А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Коэффициент М' называется грисоединеннаб массой тела. Для сферы М' 2~М, где М вЂ” масса жидкости, вытесненная сферод, Таким образом, для силы присоединенной массы получим Е = -1ЕЕ„„эыг)lго = -М'го Полученная формула дает приближенную оценку силы Е„, качественно описывающую эффект торможения тела в жидкости. В случае движущегося в жнлкости сферического пузыря при большом числе Рейиольдса Ве »! ашибиа формулы составят малую вели ~иву порядка 1/Ке.
Применяя второй закон Ньютона к телу с массой Мо, получим уравнение его движения Мого = -МоЕ+ Мд+ Е,.„, — М'го. 44.3 ВСПЛЫТИЕ И ОСАсКДЕНИЕ ЧАСТИЦ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ 101 ()оследнее слагаемое удобно перенести в левую часть (Мо ч- М') го = — Мой т Му ч- Р Отсюда становится понятен физический смысл присоединенной массы тела МС Тело, деижуи)еесл е жидкости, кок бы приобретает добавочную массу М( Если ие учитывать присоединенную массу М', то можно придти к парадоксальному результату.
Легкие телг будут всплывать в жидкости с очень большим ускорением, равным (М/Мо)у, где М масса вытесненной жидкости и А)о масса тела. В действительности правильная формула показывает. что для очень легких по сравнению с жидкостью тел (например, воздушных пузырьков в воле) ускорение составляет всего 2у. 4Т, Закон всплытия сферического пузырька прн большом числе Рейиольдса. Для сферических пузырьков, всплывающих в вязкой жидкости при больших числах Рейнальдса, все перечисленные силы можно определить достаточно точно.
А именна. выражения О = 12киоз и Е „= -'Мго имеют относительные погрешности О(1/ь~йе) и О(!/Ве) соответственно. Отсюда можно найти закон, по которому пузырек всплывает в жидкости из состояния покоя. Применяем к газовому пузырьку закон изменения количества движения в проекции на вертикальную ась 1 Мого = -Моу + Р = -Май ч- му — 12я.мого — — мйо. 2 В правой части уравнения учтены следующие силы. сила тяжести, сила Архимеда, сила сопротивления Левича и сила присоединенной массы.
Учитывая, что масса пузырька Мо пренебрежимо мала по сравнению с массой вытесненной жидкости М, получим для скорости пузырька го уравнение ! 2 -Мго = Му — 12я-рого. Решение етого лииейнога уравнения имеет вид Мй [ ( 24киат)] Если выразить массу вытесненной жидкости через радиус сферы о, то получим до=и (1 — е оь), и =, (о= —. озрб Р ' ВР ' 1ВР Ускорение пузырька меняется па закону га = 2уе Фе.
Здесь и — устанавнвпшяся скорость асштытия, (а — характерное время установления скорости. Формула Леаича н все вытекающие из нее формулы применимы при следующих условиях. 1) Течение близко к потенциадьном> Ве = рои /Р тв 1. ГЛАВА 4 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ !02 2) Силы поверхностного натяжения достаточно велики, чтобы обеспечить форму пузырьков, близкую к сферической. Это выполняется при условии малости числа Вебера )Уе = раиг / г « 1.
Если полставить в эти условия формулу д.тя скорости всплытия и , то они запишутся так. Уре — „а «1, Ве= — а ю1. р"уз з рзу з Н туг * 9иг Для пузырьков в воде получим: аа « 6 х 1О гсмз и аз Ъ 9 2 и 1О тсыг. $4.4 Установившиеся течения одного направления. Будем исходить из системы уравнений Навье-Стокса в теизорном 48. Вывод уравнений. виде г'да'т а ( — ) = ру — йгабр и 2иРИ е, (, б!у атб О Выбиргеч направление оси х па вектору скорости. Тогда поля скорости и давления в этой системе координат будут иметь следующий общий вид о =о(х,у,г), ау=а =О, р=р(х,у,г) е =,'д Уду О О углггдг О О Компоненты дивергениии тензора деформаций: (Р1т е) = — ( —, ч- — ), (Р1ч е) = О, ~Р1ч е) = О. у Подставляя эти выражения в уравнение (1,17), получим др г'д"о дга'1 др О = - —, + и ( — е — ) и- РВ„О = — — и- Руу, дх (чдУт дгг)) ' дУ о=- — эру..
