А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Раздел 21.! Теорема Лагранжа вытекает из общей теоремы Ляпунова об устойчивости движения: Если дифференциальнеге уравнения возмущенного движения таковы, что в некоторой окрестности положения равновесия х существует функция У(х) > 0 при х Е О и ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИЛКОСТИ 96 Р(0) = 0 и, кроме того, е силу уравнений движения, удовлетворяет неравенству й)Ойг ц О, то такое позожение равновесия устойчива Функция Р, которая удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова, называетсв функцией Ляпунова. Пользуясь этим термином.
теорему Ляпунова можно сформулировать короче: Если в окрестности лолаженил равновесия системы суи(естеует функция Валикова, то положение равновесия устойчиво. Рассмотрим функцию полной энергии Е = Е„„, ь Е„, н вычтем нз нее значение потенциальной энергии в положении равновесна. Тогда полученная функция )' =- Е„„„ + Е„, — Етт(0) булет функцией Ляпунова, если потенциальная энергия Е„,„ будет иметь строгий минимум в положеннн равновесна.
Из теоремы Ляпунова получнлн теорему Лагранжа. 42. Сила сопротивления н скорость днсснпвцим энергия. Рассмотрим твердыйе щар, движущийся в жидкости по осн з, направленной вертикально вверх, со скоростью го, где зо — координата центра сферы. Закон нзменения энергии а этом случае будет иметь внд -(,-МогО) =го~', где йой'Š— иощность внешних снл А,Е,, действующнх на твердое тело, Мо — масса тела. Оставив в левой части уравнения (4.10) изменение кинетической энергия твердого тела н перенеся остальные слагаемые в правую часть, получнм мощность внешних снл Из нее найдем все силы, действующие на тверлое тело '(Е т Е, = — — """!ао — Мой -' МЫ вЂ” О(зо. гЛ где Ещ„— кинетическая энергня кндкостя, — Мой — вес тела, А(у — выталкнвающая сила г Архимеда н сила вязкого сопротнвления, направленная против скорости движения теза.
Поскольку скорость днсснпацнн энергии всегда положительна, то сила вязкого сопро. тнвлення тела направлена против скорости его двнження. Прн движении тела в жнлкостн с постоянной скоростью создается стацнонарное течение. Поэтому кинетическая энергия со временем не меняется н сумма снл веса и Архимеда ураановещнваются силой вязкого сопротнвленнв — Мой+Муз-Егь„р — — О. Отсюда видно, что тела тяжелее жндкостн .Мо > М имеют отрицательную скорость, то есть тонут, если же Мо > М. то тела всплывают.
43. Формула Бобылева-Форсайта для скоростм днссипацнн энергии. Лля расчета силы сопротивления удобно выразкть ее через скорость дисснпацин энергии, определнть которую иногда бывает проще Прн этом полезной оказывается формула Бобылева-Форсайта (Бобу)еВ, (В73), (ЕогзуОЬ (ВВО! О = 4ру! й)' — ИМ ! — лйЕ йд А lак йг 54!. ОВШИЕ СВОЙСТВА 97 Здесь П вЂ” область течения жидкости, др — граница тела, и — нормаль, внешняя к телу !'. Для вывола этой формулы введем тензор ыю являющийся антисимметричной частью тензора дисторсии до,/дхг Его компоненты выражаются через компоненты вектора вихря 0 = !~гагу з О Учитывая формулы дгь/дх, = еч+ющ Тягг/дхг = еу — юю полччим (да,/дхг)(гигг/дх!) = ечеч — гюгюг! — — ечеи — 2ггз.
Пользуяс~ тождествениымв преобразованиями Фч — =- — Фчй+ — ( — и,) = — Ыйо ( — бгчй) аг-!- — ' — ' о2 дт дх, (,дх! г) д! (,Вхг / ' дх дх, и уравнением Фчй= О, предыдущее раванство можно записать так: йй Фч — =е,е, — 2ы. !! и'г Умножая это равенство на 2р, интегрируя его по области П и применяя теорему Гаусса- Остроградского, получим формулу Бобылева-форсайта.
