А.Г. Петров - Лекции по физико-химической гидродинамике (1124067), страница 4
Текст из файла (страница 4)
По правилу дифференцирования произведения имеем 57(лза) = 17(зт,а) + 17(рае), '7(тта) = р17а+аитт, В множителяк. стоящих перед оператором '7 индекс с можно опустить, так «ак к ним оператор 17 не применяется. В по.тучеином выражении в первом слагаемом оператор применяется к вектору, значит это дивергенция. Во втором слагаемом оператор применяется к скаляру и следовательно это градиент. Таким образом, вывелено тождество бш(ра) = ыотб а угас„д (1.26) Аналогично можно получить следующие формулы бш(а х Ь) = Ь.го1а — а го!Ь, го1(а х Ь) = (Ь 'ь)а — (а х)Ь ' об!тб — Ьбг'й, угад(а Ь) = (Ь т7)а ' (а с7)Ь 1-Ь х го!аз-а х гогЬ.
(1.27) Полагая в последней формуле а = Ь = о получим следуюгцую, часто используемую в гидродинамике, формулу Егаб(о /2] = (о Ь')6-1- о х го!У (1.26) где индексол~ с обозначены функции которые временно считаются постоянными, то есть к ним оператор дифференцирования ие применяется. В выражении 5т(всат постоянный множитель выносим зз знак зу: з7(уса) = ртуаС Поступая также и со вторым слагаемым, получим 20 ГЛАВА ! ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 18. Дифференциальные операции второго порядка. Естг*.
применить оператор Тг к скалярному или векторному полю, то получим лифферендиальные операдии второго порядка. Так как йгэбы и го!а являются векторамн, то к ним можно применить операпнн б!т и го!. В результате получим четыре дифференциальные операаии фь йгабзэ = (717Ы = х~р.= ЬЮ го! Егады = Тг х Ттю = О. фтго!а = 3т (ту х и) = О, готта!а = йгабб)тй — да т 9 х (Тт х й) = дт(Тг. а) — (Тг Тт)ад (! 29) Оператор, обозначенный символом гдм называется операторам Лапласа дзр дтр дэл Дю = — -ь — -!- —. дхэ дхэ дхэ (1 30) 19. Обобщенная теорема Гаусса-Остроградского. С помощью оператора Тг можно записать интегральную формулу, обобщающую теорему Гаусса-Остроградского.
а следующей символической форме 1 л(. )35=1 7(.. )й!' (1.31) Здесь под многоточием понимается скалярная, векторная и даже тензорная функция, но одна и та же в левой и правой части. Оператор 17 в правой части применяется скалярным или векторным умножением и в соответствие с этим в левой части применяется вектор нормали. Таким образом, находящимся в левой части: нормали и. элементу поверхности 35 и поверхности интегрирования ду соответствуют в правой части оператор х, элемент объема й(г и область интегрирования (г.
Если вместо (...) подставить вектор, то голучим обычную теорему Гаусса-Остроградского. Если же подставить скаляр ээ, то получим следующую теорему юйй5= ф дгабюйР эг .!к (1.32) Эта формула также часто используется в гидродинамике. Вывести ее можно так. Применим теорему Гаусса-Остроградского к векторной функаии а = Снж где С вЂ” произвольный постоянный вектор Срййд = ф бю(сы) й!ч ау ,У Пользуясь равенством б!т(ГР) = Сйгабы (см.
(1.20)) и вынося С за знак интеграла, получим С (~ ыпг)5 — ~ йгабэгйу) = 0 В силу произвольности вектора С получим требуемую теорему. Вторые два тождества соответствуют двум известным тождествам векторной алгебры; тож- дественным равенствам нулю векторного произведения двух равных векторов и смешанного произведения трех векторов, иэ которых два равны.
21 ~!.2 ГЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ Для вывода уравнений движения сплошной срелы потребуется формулз. которая полу. чается из (! 31) подстановкой вместо (... ) тензора я Нормаль и оператор Тт применяются к тензпру скалярно Тогда получим следуюшую теорему р„с!5 = р Ош рб)С (1.33) ду гк дрч где приняты обозначения бм = рмп э,, Ош р = †' э,. Вектор Ошя называется дивергендх г иней тензора. Он является тензороч первого ранга. В аиду важности теоремы (1.33) покажем как ее вывести из теоремы Гаусса-Остроградского. В фиксированной декартовой системе координат согласно определению (см раздел 4 ) ген.
зор второго ранга я можно рассматривать как вектор-столбец трех "векторов" р„ 1, 2, З.з Тогда теореыа (1.33) запишется в виде трех равенств р, ВЛЗ= ф б)тр,д)Г, 1=1,2.3. д!' з'к Каждое из этих равенств есть обычная теорема Гаусса-Остроградского (123) и, таким образом, а выбранной нами декартовой системе координат формула (!.33) доказана Благодаря тому, что в (1.33) подынтегральные функции р„ и ОЬ з — тензоры первого ранга, формула (1 33) верна и в любой другой системе координат.
2ГЯ Формула дифференцирования но времени интеграла, взятого ио подвижному объему. Обшие законы ьгеханики сплошной среды применяются к индивидуальному [материальному) объему (г. Так называется область !', которая состоит из одних и тех же частиц среды и движется вместе с ними (рис. !3) Характеристики индивидуального (матеоиального) объема сре- тззт „- лы (масса, количество движения, энергия и др.) выражаются интегралачи типа / А(г,х,)ДР хз т Проиэводяая от интегрзла, взятого по индивидуальному объему тг )г, будет определяться формулой г( / )'дА — А(1,хглй!' =- —,ДК -и ~Аз„ДЗ.
