А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 16
Текст из файла (страница 16)
в1 йч (7) = оюа (однородный поток), б) рр(7) = — !п 7 о (очоскир источник) гх В) рр(7) = и (плоский дииоль); 7 г) )Р(7) = о (7 т а /7) (обтекание кр гоного цилиндра). $3.2 Метод контрольных поверхностей Запиш~м интегральчые законы сохранения массы (!.5) и количества движения (1 !О) в идеальной несжимаемой жидкости при отсутствии силы тнжести дМ ~й~ — = О, — = — ( рпд5, д! ' д лг М=~рдр, Ц= /рвд)У. У У Пользуяс~ формулой (!.1) лифференцирования интеграла по индивидуальному объему, для установившегося течения получим следующие соотношения лля поверхностных интегралов ро„д5 = О, / роо„д5 = — ~ (р — р,)п 35.
ао ау (3.14) оу Произвольная поверхность ду называется контрольной и, при специальном выборе ее, можно получать точные выражения для гидродинамических реакций, действующих на тела. Интеграл по замкнутой поверхности от р,п, где р, — постоянное атмосферное давление на границе струи, равен тожлественно нулю и он добавлен из соображений удобства применения метода контрольной поверхности Рассмотрим пример. Найти силу, деиствуюцую со стороны натекаюи!ед струи ка плогкость.
течение предполагсем плоско- параллельным, струя на бесконечном удалении от плоскосош имеет скорость о и ширину )ц Плоскость расположена под углом о к вектору скорости струи б (рис. 33). Решение. Направим ось у по плоскости. Тогда вектор скорости в денартовой системе координат будет иметь компоненты с„ = о ыпа, у„ = о соьа. Выберем контрольную поверхность др = 5о -!- Е ч- 5! +57 -!-5з так, что Зз — поперечное сечение натекающей струи, Š— свободная граница, 5! и 57 — поперечные сечения растекающнх струй при большом положительном и отрицательном значениях координаты у. Запишем интеграл Бернулли на линиях Рис. З.З: Натекание струи на пластину. ГЛАВА 3 ИДЕАЛЬНАЯ НЕСЖИА(АЕМАЯ ЖИДКОСТ6 84 тока Е: р+розу2 = С.
Иа границе Е давление равно атмосферному р, Поэтому на свобод. ной границе Е скорость равна постоянному значению о = о . В первое уравнение (3.14) войдут иитеграды только по поверхностям 5о, 5~ и 5з По теореме сохранения вихря в сечениях 5~ и 5а вихрей не будет, так нак их нет в натекающей струе. Следовательно,' во всех сечениях течение однородное со скоростью о . Интегралы по этим сечениям до, 5, и 5з в первом уравнении (3 14) соответственно равны — лйо , ла о и рйзо . Таким образом, из первого уравнения (3.141 получим б=й,-~-йз Принимая во внимание, что а сечениях 5о, 5г и 5з давление равно атмосферному р = р и на твердой и свободной поверхностях о„ = О, второе векторное уравнение (3.14) примет внд рбо„35 Ф / рдо„й5 + / ЛооГ„35 = — / Ог — р,)йй5. Бг 5~ зг зг Проектируем уравнение (3.14) на ось у -рбоз соьа -г рй~оз — рйзоз =- О, откуда найдем й! = (1/2Ц14 соьа)й, бз = (1г2)(1 — соза1л.
Из проекции на ось х получим — рйо юпа = — ~(р — р,)г(5 = — Е, 3 зг откуда находим силу Е, как суммарное давление, действующее на плоскость со стороны струи: Е = рйэ ь|па. $3.3 Потенциальные течения 23.3А Уравнения. 23. Уравнение Лапласа для потенциала поля скорости. Как след>ет из теоремы Лагранжа, безвихревое в начальный момент течение остается безвихревым во все послеаующие моменты времени Такие течения имеют потенциал поля скорости б = йгабФ Из уравнения неразрывности (3.1) получим длв потенциала следующее уравнение дзФ дзФ дзФ г>Ф = — + — -1- — = О. дхз дрт даз = Приведенное уравнение для потенциала называетск уравнением Лапласа Функция, >довлетворяюшая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.
43.3. ПОТЕННИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 85 29. Потенциалы источника и дилоля. Простейшими гармоническими функциями являются потенциал источника с расходом (3 Ф = — —, Я =- йгхт -г уз+ гг 4яЯ* и потенциал диполя с осью, направленной по оси г д! Рг Ф=.л — — =- —.
дг Я Яз. Для плоскопарвллельного течения потенциалы источника и диполя с осью, направленной по оси х, имеют вид О д Ф= — !ПГ, Ф5 Р— !ПГ= —, г= т)лг тра. 2я ' дх Ят' 30. Задача Неймана для потенциала поля скорости. На границе тела, движущегося в жнлкостн, проекции на нормаль скорости жидкости дф/дп и скорости точек твердого тела о„должны совпадать. Таким образом, лля опрепвления потенциала поля скорости во внешности тела П нужно решить следующую задачу (рис.
