Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Так, можно сослаться на анализ работ Эйлера по продольному изгибу у Е. Л. Николаи ' или на такое высказывание (автора истории вариационного исчисления) Тодхантера: «Трудно заподоарить меня в недооценке какого-либо усовершенствования в вариационном исчислении, но я придаю меньше значения хорошо известному введению Лагранжем символа б в эту дисциплину, чем введению Эйлером символа р в гидростатику. Пока Эйлер не внес этим ясности, в гидростатике были доказательства, но я не могу считать эти доказательства вполне понятными» '. В связи с оценкой Эйлера-механика мы можем сослаться и на нашу статью 1958 г. ' Но обобщения Лагранжа и его формализм представляли шаг вперед, а не регресс.
Создание единообразной схемы для математизации механики имело то «алгорифмическое» аначение, которое в свое время считал нужным разъяснять Гаусс. Но поводу книги Мебиуса о барицентрическом исчислении Гаусс писал: «Вообще со всеми подобными новыми исчислениямидело обстоит так, что с их помощью нельзя получить ничего такого, чего нельзя было бы получить и без них. Однако преимущество состоит вот в чем: если такое исчисление соответствует внутренней сущности многократно возникавших потребностей, то каждый, кто его осйоил, может решать соответствующие задачи и без гениальных наитий и вдохновенья (которых никто не может принудительно создать), даже может механически решать в столь запутанных случаях, когда без такого средства был бы бессилен и гений.
Так обстоит дело с изобретением буквенного исчисления, так было и с дифференциальным исчислением; таково же положение (пусть в более узких областях) с вариационным исчислением Лагранжа, с моим исчислением сравнений и с исчислением Мебиуса. Благодаря таким концепциям в органическое целое сразу объединяются бесчисленные задачи, которые без этого представлялись бы изолированными и каждый раз требовали бы новых усилий (ббльших или меньших) изобретательного ума» '. Но этим не исчерпывается значение формализма Лагранжа, так как охват единым методом по-разному трактовавшихся ранее проблем выявляет то более общее (и, неизбех«но, более абстрактное), что им присуще, и вводит тем самым новые представления и понятия, пользование которыми и исследование которых плодотворно. Общность математической трактовки возникает на основе общности физических представлений и в свою очередь к такой общности ведет.
Достаточно сослаться на понятия обобщенной силы и обобщенной координаты, которые у Лагранжа были естественным порождением его формализма. Лагранж че ясно понимал значение этих вполне оправдавших себя понятий (что не давалось, многим позже, его комментатору Бертрану), и тут, на таком более высоком уровне абстракции, его механика не в меньшей мере «концептуальна», «понятийна», чем механика Эйлера. Влияние Лагранжа на Гамильтона, Остроградского, Якоби, Грина, Максвелла было глубоким и плодотворным. Поучителен и пример влияния методики Лагранжа, продемонстрированной в «Аналитической механике», в области математики, а именно, в геометрии (по-видимому, даже термин «Аналитическая геометрия» в его традиционном ныне значении возник в конце ХУП1 в.
по аналогии с «Аналитической механикой»). Лакруа в 1797 г. во введении к первому тому своего известного и влиятельного в свое время курса анализа писал: «Тщательно изъяв все геометрические построения, я хотел дать почувствовать читателю, что существует способ рассмотрения геометрии, который можно было бы назвать Аналитической геометрией и который состоит в выводе свойств протяженности иа взамен<но меньшего числа принципов чисто аналитическими методами, как это сделал Лагранж в своей механике по отношению к принципам равновесия и движения» '».
Итак, теоретическая механика в 80-е годы ХЛП в. была сильна тем, что обладала общими методами для математической формулировки широкого круга задач и располагала аппаратом математического анализа. Однако те принципы и понятия, которыми она могла пользоваться, не были приведены в сне~ему, и не были разграничены физические и формально логические проблемы, связанные с основами механики,— в этом была ее основная слабость.
В последующие десятилетия будет усовершенствован математический аппарат механики, значительно расширится круг задач, которые могут быть адекватно сформулированы на языке дифференциальных уравнений, но проблема основ механики останется открытой. ГЛАВА ВТОРАЯ Молекулярная (еефивичеекаяее) механика Лаплас и молекулярная механика Два первых тома «Небесной механики» Лапласа ' были изданы в 1799 — 1800 гг. Это — итог огромного труда, притом итог для небесной механики по тому времени исчерпывающий.
