А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Из уравнения неразрывности следует, что да/дг = О. Частипы жидкости движутся по грямым, параллельным оси г, со скоростью о(т.х,у) и ускорением, равным ( — )-( — )-О, ( — ) — —. Компоненты тензора деформапий опредетяются матрипей О е„ е„ О О у1да/дх е = е„„ О ее, = О О,'В(ду е„вгм О у1(ЕИх удагду О Компоненты днвергенпии тенаора деформацкй: (РЬ е) = (РН е) = О. (РЮ е) = — ( — т — ), Подставляя эти выражения в уравнение (1.17), получим др др й~ др /г)за дгпй О=- — +пут О=- — +Рйг Р— =- — ем — - — ) +РЯ*. дх ' ду дт дг (,дх' дуг) Этн уравнения можно епге упростить Если продифференцнровать уравнения по г, то получим д др О=- — —, дхдг' д др О= — —— ду дг д др О= — —— дг дг рис 1,б Течения с симметрией: а) плоскопараллельное, б) однонаправленное.
в) осесимнетричное. РЛйдй ! УРЯВНВНИЯ И Д(ОЛВЛ 54 Отсюда следует, что дргдг может зависеть только от времени. Вволим обозначение 4(!)» -дуга» ' рй. Тогда для функции о(Г,л,у) получим уравнение до У дап дтс Т Р вЂ” — и ( — ч- — ! = 4(Г) дг (, дг2 дуг ) Давление определится из системы уравнений др дк = РК ар др = Руг = Рй 4(г) ду г дг 4. Рассмотрет течение с осевой симметрией. в котором скорости сенат а плоскости проходяшей череа ось симметрии, и не зависят от угла поворота такой плоскости.
Написат! систему уравнений для этого случая (рис. !.б а). Ответ. Уравнения лля п,(г,г.г), о,(г.г, г) и р(г,г,йг) ! 4гйь й444 2 (, аг а. ) 4где„ де„ е„ вЂ” ег 42п( —"-ь — ™+ —" (с дг д» др г'де„де„е„1 — + 2д ( — "- -ь — *' ч- — "-), дг (, дг дг г ) ' а, о, йь аг' ае г дг (, дс ' дг ' дг ) ' дг /до, до, йч') ( дг ' дг ' дг ) " др О=РУ,— —, гасу ' дп, о, йг, йчд = е„+ ее„; е„= — ' + — ' 4 — ' = 0 дг г дг аРля 2' дЯ =О, ю Я Я-~-!2оЯ =-О. 5. Написать уравнения сферически симметричного течения вязкой жидкости при птсут степи массовых гил.
Получить обшее решение для скорости пл, давления Р и напряжения Рлд Указание. Показать, что из уравнения йч У = 0 следует ( Р!т е1 = О. гя Ответ. (йд йя Т др дпя 2оя Р( тоя )=, 4 =О. (тд! аЯ) дЯ' дЯ Я с((! г'с(г) с (()1 с(г) оя= —, Р=роОО+у( — —, ) Ртг.= — р — 4Р—. Яг ' ( Я 2Я4 ) ' Я б. Пространство между концентрическими сферамн радиусом Я и Я+о заполнено вязко(4 жидкостью. Вне жидкого слоя давление равна нулю. Предполагая слой тонким а (< Я. ПОЛУЧнтЬ ЗаКОН ДВИЖЕНИЯ ЛЛЯ Я(Г), ЕСЛИ В НаЧаЛЫ4Ый МОМЕНТ Я(0) = ЯО И Я(0) = до. Указание. Воспользоваться обжим решением для скорости ол(Г.Я) и напряжениеМ р„(г,Я) (упр. 5).