44. Приложение формулы Бобылева-Форсайта для расчета днсснпнруемой энергии. Укажем наиболее важные случаи применения формулы Бобылева-форсайта, Случай !. Поступательное движение твердого тела в вязкой жидкости с постоянной скоРостью го. УчитываЯ, что на гРанице тела Тй = йо О, полУчнм гг 0 = 4р / ьгзйу. Этот случай будет более подробно рассмотрен а следующих пунктах.
Случай 2. Безвихревое течение " = О. Согласна форчуле ГромекгпЛамба ускорение частиц жидкости таково: д- г — = — + йгаб —, й! д! 2' и формула Бобылева-Форсайта упростится / йй / Тнгт 0 = -2р/! и — ВВ = -р/! — ВВ. ~зч "! ач дп рассмотрим примеры применения этой формулы. Пример !. Диссилация энергии пульсирующего пузыря. Время затухания колебаний з вязкой жидкосюи. Вихрь радиального паля скорости равен нулю Подставляя;ч = О и Ейй/гП = а в формулу Бобылева-Форсайта, найдем 0 = -2р4каза. ГААВА 4 дв!)жение вязкой жилкостй 98 Длв гаРмонических колебаний (см. Раздел 37) а = ао(1+ Лсозйт), а = — аоАаойсоэй(, средняя потеря энергии за периОд равна < 0 >= бхрАГ)~ < аоз(! ч- А сов й!) сов йг >= баиао э(эйт.
где й — частота Мнннаэрта (3.23). Из уравнения изменения полной энергии (4.10) йв(йг — 0 н выражения (3.24) найдем уравнение для амплитуды колеоаний — (2храоА й ) = — < 0 >= — бгграоАзйз м А = — — Л. й з т г з „. 2Р Уравнение имеет решение А=Аое ', к= — ' тон!э ! 4:и 4к г р атй ао у З,р, (4. и) дф аь о = ( — ) -'; ( — ) = ( — 5!и у+соя У) — зао = (-з(п у+ 8 сов У) ато = ( — + — соз У) аао ю (,2 ) о (,2 2 ), аз Ф = — — эзопову, 2вэ д,л дст дп дв Отсюла получим формулу Левина для силы сопротивления пузырька в жидкости при йе » 1 Рсч с — Гйггдото. $4.2 Ползущие течения 48. Уравнения Стокса.
Запишем уравнения движения вязкой жидкости в безразмерных переменных х, = аЛ;, ог = о И. ( 1,2,3. Г!ри Ве « 1 аяакие силы трения и градиент лэяления сравннчы по порялку величины Поэтому безразмерное модифипированиое давление можно ввести так; р' = ротр'. Тогда получим след)юшне уравнения в безразмерной форме Вечйууйт) = — дгабр'40!З жчу =- О, Ве =ао р/р. Здесь Л вЂ” декремент затухания колебаний пузырька. Зэ одни период амплитуда уменьшится в е тм 1 — Л раз.
Дпя воздушного пузырька радиуса 0,1мм в воде декремент затухания за счет вязкости жидкости равен б х !О з. Отсюда слелует, что за олин период колебаний амплитуда уменыпнтся всего на О,би от сноей величины. Ниже будет показано затухание колебаний возпушных пузырьков в воде связано, главным образом, с тепловычи потерями механической энергии (см разлел 72.). Пример 2 Сила сопротивлении, действующая на сферический пузырь радиуса а в вязкой жидкости при Ве » 1.