3.4) 4зФ=О, гей, — ~ ож дФ дп( Рис. 3 4 Задача Неймана. Ф О, (г" сс. Поставленная задача называется внешней задачей Неймана (Мепшапп К.Сс). Для трехмерного течения она имеет единственное решение. дФ =а, Ф вЂ” О, дЯ Ищем решение уравнения Лапласа в виде потенциала источника (см, равд, 29 ! Такое решение, удовлетворяющее требуемому условию, имеет вид аза Ф= — —, Я ' дФ ага ал = — = —, дЯ ЯР ' (3.15) П ри мер 2. Пусть твердая сфера радиуса а движется в жидкости поступательно со скоростью го в направлении оси г, Найти потенциал поля скорости жидкост~. 31.
Потенциал поля скорости для сферических тел. Покажем, как находить потенциал полн скорости на двух примерах движения тел сферической формы. Решения этих примеров рассматриваются в сферической системе коорлинат Я.джд Пример !. Пусть сфера, полесценная в жидкост~, меняет свой радиус по закону а(Г), а центр ее неподвижен. Найти потенциал поля скоросгпи жидкости. Решение. Скорость жидкости оя при Я =. а должна быть равна скорости изменения радиуса сферы. Отсюда для потенциала получаем следующие условия на границе и на бесконечности ГЛАВА 3, ИДЕАЛЬНАЯ НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТ)я Решение Скорость жидкости сл при Я = а должна быть равна проекции скорости (О.О.го) на иорк~аль к сфере.
Отсюда для потенциала получаем услоэия дФ, — = госоьр, Ф . О, (гП оо. дд 1' я Ищем рещение уравнения Лапласа в виде потенциала липоля (см раза 29. Талое решение, удовлетворяющее требуемому условию, имеет аид а'гог ояэ дФ аэго соь Р 1 дФ аэго юп Р дд Яэ ' и дй 2Яэ Ш~) аьго соя 0 2Яг 23.3.2 Интегралы Бернулли и Коши-Лагранжа 32. Вывод интеграла. Уравнения Эйлера потенниального течения можно проинтегрировать Для этого подставим в уравнения а форме Громеки-Ламба (З.З) скорость б= йгабФ. Тогда получим следующее уравнение (дФ сг йгаб~ р — и- р — — и-гр~ О, и = -рйг. д! 2 где ось г напрзлена вертикально вверх Интеграл этого уравнения l дФ оэ — — яг) +р=й!) (, д! (3.17) называется интегралом Коши-Лагранжа (Сапой!).
С помощью этого интеграла можно вычислить давление з жидкости. Если течение установившееся, то интеград Коши-Лагранжа превращается в интеграл Бернулли уог !э ~ †.~.йг~ ! р = С. (3.13) з котором постоянная С имеет одно и то же значение (для вихревого течения интеграл Бернулли (34) имеет постоянное значение на линии тока, а на разных линиях тока погтоянные могут отличаться!. дФ ! Е(аэа) 1 .э э, аьаг -„— — — — — — = — -(2аа +а а), о дт Я с(! Я ' гэ ЗЗ. Давление жидкости, создаваемое пульсирующей сферой. Пульсирующей сферой наьыаается сфера. радиус которой а(Г) меняется по периодическому закону. Подобным образом ведут себя газовые пузырьки в жидкости в поле периодического давления (нынужденныем колебания) или при внезапном изменении внешнего или внутреннего давления (саободные колебания).
Покажем как вычислить давление, создаваемое пульсирующей сферой в идеальной несжимаемой жидкости ппи отсутствии массовых сил Вычисляем производную потенпиала (3.13) и квадрат скорости 23 3. ПОТЕНПИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 87 Подставдяя эти выражения в интеграл Коши-Лагранжа, получим »оп2 4 о2о о4д2 Я ' 2Я»,) (3 Рй) Отсюда, подставляя Я = о, можно найти давление на поверхности пальсирующей сферы р) = р 4- р((322)а -ь аа). Ощ» (3.20) Рассмотрим периодические пульсадии сферы. Для периодической ф) нянин 7(Г) с пери.
одом Т введем следующее обозначение для среднего значения гг < ( >= — ((г)»(г Т/, Р 2 р < а4аз > рж — <о >=р ю<р>=р 2 234 Из формулы видно, что давление < р > монотонно растет при удалении от пульсирующего пузыря до предельного значения рю (рис 3.5). Это объясняет используемый при очистке жидкостей эффект притяжения пульсирующими пузырями различных частил в жидкости.
$3.3.3 Применение интеграла Бернулли 34. Истечение жидкости из сосуда. Формула Торричелли. Рассмотрим задачу об истечении тяжелой жипкости из отверстия в сосуде. В открЫтый сосуд налита жидкость На глубине й от поверхности сосуда расположено отверстие. Требуется найти скорость истечения жидкости из этого сосуда. Пусть г координэта, направленная вертикально вверх, отсчитывается от уровня отверстии На выходе из отверстия имеем Рис. 3.5.
Среднее давление в жид- давление, равное атмосферному р = р,, некоторую скокости около пульсирующей сферы рость и и координату 4 =- О (рис. 3.0). На поверхности жидкости давление также равно атмосферному р = р», скорость равна нулю о = О, а координата а = И. Из интеграла Бернулли получаем равенство Р 4 ро !2 = Р» и Рйй Отсюда находим скорость струи э =;!2йй. Эта формула называется формулой Торричелли (Тогпсе)п). Очевидно, что <»(Т/4(( >= О, поэтому < дфгдз >= О. Отсюда нз интеграла Коши-Лагранжа для среднего за период давления < р > получим ГЛАВА 3 ИДЕАЛЬНАЯ НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИЛКОСТ Рис 3.6. Формула Торричелли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