Решение. Из граничного условия оя(Г,Я) = Я находим с(!) = Ягд. Функцию рп(г) находим из условия на внутренней границе слоя рял(г,Я) = 0 Из условия на внешней гранаде тонкого слоя получаем уравнение 414, ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ и РАЗМЕРНОСТИ 55 уравнение имеет точчое решение й = А ч. 12я!й А = йа — 12ьрйо, Ай, Ай Азт . Айо' Айа йз .1 . — ! — — = — — 4.1п ! — ! — — о, А Ф О, !2ь ! !2я 12я !2я ! 12я ' й- ~йт о4я!, А=О. о Нз решения следует, что при г ж в зависимости от начальных условий ралнус слоя неограниченно растет Я=Аз, А>0, й=ч24яг, А=О, илн стремится к яонечному значению 12я !2я / Аз! з й = = т — з~йпйаехр ~ — — ~, А < 0 А А 12п,~ ' $1.4 Теория подобия и размерности 5, Системы единиц измерения.
Обычно в механике пользуются двумя типами систем елинип измерения К первому типу, который будем называть 1МТ, относятся системы, в которых за основные единицы измерения выбираютсж Š— единица длины, М вЂ” единица массы и Т вЂ” единица времени Эта система чаще используется в теоретических исследованиях. Ко второму типу, который булем называть ЕРТ, относятся системы, в которых за основные единицы измерения выбираютсж Е - единица длины, Р— единица силы и Т единица вреьзени. Эта система чаше используется в экспериментальных исследованиях, инженерных расчетах и технике В настояшем курсе будем пользоваться следуюшими сястемамн 1 Система СО5 из класса ЕМТ. в которой приннмаютсн основные единипьг сантиметр"ом", грамм — *'г" и секунла — "сек".
2 Международная система СИ из класса ЕМТ, в которой принимаются основные единицы метр — "м", килограмм — "кг' и секунда — сек" 3 Технические системы единиц из класса ЕРТ. В них вместо единицы массы М принимается единица силы Р. грамм силы — 'Т" и килограмм сияы — "кГ*' 6, Значения некоторых наиболее важных физических карактеристик. Опишем основные физические характеристики, которые будут рассматриваться в данном курсе. Силл Р.
В классе ЕМТ за единицу измерения силы принимаются (Р! = Н = кг м/сека Ньютон и !Р1 = дии = г смУсек — дина. В технических системах ЕРТ единицами ззмерения силы могут быть !Р! = à — грамм силы и Я = кà — килограмм силы Все единицы силы пересчитываются друг через друга по следующим формулам !Н = 10ьлин, 1кГ = 10зГ = 9,8Н. Рабожа А, энергия Е. Единицами измерения работы н энергии в классе СМТ могут быть !А! = Дж = Н м - Джоуль и !А! = эрг = дин см — эрг Елииицами измерения рабаты 56 ГЛАВА ! УРАВНЕНИЯ И 3(ОДЕЛР4 и эчергин в технических системах / ЕТ могут быть кГ м — килограммометр. Г м граммометр и та.
В качестве единицы энергии используется также кзлория — количеств тепла. требующееся для то~а, чтобы нагреть 1г волы на 1 гралус Цельсия с 19,5' д 20,5'. Из закона термодинамики о сохранении энергии эта единица пересчнть вается через Джо)сть Формулы пересчета следуюшие 1Цж =10 эрг, )к!' М = 9,5Пж, )калория.--4,13Д»;, 1П» = 0,239кэлорий Мал!ноешь Х За единицу измерения в классе /МТ принимэется (М) = Вт — Ватт 1 Вт = 1Дж .
сек = 10г эрг сек Даа,гение р, напряжение т — сила, лействуюшая на единицу плошади поверхности, д системе СИ измеряется в Паскалях — )р) = Па, !Па — —. 1Н/мз, а также в техничесиих ат! мосферах )ат = 1кГ/см, в физических атмосферах 1атм = 1 ОЗЗкГ/см = 1 013 ГО Пв~ 10. 13 Н/сыт. Пзожность р — маса а единице обьема. В системе ЕМТ иамеряется в М/ьз. в частностт~ в С65 излгеряется в г/смз.