др дг Эти уравнения можно еше упростить. Если продифференцировать первое уравнение по ху второе па у и третье па г. та получим д др О = — — —. дг дх' д др О= — — —, дх дх' д др О= — — —, дуда' Из уравнения неразрывности следует, что доггдх = О. Частииы жидкости движутся по прямым, параллельнмм оси х, са скоростью о(х,у) и ускорением, равным нулю. Компоненты тензора деформаций определяются матрицей з4,4, УСТДНОВ)(ВШР)ВСВ ТВЧВНИВ ОДНОТО НДПРДВЛВНИВ Рдз Отсюда следует, что др/дх .= сапа!.
Вводим обозначение ! = — др/дк ору„. Тогда для функции о(!,к.у) получим уравнение (4.)2) др др др дх — РУ" ' д = Рйг дг = Руы Величина ! в уравнении (4.!2) определяется двумя причинами: перепадом давления и проекцией силы тяжести на направление движения др 4 Рйз. дк Скорость течения жидкости между двумя параллельными бесконечными пластинами зависит толька ат поперечной координаты, и дифференциальное уравнение станет обыниовенным (рис. 4.2) б) в) /уто ! г/о'Г и ( — т - — /! = -г.
(дгг гдг/ (4.!4) 49. Безградиентное сдвиговое течение Кузтта. (Так называетсн течение между двумя параллельными пластинами. авиа нз которых (у = О) неподвижна. другая (у й) движется с постоянной скоростью оо (Сапе!(е йоч ). Кроме того, величина ! принимается равной нулю (рис, 4.2 б). Тогда из уравнения (4.(3) получим ота и†= О, о(О) = О, о(й) = ~. Нут оо до Решение: о = — у, р„= и — соней д ' "т уу 50. Течение Пуазейля между двумя неподвижными параллельными пластинами. На горизонтально расположеннык плоскостях течение создается градиентам давления равным отношению разности давлений в двух точках к расстоянию ! между точками Давление определится из системы уравнений Рис.
4.2: Однонаправленные течения вязкой жидкости. новенное дифференциальное уравнение г(то и — = -!. (4.(3) йут Для течения в круглой трубе можно ввести полярные координаты у = гсозо( г = гзгпб. Тогла уравнение (4.)2) также преобразуется в обык- ГЛАВА 4, ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ. 104 Жидкость течет от большего лавления к меньшему (рис 4.2 а) (Роыешйе 1(он]. Течение может также создаваться без перепада давлений, если наклонить пластины пад углом а к горизонту (рнс.
4 2 в) 1= руз|па. Скорость определится нз решения следующей звдзчи дт р — = О, о(0) а(Д) = О. дуз Решение 51. Стенание слон вязкой жидкости с наклонной плоскости. На свободной поверх. ности давление постоянно. Величина | определяется только проекцией силы тяжести нз плоскость, расположенную под углом ст к горизонту, 1 = ряз|па. Уравнения и граничные условна таковы: 42о до! р — =-О, о(0) = О, р,„(й) = р — ! = О. дут ' ' '" ду !з=з Решение 52. Течение Пуазейля в круглой трубе. Уравнения н граничные условия таковы: Удто 1до) р~ —. +- — ~ =-г, о(о) =О, о(0) раа.
