А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Нетрудно показать, что диагональная матрица его элементов не изменяетса при переходе к другому ортогональному базису. Шаровой тензор ыожно образовать, днффеРенциРУЯ РадиУс-вектоР дхг/дх, = бгр Другие примеры теизоров будут приведены ниже в разделе механики спчошиой среды 10. Виды и свойства теизоров. Тензор з с симметричной матрицей зб = зл называется симметричным тензором. Тензор а с антисимметрнчной матрнцей ач = -ал называется анти симметричны и тензором. Можно показать, что свойство симметрии и антисимметрии не зависит от системы координат.
Любой тензор г можно разложить на симметричную и аитиснмметричиую части. Причем разложение это единственно и представляется следуююими формулами ! 1 гй зч -ь ач, зб - -(гч + гл), ач = — (ач - аг). 2' '' ' 2 Матрица произвольного тензора состоит из 9 независимых элементов, симметричного тензора — нз 6, а антисимметричного из трех.
Антисимметричному тензору а можно поставить в соответствие вектор д(аиаг,аз) по следующему пранилу )г О а~г агз гг гг Π— аз аг ((аг!1) = -ап О агз = аз О -а, -агз -аю Π— аг а~ О Если умножить антисимметричиый тензор а на радиус-вектор г и затем свернуть полученный тензор по второму и третьему индексам, то получим вектор, равный векторному гронзведению векторов а и Е Таким образом, получим равенства ачх, = (д х 7),. Если же умножить симметричный тензор з на антисимметричный тензор а н свернуть полученное произведение по первому-третьему н второму-четвертому индексам, то получим тождественный нуль збач О.
Действительно, свертка ие зависит от тога, какими буквами обозначаются индексы, по которым производится суммирование. Поэтому знай = хлад. Заметим, что зг, зч, а ал = -ач Поэтому при перестановке индексов г н ! получим равенство зга, = -з, а„ = О. Теньер называется девнатором, если его след равен нулю. Любой тензор можно разложить на шаровую часть и девиатор по следующим формулам 1 г, = -)гбй +Ыч, !г !ээ.
3 91.2 Тензорные поля 11. Скалярное н векторное поля. Пусть с каждой точкой пространства (илн части пространства) связано значение неноторого скаляра или вектора. Рассматриваемая ГЛАВА 1. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ часть пространства называется тогла скалярным илн векторным полем, смотря по тому, какая функция, скалярная или векторная, изучается. Так, например, мы имеем в некотором неоднородном ма| териале скалярные поля плотности н температуры.
В реке мы имеем векторное поле скорости волы и т д Так как каждую точку полл можно определять ее ралиусом-вектором, то задать скалярное поле или векторное поле значит привести в соответствие Радиусу-вектору г(х»,х2,хз) значение некоторой скалярной функции ь»(г) илн некоРис. !.2: Изолинии торой векторной функции а(г), Таким образом, в рассматриваемом скалярного поля. случае независимой переменной является радиус-вектор г. Часто приходится рассматривать скалярные или векторные функции, изменяющиеся с течением времени; ь»((,г) или а(г,г) Соответствующие поля называются нестационарными, поля же не меняющиеся со временем называются стационарными 12. Графическое изображение полей.
Сиалярные поля р(»1 в определенный фиксированный момент времени удобно изображать в виде изопаверхностей в пространстве или изолиний на плоскости, на которых значение ь» постоянно. Такое графическое представление часто используется на топографических картах для изображении рельефа местности рис 1.2 Р Для наглядного изображения векторного поля используются векторные линни, та есть такие линии, во всякой точке которой вектор имеет направление касательной к ней рис, 1.3. Векторную линию можно построить, решив следующую систему дифференциальных уравнений г(х»»ухз бхз Рис. 1.3: Векторные п2 ггя линии. где а»(х»,х2,хз), п2(х»,хз,хз), аз(х»,хз,хз) — компоненты вектора а(г) др »(г .1.
ЕЗ) — Ч»(Г) дя о е Подставляя в числитель разложение по ы(г + ея» ч»(~~ = ь»(х~ 1. ея», хз -1- еяз. хз 1. еяз) — ы(х», хз, хз) = =-.( — —., др дяя д»» = е — я» ч — з» ч — яз~ +0(е ) дх» дхт дхз и переходя к пределу е - О, получим д;» г' ды др дч» — = ( — яг -, — яз ч- — яз1 = я . Егаб р. дя (дх» ' дхз дхз 13. Градиент скалярного поля. Для скалярного поля р(г) часто бывает необходима знать как меняется ф по какому нибуд~ направлению, задаваемому единичным вектором У(зг,яз,яз).
Эта изменение характеризуется производной по направлению вектора ЕС которая определяется так У( 2 ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ Это выражение представляет собой скалярное произведение единичного вектора з на вектор дьг „др „дьг угацщ = — эП ч — эг .1- — эз. дх| гЪг дхз П,22) Если направления векторов у и гралиента совпадают, то производная по направлению дос игает наибольшего значения, равного (Бгабр(. Таким образои, вектор Кгабщ показывает направление наибольшего изменения функции Ы, а !угаси является величиной этого изменения. Тензорный закан преобразования градиента был получен ранее э разделе 9, 14.
Дивергенция и ротор векторного поля, Основными дифференциальными операторами векторного поля, характерна)ющими до некоторой степени его изменение, являются операторы дивергенции Фт и ротора го1 векторного поля а(г). Они определяются так бща(гП = — + —, да дат даз дх, дхг дхз г'даз даг'1 „ /да~ даз) —, г'дат да~1 „ го1а(г) = ( — — — ) эП т ( — — — ~ эг ' ( — — — ) эз (,дхг дхз,) (,дх, дх, ) (, д», дхц) Из определений следует, что дивергенция вектора — это скаляр, а ротор вектора — вектор.