(1.34) к дг Здесь первый интеграл учитывает изменение функции А во времени, а второй, взятый по границе д)', — изменение индивнлуальной области. Символом д)Г обозначена граница области Г, о„ вЂ” проекция скорости на внешнюю нормаль к границе ду Перейдем к выводу этой формулы Рассмотрим сначала одномерный случай. Материальные точки движутся по оси х = «!: а(1) < х < ь(г), а две дРУгие кооРдинаты хз, хз не менЯютсЯ концы отРезка а(1) и ь(г) изменяются по заданному закону. Тогда, применяя формулу анализа для дифференцирования интеграла по отрезку с переменными верхним и нижним пределом, получим Поскольку с стемз координат фмксмроеача, то отмеченный в разде 4 иетеизори й зэ ан преобразования прм змэозе 4ормулм месушестэенем ГЛАВА ! ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ л д /,! /дА дЬ Да — Ад)' = 5 — А(г,х)ах = 5 —.вх г5 —,А(г, Ь)-5 — А(Г, а).
Учитывая, чта а У = 54х, а а„ на боковых поаерхностял цилиндра равна Ь и -а, получим (1 34). чта и требовалось доказат~ 2. Рассмотрим двумерный случай рис, 1.б Материальная среда движется в плоскости хи ха и заполняет облает~ 0 По Рис 1.6: Дифференцира определению производной можем написать ванне интеграла по подвижному объему. д à — / А(Г,хи ха)гП' = дг/ и Вгп бт ) А(г-г,бг.хьхя)35-/А(г хнхт)о5 дг о ' ли, и Здесь 0 — область, в которой частицы находились и момент времени (, 0' — область, в которую перетекли частицы среды из области 0 в момент времени !+А!, 31г — элемент площади, 45 - элемент границы д0.
Область 0' представляем суммой 0' = 0 -!-(О' — О) и продолжаем равенства 1 — !пп — / АН+ гу(, хихг)35 — / А(г.х!,хт)с(54- дг-о 31 л,/ и и + / А(г+ Ьг.хнхт)с!51. и'-и Разбиваем область 0' — 0 на элементарные области пложадью с(Зачту!. Тогда интеграл по области 0' — 0 сведется к интегралу па контуру д0. Таким образам. придем к следующему равенству г( Г ! ( à — / А(т,хг,хт)г(!' — !пп — (/ А(г; 3г,х!,хт)ЫУ вЂ” / А(г,х1 хе ЫУ и /.Ао„ЛГД5).
б(/ * ' о об! / В пределе прн 31 0 получим формулу (1.34), что и требовалось доказать 3 Для пространственного случая формула показывается аналогично. Для доказательства следует ввести в качестве аргумента пространственную координату хз, двумерную область 0 следует заменить на трехмерную область У, пад г(У и с(5 слелует понимать элементы объема и поверхности соответственно. Область 1" — У разобъется на элементарные области объелга 35а„дс.
В пределе получим искомую формулу (!.34) (более подробно смотрите (1. !1)). Глава 2 Пространственное напряженное состояние (2 !) В механике сплошной среды более важную роль играют не массовые силы, а поверхностные. Онн действуют на объем (г со сторонь1 оставшейся части среды и распределены на поверхности ду. На каждый элемент поверхности о5 с внешней по отношению к (Г нормалью и действует поверхностная сила р„ ЫЯ, пропорциональная площади поверхности (рис. 2.!) Сила, действующая на единицу площади поверхности.
Р„называется напряженнем. Напряжение имеет нормальную и касательную к поверхности составляющие, которые называются нормальным и касательным напряжениями. На весь объем действует поверхностная сила Рис 2.! Напряжение на площадке ~ р,дд (2.2) Выберем в качестве объема (г достаточно малый тетраэдр, имеющий три грани, параллельные координатным плоскостям, и четвертую, проходящую через точку М с произвольно 2!. Тензор напряжений.
Рассмотрим сплошную среду, состоящую из непрерывного распределения материальных точек с плотностью р(г,л) Матерна.чьные точки прелы движутся и заполняют некоторую область пространства О. Среда может быть наделена произвольнычи свойствами. В частности, это могут быть упругое твердое тело или вязкая жидкость. Внутри области 0 вырежем произвольныя обьем Р, н рассмотрим силы, действующие на этот объем. В поле силн тяжести на каждый элемент массы рс(Р действует сила тяжести рйй)г' Векторная величина д, равная ускорению силы тяжести, — это сила, действующая на единицу ьгассы среды и поэтому называется массовой силой Массовые силы могут иметь иную, например, электромагнитную природу, тогда она будет другой векторной величиной, отличной от йй Обозначим внешнюю массовую силу так РТ Тогда на весь объем (г будет действовать реаультирующая массовая сила выбранной нормалью л (рис 2.2).
Построить его можно таь. Провезем через то~ку М плоскость с нормалью Ед В противоположной от нормали й стороне возьчем тюку Н и проведем из нее три луча параллельные координатныч осям до пересечения с плоскостью в точках А, В н С. Тогда А. В, СНУ будут вершинами тетраэдра Применим принцип даламбера к материальным частицач в тетраэдре, сшласно которому сумма всех внешних сил, включая силу инерции, равна нулю р(ю — Е)с(Р = ! РР„Д5, ,/' —.
хат (2.3) где ю — ускорение частиц срелы н представляет собой силу инерции с обратным знаком. Обозначим через рь Рз и Рз напряжения на площадках с единичными нормалями координатных осей эн эа и эз и определим Р . 2. ис..2 К свойству сумму всех поверхностных сил действующих на грани тетраэдра. вектора напряжений. Заметим, что внешние нормали к граням, параллельным координатным плоскостям, равны -эь - эт и — эз и имеют наппяження -Ег, -рз и -рз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