(,дгз г дг,~ Профиль скорости: Касатеяытае напряжение: Касательное наприжение нв пластинах: Расход: Средняя скорость: Наибольшая скорость: Профиль скорости: Касательное напряжение: Касательное напряжение ив плоскости: Расход: Средняя скорость: Наибольшая скорость; а = 2'-„-у(д — у), р„„(у) = рф~ = 2(й — 2у), р„„(О) = -ршРО =,—, О = 3о а(у)ду = Вя-"з 0=+6, |2я о„ 2 3- о = ~-у(2й — у), рж(у) = ." ф = (д — у).
Р-(О) = '-", 9=)',"~(~)д~= Сйз, о я б= '„-И, 2 Зч о,=вй =2б. 54.5 ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ КРУГОВЫМИ ЦИЛИНДРАМИ. (05 Решение о=г(а — г), 2 2 и Рх (г) = НИ = Т -р„,(а) = у, О = )о п(г)2кгпг = гзе-, о.,и = о(0) = 4 = 25. Профиль скорости: Касательное напряжение . Напряжение на трубе Расход: Средняя Скорость: Наибольшая скорость: $4.5 Течение между двумя круговыми цилиндрами. 53. Постановка задачи. Вязкая жндкость заключена между двумя бесконечно длинными каакснальнымн цилиндрами, вращающнмнся вокруг осн с постояннымн угловыми скоростями й, н йь (рнс. 4.3). Градиент давления вдоль осн отсутствует. Радиусы цнлнндров равны а н Ь, Ь > а.
Найти распределенне скоростей н моменты снл, действующнх со стороны жндкастн на цнлнндры (вращательное течение Куэтта) Силу тяжести а для простоты учитывать не будем. Будем предполагать, что теченне плоско-параллельное, а лнннн тока — окружностн. лежащне в плоскости, пери гяй пенднкулярной асн цилиндров. Центры окружностей .тежат на осн днлнндров.
Введем полярные координаты гшд Тогда обшнй внд полей скаростн н давления будет такай: Рн . 4.3: Течение между двумя сь = 0 ое = о(г) д(г) Средн компонент тензора скороснс. щаю нмнся цнлннд амн тей деформацнй только одна будет отлична от нуля ! (по о! е,а[г) = — ( — —— 2 (,о'г г! Находим компоненты лнвергенцнн тензара деформацнй: (й)ч е) = О, (Пш е) формула для расхода заключает в себе законы, которые экспериментально нашел Пуазейль (Ронешйе (840) прн своим исследованиях течения воды по капнллярным трубкам.
Им было установлено, что время истечения данной массы жнлкостн прямо пропорцнонально длине трубки н обратно пропорционально четвертой степени диаметра. Этот результат также служнт экспернментальным доказательством постулата а выполнении граннчного условия прнлнпання на стенке трубы. Если прннять условие скольження в виде о = — Дбог'йг(, „ то для расхола получим О = — ()+4 — ) . Поправка должна увелнчнваться с уменьшеннем раднуса капилляра Однако, в эксперименте с очень тонкими капиллярами это не наблюдается. ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 106 Подставляя эти выражения е уравнение Навье-Стокса р(ду/дг) = -тр+2р '(й(те), получим следующую систему дифференциальных уравнений зг др бт 2т /да о'1 -р — = —, — ж — = О, г = 2ра„= р ( — — -) дг' Лг ' ' " (,Лг г/ и условияьгн прилипания на границах цилиндров а(а) = ай, о(Ь) = Ьйь. дМот — =О Лг Уй Моги дг 2;га Уравнения легко интегрируются Мое Мат = сапа(, й = Š—— 4яргз На границах цилиндров должны выполняться условия й(а) =- й„й(Ь) = йь.
Отсюда иайлем момент силы, действующий на цилиндры йа йа Ь(ож = 4хр г г а-г — Ь г н угловую скорость й Ьг( т ог) й т( г Ьг) ггйут — аг) $4.6 Приближение тонкого слоя. ЬЬ. Урлвиення Рейиольдса. Если течение происходит в тонком слое, толщина которого( существенно меньше характерного поперечнога размера 1, то уравнения движения жидкосз) можно упростить (Веупанз О., 1666).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