После открытия Ньютоном закона всемирного тяготения, писал Лаплас, геометры сумели свести к этому великому закону природы все известные в системе мира явления. Точность астрономических теория и таблиц превысила всякие ожидания. И Лаплас ставит себе цель изложить с единой точки зрения эти теории, разбросанные в многочисленных трудах, которые содержат в своей совокупности все выводы иэ закона всемирного тяготении относительно равновесия н движения твердых и жидких тел, образующих Солнечную систему и подобные ей системы, рассеянные в безбрежности небес,— в трудах, составляющих небесную механику. Такую огромную задачу Лаплас решил полностью и даже перевыполнил свой план (если учесть все пять томов его трактата, — последний был издан в 1825 г.), изложив при этом многие свои результаты, в том числе н выходящие за пределы собственно небесной механики, Труд Лапласа был переведен на немецкий н английский языки (подготовлеяный Т.
Ф. Осиповским перевод на русский язык остался в рукописи) и оказал большое влияние на развитие науки; недаром в ссылках на Лапласа его часто называли не по имени, а «автором (бессмертным, анаменитым и т. д.) „Небесной механики "». Издание «Небесной 6 и.
в. псгреассскиа вх механики» па английском языке (1829 — -1839) с обширными примечаниями переводчика Н. Воудича (Ха11пнне1 Век «111с1», 1773 1838) «мы имеем основакия считать... формирующим фактором в развитии современной математики в Америко»,— заявляет известный геометр и историк науки Стро1ж '. Всего этого достаточно, чтобы в истории механики отнестись с полным вниманием к «Первой книге» первой части трактата, названной «Об общих законах равновесия и движения».
В ней выведены общие уравнения равновесия и движения системы материальных точек, твердого тела, идеальной жидкости, закон движения центра масс, законы живых свл и площадей. Во всем этом принципиально нового нет, но существенно то, какова система основных понятий и общих законов, из которой исходит Лаплас. На первый взгляд Лаплас достаточно строго следует за Лагранжем: принцип виртуальных перемещений в статике и общее уравнение Лагранжа в динамике у него занимают центральное положение. Но Лаплас гораздо «физичнее» вЂ” он дает разъяснения по поводу вводимых основных понятий, и формализм «Аналитической механики» оказывается вложенным в определенную систему физических представлений. Движение есть перемещение тела по отношению к системе тел, которые мы считаем неподвижными, но все тела могут двигаться, и в этом смысле всякое движение относительно.
Все же мы представляем ссое безграничное, неподвижное и проницаемое для материи пространство и относим положение тел к его частям. Сущность же того своеобразного изменения, из-за которого тело переносится из одного места в другое, остается и будет оставаться неизвестной для пас, продолжает Лаплас. Мы навываем ее силой, но можем определять только ее проявления и законы ее действия. Действие силы на материальную точку выявляется, при отсутствии сопротивления, в том, что точка приходит в движение; паправлекие силы определяется той прямой, по которой она стремится сместить точку. «Ясно, что если две силы действуют в одном направлении, они добавляются одна к другой, а если они денствуют в про»ивоположных направлениях, точку движет только их разность.
Если же направления сил образуют угол, дело сводится к одной силе, занимающей промежуточное положение ме»кду составляющими силами» '. Затем сле- дует доказательство параллелограмма сил. Опо остроумно, но опирается не только на поло>кения, припятью Лапласом выше как очевидные, но и на некоторые другие, например, па то, что с увеличением каждой составляющей (без изменения направления) в некоторое число рзз равнодейству|ощая увеличивается в таком же отношении. Вообще, как видно из вышеприведенной цитаты, Лаплас, как и Лагранж, не расчленяет изложение на аксиомы, теоремы, следствия, его стиль можно охарактеризовать как повестновательный.
Доказав правило сложения сил, Лаплас пользуется им в дальнейшем, чтобы в общем виде дать разло.кение и ело«кение сил, приложенных к одной и той же материальной точке, а затем, без специального обоснования, ссылаясь па очовидность и разобрав некоторые частные случаи, Лаплас формулирует в качестве условия равновесия принцип виртуальных перемещений (для одной материальной точки). В этом оп не оригинален.
Гораздо интереснее его трактовка динамических вопросов. Переходя к вопросу о движении материальной точки, Лаплас в качестве первого закона движения формулирует закон инерции (без упоминаний чьих бы то ни было имен как здесь, так и в предыдущем и последующем изложении). При этом он снова ссылается на закон достаточного основания. «То, что движение направлено по прямой линии, вытекает, очевидно, нз того, что нет никаких оснований для большего отклонения точки вправо, чем влево, от своего первоначального положения.
Однако равномерность дви«кенни точки не столь;ке очевидна. Так как сущяость движущей силы нензвестна, нельзя знатьа рг~отд должна ли эта сила все время сохраняться ... Таким образом, закон инерции по крайней мере самый естествонный и самый простой, какой только можно себе представить» '. После этого вводится понятие скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
