1 — /! а + Ь Вд Мп9 2 Рассмотрим задачу о форме свободной поверхности жидкости при погружении в ней' вертикальнога цилиндрического стержня малого ралиуса а.
Задача аналогична плоска)д зада~с разлел !3. Осесимметричная поверхность л(г) находится кз решения систем!В уравнений (2.13) с граничным условием на поверхности стержня прн г = а; В = Во =- х/2+а~ В первом уравнении сисгемы нужно учесть, что главные раднуты кривизны )(, н )сб имеют противоположные знаки. Найдем асимптотический закон уплошения вдали ат осв( симметрии.
Для этого введем с =- т — 9. При .' 0 система уравнений (2.13) упростится 92,2 РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТЕЙ... 73 Отсюда накодим 18 2 = еы ь" н подставим в выражение (2.15) Тогда получим уравнение осесимметрнчной пленки '! г — Ь г = асй —. а Форма пленки представляет собой поверхность, образованную арашением цепной линии окала оси г.
Такая поверхность называется катеиоидом. В каждой точке зта поверкность имеет одинаковые по величине, но разные по знаку главные радиусы кривизны 1грч + 1гйт = О. Если задать радиусы колец гп гг и координаты гпзт нх центров, то постоянные а и Ь можно найти из системы Рнс.
2АВ форма плен. УРавнений ~~ — Ь г — Ь ьи между двумя коль. П =осй —, ш=асб— цаь1и. а ' а Найденная поверхность обладает тем свойством, что ее площадь наименьшая из всех возиожных, натянутых на заданные кольца 2!. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия жидкости. Общая для любой механической системы теорема Лагранжа (Еайгапйе) применительно к равновесию двухфазнык систем формулируется так. Если е положении Равновесия функция потенциальной энергии Е имеет сгпрогий минимум, то положение равновесия устойчиво.
Теорема Лагранжа позволяет нахолить форму поверхности раздела фаз и исследовать ее устойчивость для различных систем. Теорема Лагранжа вытекает также из общей теоремы Ляпунова (Ляпунов А М., 1892) об устойчивости движение и закона изменения энергии (см, раздел 41 ) Дадим, пользуясь теоремой Лагранжа, лругое решение плоской задачи о равновесии жидкости под действием силы тяжести и поверхностного натяжения, рассмотренного е разпея 18.
Потенциальная энергия системы Е„э равна сумме потенциальной энергии силы тяжести и энергии поверхностного натяжения. Выражая потенциальную энергию жидкости з слое 0 < л < Е через уравнение поверхности у(х), получим Е„„, = ~Р(уу(х))йх. Р(у у (х)) = -руут -~-ау ~-(у (х))э. 2 о Условие экстремума функционала Ее имеет нид й дР др — — — — =0 йх ду' ду Это уравнение называется уравнением Эйлера дяя экстремали потенциальной энергии Е„„.
Это и будет уравнение равновесия, эквивалентное системе уравнений, приведенной в раздел 18. Если функция Р явна не зависит от переменной интегрирования, то уравнение Эйлера имеет интеграл ,дГ у' —, — Р = с. ду' ГЛАВА 2 ГИДРОСТАТИКА Подставляя сюда выражение для Г, получим ( (у'(х))2, „- ) 1 с' — — — — Ь'! (у'(ХД2 — -аууг = С \ ь 1в (у'(х))2,) 2 или т ) — ==,- — — руу = с ьг ч- (у'(х))2 2 Из условия у .- О при х — ас найдем с = — а, а из условна для угла смачивания при х = 0: и'(01= "с1йа = — 1г'т 1 — (у'(х02 = — Шпа яайдем высоту польема жидкости Ь.
Теорема Лагранжа позволяет также решить задачу об устойчивости равновесия. Для этого нала доказат~, что в данном положении равновесия функционал 0 достигает наименьшего значения. Это можно сделать с помощью достаточного условия минимума функционала (Л Р,у > 0.2 В нашем сту«ае Рг. = 1Г(1 т- (и]2)з 2, и это условие, очевидно, выполнено. Аналогично можно исследовать равновесие ю г днукфазных систем с осевой симметрией Примеры таких систем изображены на рис 2.П: тяжелая капля жидкости, лежащая нз горизонтальном дне сосуда, или висящая на горизонтальной крышке; газовый пузырек в тяжелой жидкости на дне или на крышке Потенциальная энергия систем с осевой симметрией также скдадывается из потенциальной энергии поверхностного натяжения о5 н потенциРис. 221 Примеры двухфазных сис алькой энергии силы тяжести Осесимметричную поверхность можно искать в гтилиндричсской системе коорпичат в виде зависимости г(г) или г(г).
Соответственно ее плошаль предо~валяется слслующими интегралами гг 5.= (2пгу)1 )е е(гг(г))гдг, 5 = ( 2пг(г)Д (гг(г))зг(г. Г)окажем как, пользуясь теоремой Лагранжа. можно исследовать задачу, рассмотренную в раздел 20., а равновесии свободной пленки межлу лвумя кольцами в плоскостях г~ и гг, Ищем форму пленки в виде функции г(г) Подынтегральноая функцин потенциальной энергии Г(г,г') = 2пгтг'1 1ч- (г')2 явно не зависит от г, поэтому уравнения Эйлерг имеют интеграл ,ду г г' — — Г= =а. дг' д ".