В этом случае вихри в скорость диссипапии энергии жидкости дают малый вклад, которым важно пренебречь. Квадрат скорости находится иэ решения задачи о движении шара в потенпиальном потоке жидкости 64.2. ПОЛЗУЩИЕ ТЕЧЕНИЯ 99 Если в уравнениях перейти к пределу йе О и затем вернуться к размерным переменным, то из (4 3) получии линейную систему уравнений йгабр' = РАй, 61тй = О, которая назмвается системой уравнений Стокса. Решение этих уравнений можно выразить через дае гармонические функции Н(х,у,з) и 6(х,у,а) следуюшим образом дб В = ВгабН 4 2 дгабб — Дб, р' = 2р — -1- ро, дх где х — декартова координата, д — единичный вектор аси а, ро =- согз|, го1о = 2|г х йгабб (рис.
4.1). Рассмотрим задачу обтекания сферы радиуса а со скоростью на бесконечности До . Выбираем гармонические функции Н и б в виде д 1 сову В Н А — -= — Л вЂ”, С= — — о„. даЯ Ят ' Я Тогда получим следуюшие компоненты скорости и вихря в сферической системе координат ВН / дб г (2А 2В оа = 1' ~Я вЂ” — 6) соя В = —, — — т о сову, дЯ 1 ВЯ ) ~Яз Я дН дб, (А В Рнс.
4.1. Компоненты скорости при аз= — 4- — созйч-бзгпй= ~ — 4- — — о ЫпВ, Яду ду ~яз я обтекании сферы вязкой жидкостью. Давление и компоненты тензора напряжений булут такие: В ;т' = — 2р — соз В, Я2 дол /ЗВ 6А) ряя = -рх2р — = 2р ~ — — — ) соей, ВЯ " ! Я2 Я4) / дое оа 1 дая '1 6Л Рла = р ( — — — + — — ) = — р — з! и В.
(дЯ Я Яду ) Я4 Обтекание твердой сферы Граничные условна прилипания оя = О, ор = О при Я = а приводят к системе уравнений 2Л 2 — — —..|.о =О, а а з А  — + — — о =О. а а з Отсюда найдем постоянные А = аао /4 и В = Зао /4. Вычислим диссипацию энергии, равную мощности силы сопротивления Ро 0 = и / (го1и) аУ = — ри а ) з|п ВВВ) — = бграо' . ях о ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 100 Формула для силы Е = бярао„называется формулой Стокса. Обтекание пузыря Из гРаничных Условий ия =- О, Ряа 0 пРи Я = а найдем А = О.
В = уао Распределение нормальных и касательных напряжений на поверхности пузыря рдя Зр)п )а) сох 9, рла = О, ои = 2япзмп Вг)В Сила согротнвления вычмсляется тэк: Е= / ряясозбг)З барди,„ /созтРз!пдг)Р=4яроо я.= э о $4.3 Всплытие и осажлеиие частиц сферической формы 46. Силы, действующие на частицу. Движение сферических тел в жидкости по вертикали с переменной скоростью можио полностью описать, исходя из уравнения энергиИ в раздел 41. Введем ась г, направленную вертикально вверх, и сферическую частицу, движущуюся по оси г с переменной скоростью до.
Рассмотрим силы, которые действуют на частицу. !) Сила веса -МоВ направлена вниз. 2) Выталкивающая сила Архимеда МЕ направлена вверх. 3) Сила сопротивления Еючр — — -О/го направлена против скорости движения тела. Для сфери ческих твердык частиц имеем следующие формулы —.бтраго, Яе ш 1, е„„р — — -ургаопаэс„)йе), общий случай, -2!ргозяах0,4, Яе > 500. Для сферических пузырьков формулы таковы — 4яраго Яе Ш 1, — 12граго, Яе » 1, Кге ш 1. 4) Сила присоединенной массы, равная -1г)Е,„„)г)г))го. Приближенна изменение кинетической энергии жидкости можно вычислить, предполагая жидкость идеальной, а поток потенциальныьг. Тогда для поступательного движения твердого тела са скоростью и кинетическая энергия будет пропорциональна квадрату скорости Е„„„ = М'и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