Плотность воды р = 1г/смт, плотность возлуха 1,2 х 10 зг/сма, Динамическая вязкосшь М вЂ” коэффициент, характериаующий трение между слоими жид) кости или газа. В системе СП5 измеряется в (л) = г/(см сек). Вязкость воды м ~ 0,01 г/(см сек). вязкость воздуха ц = 1,3 х 10 "г/(см.сек) Кмнемажлческая вязкость и = д/р — коэффициент равный отношению динамической вяэ) ности р к плотности жидкости илн газа р. В системе Сйб измеряется в )и) = см /сек; Размерность кинематической вязкости не содержит единицы массы, отсюла и проистекая( название кинематической вязкости.
Кинематическая вязкость вады и = 0.0)смт/сек, 4 воздуха и = 0,15 смэ/сек. Полерхиасмное натяжение о равно силе, прилаженной к единице длины прямолинейногд края поверхностного слоя жидкости В системах ЕМТ поверхностное натяжение измеря ется в М/Тт Вода при нормальном давлении и температуре 20' С имеет поверхностной натяжение равное и = 70 див/см = 70г/сект 7. П - теорема. Целью физического исследования является отыскание связи межд) численным значением искомой характеристики о н численнымн значениями других ха( рактеристнк пн аю .,л„.
от которых она зависит Мы будем называть а определяемый параметром задачи. ан,а„— определяюшими параметрами. Связь между ними можне записать в виде функциональной зависимости (1.18) а = /(ан от,..., а„). Примем для опрелеленности систем» ЬМТ, в которой измеряются определяемый н вш определяюшие параметры задачи. Размерность кажлой величины представляется в виде (л) =!.
МлТ», (а) = !. 'МлТ», э =1.2,,л. Комбинация Е"МаТт называется размерностью физической величины о. Таким образом, раэ мерность каждой физической величины характеризуется тройкой чисел г(а,д. 7). Назоаеэ эту тройку чисел вектором размерности величины а. М 4 ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ 5 Наблюдается следующее соответствие междл линейныы трехмерныл; пространством вектоРов (г,) = (с,.д,.но) и РазмеРноствми величин (ал .= Е" Лае Тч) (а,! (а~) (аз) )ар (а~)и . (а„!л ! з Мо То — (о)о г, и-гл сг с,г1 .
- слгл 0 В последней строке установлено соответствие межлу нулевым векторам г = 0 и величиной а у которой все размерности имеют нулевую степень Тзкгя величина а называется безразмерной, в противном случае оиа называется разл1ерной Безразмерная величина не меняет своего численного значения при перелоде к лругой системе единиц измерения Если перейти в лругую систему еаиниц класса !МТ, с другими единицами измерения Е .-= п,И, М = пзМ' и Т = оз Т', то размерная величина о изменит свое численное значение след>юшим обрааом а = (а'). А, А = л~'л~п~~.
диалогично изменят свои численные значения и все определяющие параметры а, = а,'. Аи а = а' .Аз, ...а„= о'„А„. Физическое соотношение (!.18) не лолжно зависеть от выбора системы единиц измерения. Отсюда следует, что функциональная зависимость должна быть подчинена следующему тожлеству )(ан а .. ., ае ! = А ((а( А!, а! Аз, ..., а'„ А„!. Закономерность (1.!8), подчиненная этому требовзнню, должна существенно упроститься.
Вид ее определяется из теоремы. которая называется П - теоремой Для ее формулировки дадим следующие определения. Определение 1. Пуста параметры онат...ал имеют векторы размерностей г!, гз .,гл Тогда параметры пи аз...ал называются размерно зависимыми или размерно незаяисимыми, если систеиа векторов гь гэ...гл — линейно зависимо или линейно независима соответственно. Физический смысл этого определения состоит в следующем Если параметры а!, аз,, ал размерно зависимы, то из ннх можно составить безразмерную комбинацию а" ,а," а,".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