(г')2 Уравнение имеет обо!ее решение (2!6) Упражнения 1. Два мыльных пузыри одинакового радиуса соприкасаются друг с другом, а затем сливаются в один, так что вся масса воздуха пузырей перетекает после слияния в новый пузырь. Предположить, что да и после слияния пузырей темепература не изменияась зциирпое В И К рс пигмее птематппк Т РА часть перэзп, стр 2б2 М "Нерпа' !Эб2 г. 322. РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТЕЙ... а) Какое давление внутри пузырей будет больше до слияния нли после. б) Вырастет или уменьшится объем воздуха после слиянияз в) Написать уравнение, связывающее радиусы п)ыырей до слияния и после него 2 В иилиндрический сосуд радиуса 10см с вертикальной осью симл1етрии налита вола ло уровня 20слг. Сосул закрыт крышкой на уровне 30см.
Вес крышки РООП Сосуд с водой вращается относительно оси симметрии При какой наименытзей угловой скорости вода вытолкнет крышку. Решение. Пуст~ а — радиус цилиндра, Н вЂ” высота крышки, Д вЂ” высота уровня воды, т — масса крышки, га — минимальный радиус смоченной части крышки. т 2 Н = а(га) = с + — го.
2й д а а(г) = с Ч- — г, ' 2й Если бы крышки не было, та давление воды на уровне а = Н удерживало бы массу воды, расположенную выше етого уровня. Если зта масса воды будет равна массе крышки, то давление воды вытолкнет крышку. Постоянную с найдем из условия сохранения массы воды. Отсюда получим два уравнения уравнение сохранении массы и уюовие равенства масс крышки и воды выше уровня а = Н с 2яг(Н вЂ” а(г))г(г = ка (Н вЂ” й), ~ 2кг(а(г) — Н)аг =— Р— го — — а (Н вЂ” й], — (а — го) ч т ' 2 2 2 4й 42 кл Два последних уравнения можно привести к следующей эквивалентной системе а' ! Г т газ а т( гл(Н вЂ” И) ' ш = — а-и й(Н вЂ” йй 'о Отсюда найдем искомую угловую скорость 2 — — — 2 / тй а Нужно проверить условие с > 0 или 2а 2 ) тй(Н вЂ” й) с = Н вЂ” — го —— Н вЂ” — (Н вЂ” Д) = 26 — Н вЂ” — > О.
го — а)/ Ответ. ы 20 + 2тт)О/и = 23,6сек ', с = 10 — 2ьт)бгя > 0 (Для упрощения вычислений принято и = !О смйсек ). 3. Конический сосуд вращается с угловой скоростью щ = 1оборотгсек относи ельно своей вертикально расоложенной оси Угол между осью конуса и образующей равен а = 30'. Какой наибольший объем воды может удержаться в закале сосуде Глубина сосуда предполагается достаточно болыпой. ГАЕАВА 2 ГИ>ТРОСГАТНКА Решение На частицу жидкости, находящейся на образующей пилиядра а точке г,а действуют две силы: центробежная сила тг, направленная по горизонтали, и сила тяжести й.
направленная вертикально вниз. Суммарная сила будет направлена по нормали к образующей при йу(,»эг) = гйо. Отсюда находим тачку равновесия на образующей г „= с!Ко(27»з), а, = сгйда(йг|штг. Частицы жидкости при г > г „, суммарназ сила имеет касательную составляющую, направленную от вершины конуса и частицы не удерживаются е сосуде Таким образом наибольший объем жидкости ограничен поверхностью парабалонда а = г „,;- (гт — г~„)ш~»'(22! и поверхностью конуса. В точке гм„, а ,„ касательная к поверхности параболоида совпадает с образущей.
Для расчета обьема жидкости нужно вычесть из объема конуса ггт т 4И з о ъ~~™» — 3 й Б объем параболоида л кг г(а = )г тг — гцг = — г „= — стй а— ,/ ' й 42 '* 4 ьд о о Отсюда находим объем жидкости гг З й р,„= — с!д а —. 12 Подставляя численные значения, получим 9903 — — 9 в = 9 4004смз = Зблитров. 12 (2к)Б 4 В водл вертикально опускают тонкую трубку лиаметром 0.1 мм На какую высоту.
поднимется уровень воды в этой трубке, если краевой угол смачивания равен бО', коэффициент поверхностного натяжения равен 70дин/см. Решение тг(осоза = (ейзг4)ййю б 4осозоу(йс() б На поверхности пруда плавает куб с ребром !м, В воде погружена !ПОО часть его объема. Вычислить массу куба в кг.
Если вынуть куб из воды и взвесить его, то сколько кГ покажут весы Решение. Масса куба определяется нз равества силы тяжести куба тй и сумме выталкивающих сил водой 0,01р„х Рй и воздухом 0,99р„,»Рй, где )» = 1Озсмз — объем куба, р „„= (гусмз и р, = 1,2 к ГО зггсьгз Отсюда найдем ж = (0,01р,„м т 0,99р„, )Р = Н, 2кг. При взвешивании куба весы покажут склу жй — р, )гй В технической системе единиц весы покажут (р,щ — Р»»11»7100 ш!ОкГ. б Найти глазный момент сил давления жидкости, действующий на погруженное тело. р2.2. РАВНОВЕСИЕ ЖИ77КОСТЕЙ .. 77 Решение.
Главный момент сил вычисляется так. Мот = — / г х дрд5 = / п х ргдБ = / готВгтгдрй гх ох или. применяя известную формулу векторного анализа гоИрг1 =. рго1гч-егадрх г = — г хргадр, полччим Мат = — / Рх рйд1г. Введем радиус-вектор Г: центра тяжести вытесненного объема жидкости 1 Г г. = — г гдр. р/ Тогда формула для момента приведется к виду Мот = г", х А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