Компоненты вектора го1а удобно вычислять с помощью определителя эП эг эз д д д д., дхг д', аг аг аз го1а = 1Б. Теорема Гаусса-Остроградского. В физике и механике часто встречаются поверхностные интегралы, которые выражают поток векторного поля а через заданную замкнутую поверхность 5.
Поток определяется следующим образом Выделим элемент поверхности й5 с нормалью б. Спроектируем вектор а на нормаль и умножим на площадь поверхности б5 Полученная величина а,й5 = а йй5 = (а,щ + агат, азпз)й5 называется потоком вектора а через элемент поверхности й5 Интеграл от этой величины по всей поверхности 5 ~а пг(5 /да~ дат дат Т (аиц ч-аглг -1-азлг)й5 = г ( — и- — — (б!г гь ф а.йй5 = ( бщойу (1.23) т ,/г (,дху дх, дхг,) )гк гк Г ~агнггек «ьф»Л Лры '.и 1 ищЕМГУ называется потоком вектора а через поверхность 5.
Физический смысл этого понятия можне прояснить на следующем примере. Пусть а — поле скорости некоторой текущей жидкости. Тогда приведенный интеграл определяет объем жидкости, который. вытекает из поверхности 5 в единицу времени. Важнейщая теорема, связанная с понятием дивергеиции вектора, есть теорема Гаусса- Остроградского о преобразовании поверхностного интеграла в объемный: Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергвнции этого вектора по объему, который ограничен этой поверхностью !8 ГЛАВА ! ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ д лес принимаются следующие обозначения. у - область пространства.
а которой определено непрерывно лифференцируемое векторное ооле а, В1г — замкнутая поверхность, ограничивающая область 1', нормаль поверхности Е предполагается внешней по отношению к области у. В курсах по векторному анализу (см г!1)) выводится сначала левая формула (1.23) в фиксированной декартовой системе каарлинат. Поскольку выраженим а и н 6шб не зависят от выбора системы координат, та правая тождественнан формула (! 23) спРанеллива в любой системе координат. Теорема Гаусса-Остроградского позволяет записывать интегральные законы физики в лифференциальной форме. В качестве примера рассмотрим закон сохранения массы жидкости с заданными в некоторой области Р полями плотности р(г,хн.кз,хз) и скорости В(г, хи ха, хз).
Поля плотности и скорости предполагаются непрерывно днфференцируемыыи в области Р. Изменение в еднняцу времени массы жидкости М в произвольном непадвшкном объеме жидкости (о с Р определяется интегралом — = (' — 6У. 6 = /ю В~ Уменьшение массы связано с количеством жидкости вытекающей из поверхности 5 Поэтому мы можем написать 6М Г вЂ” — — рб665 дго Применяя к поверхностному интегралу теорему Гаусса-Остроградского (!.23), получнм ~ ( — ч «ч(шУ)) 61 - а. Поскольку зто равенство справедливо для любого объема 1г б Р, а подынтегральная функция непрерывна, то падынтегральная функция тождественно равна нулю дд — х йч(жо) = О.
дг Это н есть дифференциальное уравнение закона сохранения массы. Стягивая область У в теореме Гаусса-Остроградского (!.23) в точку, получим в пределе следующее инвариантное определение дивергенции векторного поля 6!ча = !пп ( — уф ай65) . !! г-о(,У узг 1б. Теорема Стокса.
Следующей важной интегральной теоремой яв. Ри' !А: Теорема ляется теорема Стокса. Рассмотрим поверхность 5, которая в отличие от поверхности в теореме Гаусса-Остроградского уже будет незамкнутая. а ее границей является замкнутый контур д5. Про эту конструкцию принято говорить так. замкнутый контур д5 и натянутая на него поверхность 5 (рнс. 3.2). Теорема Стокса связывает поток векторного поля а через поверхность 5 н циркуляцию векторного поля по контуру д5 Пиркутяция вектора а по контуру д5 определяется так Г = (о~йх, -ь отдхт 4 азбхз) айз, .гш .гы э"! 2 ГЕНЗ ОРЛЫ Е ЛОЛЕ 19 где элементарный вектор Дз(дхьг(хт,ухз) направлен по касателыгой к конт)ру д5. Если вектор а представляет собой силовое векторное поле, то циркуляция означает работу сизы на контуре д5 Теорема Стокса формулируетси так.
Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру д5 равна потоку вектора вихря через поверхност~ 5, натянутую на контур д5 ацз = го1а л Д5 (1 25) вз ге (Вывод теоремы Стокса см (1П). 17. Оператор Гамильтона ("падла"). Все выше определенные дифференциальные операторы можно выразить через векторный дифференциальный оператор д д д 17=э! —, зз эз дх! ' дхт дхз' который называется оператором Гамильтона ("набла").
Его можно применить к скаляру (" умножить на скаляр ) или к вектору ('умножить на вектор") скалярно нли векторно В результате получин выражения лля градиента скаляра, дивергенции и ротора вектора угас р = лтло, шла = СаЕ го1а = 57 х а. С иомощью оператора Гамильтона можно выводить многие распространенные в физике формулы векторного анализа. Для этого надо пользоваться опера~ором т7 как обычным дифференцированием Например, с папашью оператора т7 лгожно записать Щч(ра) = 17(зоб).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
